立体几何中二面角和线面角

立体几何中的角度问题一、 异面直线所成的角1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA丄底面ABCD,E是PC的中点，已知AB=2，AD=2^2，PA=2，求：三角形PCD的面积；异面直线BC与AE所成的角的大小。11112、如图6,已知正方体ABCD-ABCD的棱长为2,点E是正方形BCCB的中心，点111111F、G分别是棱CD,AA的中点.设点E,G分别是点E,G在平面DCCD内的正投影.求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCCD内的11正投影为底面边界的棱锥的体积；证明：直线FG丄平面FEE；11求异面直线EG与EA所成角的正弦值11

二、直线与平面所成夹角1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC,ZBAD=90，PA丄底面ABCD，且PA二AD二AB二2BC，M、N分别为PC、PB的中点。求CD与平面ADMN所成的角的正弦值。2、长方体ABCD-ABCDAB=3,BC=2,AA=4，求AB与面ABCD所成的角的正弦值。三、二面角与二面角的平面角问题1、如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形,且ZDAB=60°，PA=PD=丫2,pb=2,E,F分别是BC,PC的中点.证明：AD丄平面DEF;求二面角P-AD-B的余弦值.2、如图5,AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD= ,EFf'6a。(1)证明：EB丄FD；22(2已知点Q,R为线段FE,FB上的点，FQ=3FE，FR=3FB，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值。

3、如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄平面ABCD，点E在线段PC上，PC丄平面BDE。证明：BD丄平面PAC；若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值;14、如图，直三棱柱ABC-ABC中，AC=BC AAiii 2 1D是棱AA的中点，DC丄BD11证明：DC丄BC1--yB.求二面角A1-BD—C/勺大小.

--yB.练习题1、如图5所示，AF、DE分别是。0、。0］的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8,BC是00的直径，AB=AC=6,OE//AD.(I)求二面角B—AD—F的大小；仃I)求直线BD与EF所成的角.2、如图4,在二棱柱ABC—ABC中，△ABC是边长为2的等边二角形，ii1AA丄平面ABC，D，E分别是CC，AB的中点.TOC\o"1-5"\h\zi i求证：CE〃平面ABD；1若H为AB上的动点，当CH与平面AAB所成最大角的正切值为 时,i i 2求平面ABD与平面ABC所成二面角(锐角)的余弦值.13、如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=6<6，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF丄AB,现沿EF将ABEF折起到△PEF的位置，使PE丄AE,记BE=x，V(x)表示四棱锥P-ACEF的体积。求V(x)的表达式；当x为何值时，V(x)取得最大值？当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。AE则ErGAE则ErGi分别为eq、立体几何中的角度问题答案一、异面直线所成的角1、【解析】(1)VPA丄底面ABCD,・・・PA丄CD,又VCD丄AD,・CD丄平面PAD,•CD丄PD,又•・•PD=说2+(2*2)2=2<3,CD=2,.•△PCD的面积为—x2x2\：3=2\3。(2)解法一：取PB的中点F,则EF〃BC,・・・ZAEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角。在厶ADF中，EF=/2、AF=l2,AE=2,•••△AEF是等腰直角三角形,兀/.ZAEF=■,4兀・•・异面直线BC与AE所成的角大小为丁。4解法二：如图所示，建立空间直角坐标系,则B(2,0,0),C(2,2迈,O),E(1,\迈,1),BC=(0,2^2,0),设AE与BC的夹角为0,AE-AC4cos0=AE兀 兀又・・・0<0<-,•0=-2、解：(1)依题作点E、G在平面Dec®内的正投影件、%DD1的中点，连结%EG.ED、DE,则所求为四棱锥£-DE"的体积，其底

面DEFG面积为11S二S+S =-X\；2Xf2+-X1X2=2,DE1FG1 血E" 宓DG1E1 2 2又EE丄面DEFG,EE=1,:,V =-S -EE=2.1 1 1 1 E-DE-FG- 3DEiFGi 1 3(2)以D为坐标原点，DA、DC、DD所在直线分别作x轴，y轴，z轴，得E(0,2,1)、11G1(0,0,1)，又G(2,0,1)，F(0,1,2)，E(1,2,1)，则FG=(0,-1,-1)，FE=(1,1,-1)，11FE1=(0丄-1),.•・FG-FE=0+(-1)+1=0，FG-FE=0+(-1)+1=0，即FG丄FE，1111FG丄FE，11又FEnFE=F1・•・你又FEnFE=F1・•・你丄平面FEE1.(3)EG=(0,-2,0)，EA=(1,-2,-1)11则cos<EG,EA>=11EG・EA2+1EG11设异面直线甲与以所成角为e,4m更—圧j厂25SJtSH.异而砸BUE舷枷的大小磅. …呛二、直线与平面所成夹角1、【解】(II)取AD的中点G,连结BG、NG，则BG//CD，所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等.

