数学物理方法-18 Laplace方程的格林函数法

拉普拉斯方程的格林函数法分离变量法积分变换法行波法格林函数法热传导方程扩散方程波动方程拉普拉斯方程势方程格林函数法是经典的数学物理方法，不仅在数学领域、在很多工程技术领域应用广泛，如：量子力学、流体力学、材料科学、地震工程、海洋工程、大气科学等等Green(1793-1841)：英国数学家、物理学家格林出生在一个磨坊主家庭，童年辍学在父亲的磨坊干活，他一边干活一边自修数学和物理。格林在1833─当时他已经40岁，才以自费生的身份进入剑桥大学科尼斯学院学习，4年后毕业获学士学位，1839年被聘为剑桥大学教授。格林发展了电磁理论，他引入的位势等概念，其意义远远超出了解位势方程。他首次研究了与求解数学物理边值问题密切相关的特殊函数─格林函数。在分析引入英国后，他是第一个沿着欧洲大陆的研究线索前进的英国数学家。他的工作培育了数学物理学方面的剑桥学派，其中包括了近代很多伟大的数学物理学家，如威廉.汤姆逊、斯托克斯（Stokes）、瑞利（Rayleigh）、麦克斯韦等。1828年，格林自费出版了一本小册子《数学分析在电磁学理论中的应用》，当时并未引起人们注意，后来被英国数学物理学家汤姆逊发现，并认识到它的巨大价值。1854年，他将这篇论文重新发表在著名的数学期刊《数学杂志》上，此时格林已逝世十三年了。格林的这篇论文，在数学和物理研究中，都有着重要的意义。格林留下的著作虽然不多，但在现代数学物理方面具有举足轻重的地位，都是数学物理中经典的内容。

格林那种自强不息的精神、自学成才的气节，深受赞扬。格林函数法：从奥高公式到格林公式奥.高公式：其中，Ω是闭曲面Σ围成的空间。取特定的P,Q,R，给定u(x,y,z),v(x,y,z)有二阶连续偏导数，在边界上有连续的一阶偏导数第一格林公式，其中n为曲面微元dS的外法向矢量。格林函数法：从奥高公式到格林公式第一格林公式上述公式中，u和v交换位置，两式相减，得称为第二格林公式重要启示：两个格林公式中，都存在Δu和Δv等项，正是Laplace算子。这或许是格林函数法的思想源头。若求解未知函数u，我们有很大的自由选择函数v可交换位置格林函数法：格林公式静电场场强（置于原点处的点电荷q在其周围空间形成的电势场）求解任意点M(x,y,z)的梯度，计算时，令ε=q=1u满足齐次Laplace方程进一步计算Δu格林函数法：格林公式静电场场强（置于非原点处(M0(x0,y0,z0))的点电荷q在其周围空间形成的电势场）同样满足齐次Laplace方程。这个函数作为v，代入格林公式，格林函数法：格林公式但是，v有奇性，而格林公式成立的前提条件是：u(x,y,z),v(x,y,z)在Ω内有二阶连续偏导数，在边界Σ上有连续的一阶偏导数。这种情况在数学上如何处理？挖去点M0(x0,y0,z0)以该点为中心的球，令半径趋于0ΣnnSεM0Vε那么，Ω－Vε组成复连通域，其表面是Σ+Sε格林函数法：格林公式上式中，表示外法线上的方向导数。格林函数法：格林公式上式中，表示外法线上的方向导数，对于外界面Σ，其表达式如下其中｛cosα,cosβ,cosγ｝是外界面Σ外法线n方向的单位矢量。对于内界面Sε，方向导数如下格林函数法：格林公式其中，P1和P2分别表示小球面Sε上的两个点，当ε0时，P1和P2

M0，那么上式的极限是积分中值定理格林函数法：格林公式第三格林公式，M0是Ω中任意一点，r是点M到M0的距离。如果在边界Σ上u和∂u/∂n已知，且Δu在Ω上已知，则第三格林公式暗示了一个解。狄利克雷问题格林函数法：基本思想调和函数，即满足Laplace方程第三格林公式上式表明，调和函数在区域中的值，可以用它及它的导数在区域边界上的值表示。对于非齐次的情况，即泊松方程给定f和Ω，体积分可以求解。此项根据不同边界条件求解，求解方法待续……格林函数法：调和函数的性质第二格林公式性质（1）：令u为调和函数，v=1，则性质（2）平均值定理：设u在M0为中心、R为半径的球内调和，球面上有一阶连续偏导数，则性质（3）极值定理：设u在Ω内调和、在边界上连续且不为常数，则：它的最大最小值在边界上达到。格林函数法：格林函数狄利克雷问题在Ω上Σ是Ω的边界Laplace方程的特解形式（第三格林公式）结合上述两式，得至此，问题是不是就解决了呢？未解决，因为方程的右端含有未知量思考：为什么不能将u=φ代入方向导数项。格林函数法：格林函数努力方向：既然方向导数值无法获得，是否能消去该部分呢？上式源于何处？第二格林公式取特殊的函数，而来的。如果换成更一般的调和函数满足Δg=0，那么格林函数法：格林函数第三格林公式相加再来看u的外法线方向导数，要消去方向导数，则只要求，在界面Σ上r-1+g＝0。通过这个重要的项，定义格林函数若满足：格林函数在界面Σ上等于0，即格林函数法：格林函数狄氏问题的积分解但是，还需确定辅助函数g，该函数是调和函数，且在边界上满足，因此构造新的狄氏问题：以上过程，从一个狄氏问题转换到另一个狄氏问题。格林函数法：格林函数狄利克雷问题第三格林公式给出的解格林函数的辅助要确定格林函数，须求解此解的重要意义上述问题和φ无关，即与原问题的边界条件