因为PB丄平面ADMN,所以ZBGN是BG与平面ADMN所成的角.在RtABNG中，sinZBGN二BN二巴0。BG5故CD与平面ADMN所成的角的正弦值为2、解：设点B到AB1C1故CD与平面ADMN所成的角的正弦值为TV=V ・・・1/3S ・h=1/3S・AB,易B-AB1C1A-BB1C1 △ABICl △BBICI••・AB与面AB1C••・AB与面AB1C1D所成的角的正弦值为4/5二、二面角与二面角的平面角问题1、法一：（1）证明：取AD中点G,连接PG,BG,BD。因PA=PD，有PG丄AD，在AABD中，AB二AD二ZDAB=6°°，有AABD为等边三角形，因此BG丄AD,BGcPG二G，所以AD丄平面PBG二AD丄PB,AD丄GB-又PB//EF，得AD丄EF，而DE//GB得AD丄DE,又FEcDE=E，所以AD丄平面DEF。(2)・.(2)・.・PG丄AD,BG丄ADAZPGB为二面角P—AD—B的平面角,RtARtAPAG中,PG2=PA2在-AG2=4RtAABG中，BG二AB•sin60。二3在 2•••cosZPGB二PG2+•••cosZPGB二PG2+BG2—PB22PG-BG7 3 ,+_—44 42• • 22<2174<21~72、(1)证明：连结CF,因为AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点,所以EB丄AC。在RTABCE中，EC=*BC2+BE2-^a2+a2=、2a。在ABDF中，BF-DF仝a，ABDF为等腰三角形，且点C是底边BD的中点,故CF丄BD。在ACEF中，CE2+CF2-(J2a)2+(2a)2-6a2-EF2，所以ACEF为RtA，且CF丄EC。因为CF丄BD，CF丄EC，且CE0BD-C，所以CF丄平面bed，

而EBu平面BED,「.CF丄EB。因为EB丄AC,EB丄CF，且AC^CF=C，所以EB丄平面BDF,而FDu平面BDF,.•.EB丄FD。(2)设平面BED与平面RQD的交线为DG.2 2由FQ二一FE,FR二一FB，知QR//EB.^3 ^3而EBu平面BDE,.・.QR//平面BDE,而平面BDE'|平面RQD=DG,.・・QR//DG//EB.由(1)知，BE丄平面BDF,DG丄平面BDF,而DR,DBu平面BDF,・DG丄DR,DG丄DQ,・・・ZRDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角.2a在RtABCF中，CF—\：BF2—BC2—\：(5a)2—2asinZRBD—一-亠-〜,cosZRBD^'1-sin2ZRBD-TOC\o"1-5"\h\zBF辰45 頁在ABDR中，由FR—-FB知，BR—-FB=互^3 ^3 ^3由余弦定理得，RD=、BD2+BR2-2BD-BRcosZRBD<29a375(2a)2+(爭2—2•2a<29a375 aBR RD 3由正弦定理得， - ，即一3 sinZRDBsinZRBD sinZRDBsinZRDB—^故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值为2|99。

IK.11) ■/ 丄tmiAHCnf^A_LHD-L屮IhiFACC2)设ACC2)设ACBO立点再OrSiOEFC丄1"Ihi柠DEPC丄&E/if」丄屮|fi|PA亡PC丄甘QFC丄1"IhlROEPC丄HEn■&起卫为一商元n-pe-A乩|半向亢帀“丄屮IhlFA匚"bn丄Ar汕J&頊上坷匸□期正方能:、占。=JTTOC\o"1-5"\h\z亠 亠 ©邕 尸q fJf i Vz■rt-HFA匚‘中j = =>—=—二>E= m QC J龙 工 号亠 再"■・七ran = =亢二―面im丑一PC-丄的平向角的正切值为34、【答案】（1）在RtADAC中，AD=AC得：ZADC二45°同理：ZADC=45°nZCDC=90°111得：DC丄DC,DC丄BDnDC丄面BCDnDC丄BCi i i i

（2）DC丄BC,CC丄BCnBC丄面ACCAnBC丄ACTOC\o"1-5"\h\z11 11取AB的中点O,过点O作OH丄BD于点H，连接CO,CH11 11AC=BCnCO丄AB，面ABC丄面ABDnCO丄面ABD11 11 1 111111 1 1OH丄BDnCH丄BD得：点H与点D重合1且ZCDO是二面角A-BD—C的平面角111设AC=a，则CO二亘，CD=、2a=2COnZCDO=30。12111既二面角£-BD-q的大小为30。【练习题】1、解：（I）TAD与两圆所在的平面均垂直，.•.AD丄AB,AD丄AF,故ZBAD是二面角B—AD—F的平面角,依题意可知，ABCD是正方形，所以ZBAD=45o.即二面角B—AD—F的大小为450；仃I）以0为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系

（0，0，0），A（0，-3、辽，0），B（3迈，0，0）,D（0，-3迈，8），E（0，0，8），F（0，3J2，0）所以，BD=（-3.2-3迈,8）,FE=（0,-3迈,8）BD•FEBD•FE0+18+64BD•FEcos<BD,EF>= = =—|BDIIFEI<100x』82 10..82直线BD与EF所成的角为arccosf2设异面直线BD与EF所成角为a,则cosa=1cos直线BD与EF所成的角为arccosf2（方法二）在平面ADEF中，DE//AF，且DE=AF，所以四边形ODEF为平行四边形所以DO//EF所以根据定义，Z0DB就是所求的角（或其补角）。由题设可知：底面ABCD为正方形•・•DA丄平面ABCD BCu平面ABCD DA丄BC又TAF丄BC又TAF丄BC・•・BC丄平面ADO・•・DO丄BC・•・△DOB为直角三角形・•・在RtAODB，BD=10DO二J82・•・coszODB=爷

2、(1)证明：延长AD交AC的延长线于点F，连接BF.1CD〃AA，且CD=AA,121・•・C为AF的中点.……………2分•E为AB的中点，・•・•・C为AF的中点.……………2分•E为AB的中点，・•・CE〃BF.……………3分•/BFu平面ABD，1CE9平面ABD，1.•・CE〃平面ABD.14分1AA丄CE. ……………5分1*•*△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，・•・CE丄AB，CE= 3AB=<3.ABu平面AAB，ABu平面AAB，1AA1u平面AAB1ABnAA二A，i6分・•・ ZEHC为6分・•・ ZEHC为CH与平 7令面AAB1角.角.……7分•・•CE=<3，所成的在RtACEH中,tanZEHC=CEEHEH・CE丄平面AAB.1.•.当EH