安徽省合肥市第四十中学2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试题

九年级数学注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.2值为（）A.2 B. C.3 D.2.在中，，则的值为（）A.6 B.8 C.10 D.123.已知双曲线经过点，下列各点在双曲线上的是（）A. B. C. D.4.下列相似图形不是位似图形的是（）A. B.C. D.5.如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，且的面积是2，则的面积是（）A.16 B.18 C.20 D.246.如图，在大小为正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（）A.①和③ B.②和③ C.②和④ D.①和④7.在中，的正切和的余弦满足，则为（）A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形8.二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A. B.C. D.9.如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，，则sinA的值为（）A. B. C. D.10.如图，在中，，点为上任一点，点为的中点，连接，点在上，且满足，连接，则的最小值为（）A B. C.1.5 D.2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知，若，则_____．12.已知α是锐角，且，则α=___________．13.如图，拦水坝的横断面为梯形，迎水坡的斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，背水坡的斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．若，则的长度是______．（参考数据：．）14.如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，过点作于点．（1）_____；（2）连接，若交于点，则_____．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．16.在中，，，，解此直角三角形．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，二次函数的图象的对称轴为直线，与直线相交于点和点，其中点在轴上．（1）求该二次函数的顶点坐标；（2）当时，根据图象写出的取值范围．18.已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，．与是以点P为位似中心的位似图形．（1）直接写出点P的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为；（3）若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________．五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】20.如图，在中，于点，，连接并延长交边于点，已知，，．（1）求的度数；（2）求的值．六、（本题满分12分）21.如图1，是某中国工农红军西路军纪念碑，为缅怀革命先烈，传承红色情怀，某班组织学生参观并测量纪念馆中纪念碑的高度，测量方案如下：课题测量中国工农红军西路军纪念碑的高度测量工具卷尺、自制测角仪等

自制测角仪使用方法利用量角器和铅锤自制如图2所示的简易测角仪，使用过程如图3，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点与视线重合时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．测量示意图如图4，纪念碑的高度为，小组成员从纪念碑的底部点出发，向前走到点处，用如图2所示的自制测角仪测得的度数，再继续向前走7.2到达点处，测得的度数，，为该成员眼睛到地面的距离，且点均在同一竖直平面内，点在同一条水平直线上，点在同一条水平直线上．测量数据在点测得的度数在点测得的度数该成员眼睛距离地面的高度21.参考数据．请根据表中所给数据计算中国工农红军西路军纪念碑的高度（结果精确到）．七、（本题满分12分）22.如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，连接，交于点．（1）求证：；（2）如图2，连接，取的中点，连接．①求证：；②若，求的值．八、（本题满分14分）23.如图1，抛物线与轴交于点和点，点位于原点左侧，点位于原点右侧，与轴交于点，连接，已知．（1）求抛物线表达式；（2）若是该抛物线的对称轴，点是抛物线的顶点，点是第一象限内对称轴右侧抛物线上的一个动点．①如图2，连接，若面积为3，求点的坐标；②如图3，设与交于点，连接，求的最大值．九年级数学注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.2的值为（）A2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了特殊角的三角函数．熟练掌握特殊角的三角函数值，是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，，然后计算．【详解】解：∵，∴．故选：B．2.在中，，则的值为（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角函数，理解正切的定义是解题的关键．利用正切的定义解题即可．【详解】解：在中，，，又∵，，∴，解得：．故选：A．3.已知双曲线经过点，下列各点在双曲线上的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，判断点坐标是否在反比例函数上．根据题意先计算出，再得到双曲线的解析式为，再逐一将选项坐标代入判断即可．【详解】解：∵双曲线经过点，∴，∴双曲线的解析式为，A、当时，，则点不在双曲线上，故本选项不符合题意；B、当时，，则点在双曲线上，故本选项符合题意；C、当时，，则点不在双曲线上，故本选项不符合题意；D、当时，，则点不在双曲线上，故本选项不符合题意；故选：B4.下列相似图形不是位似图形的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握位似的性质是解题的关键．根据对应边是否平行判断即可．【详解】解：由各选项图形可知，，，选项的相似图形是位似图形，选项的相似图形不是位似图形．故选：C．5.如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，且的面积是2，则的面积是（）A.16 B.18 C.20 D.24【答案】B【解析】【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形是解题的关键．由题意得位似比，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，位似比为，，，的面积是2，的面积为18，故选：B．6.如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（）A.①和③ B.②和③ C.②和④ D.①和④【答案】A【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可．【详解】解：第一个三角形的边长分别为：，2，；第二个三角形的边长分别为：，，；第三个三角形的边长分别为：2，，；第四个三角形的边长分别为：，3，；∵，对应边成比例的是①和③．故选：A．7.在中，的正切和的余弦满足，则为（）A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，绝对值的非负性，利用非负数的性质，令平方项和绝对值项分别为零，求出和的度数，再计算，从而判断三角形形状，即可作答．【详解】解：∵，且平方项与绝对值项均非负，∴且，∴，，∴，，∴，∴为等边三角形．故选：B．8.二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得为正数是解题的关键．根据反比例函数图象确定出是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解．【详解】解：当时，反比例函数图象位于第一、三象限，，，二次函数与轴的交点在轴负半轴，，二次函数图象开口向上，对称轴为直线，对称轴在轴左边，观察各选项，只有选项符合．当时，反比例函数图象位于第二、四象限，，，二次函数与轴的交点在轴正半轴，，二次函数图象开口向下，对称轴为直线，对称轴在轴左边，观察各选项，没有选项符合．

故选：A

．9.如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，，则sinA的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．【详解】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，∴又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC，∴设AD=2a，则AC=5a，根据勾股定理得到因而sinA=故选B．【点睛】求三角函数值的问题一般要转化为，直角三角形的边的比的问题，本题注意到△AED∽△ABC是解决本题的关键．10.如图，在中，，点为上任一点，点为中点，连接，点在上，且满足，连接，则的最小值为（）A. B. C.1.5 D.2【答案】A【解析】【分析】本题主要考查圆周角定理的推论、相似三角形的判定及性质、解直角三角形等，取的中点为，可证得，得到点在以点为圆心，以长为半径的圆上．【详解】如图所示，取的中点为，可得．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴点在以点为圆心，以长为半径的圆上．根据题意可知，当点位于上时，可取得最小值，如图所示．∵为的中点，为的中点，∴．∴，．∴．∴．故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知，若，则_____．【答案】0.618【解析】【分析】本题考查锐角三角函数的余角关系，掌握锐角三角函数的基础性质是解题关键．根据互余角的三角函数关系，计算即可．【详解】解：若两个角互余，则其中一个角的正弦等于另一个角的余弦．∵，∴与互余，已知，故．故答案为：．12.已知α是锐角，且，则α=___________．【答案】45°【解析】【详解】试题分析：∵sin60°=，α是锐角，且sin（α+15°）=，∴α+15°=60°，解得α=45°．故答案为45°．考点：特殊角三角函数值．13.如图，拦水坝的横断面为梯形，迎水坡的斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，背水坡的斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．若，则的长度是______．（参考数据：．）【答案】31.6【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用坡度问题和勾股定理，准确计算是解题的关键．首先由迎水坡的斜面坡度求出，然后得到，然后由背水坡的斜面坡度求出，然后利用勾股定理求解即可．【详解】∵迎水坡的斜面坡度∴，即∴根据题意得，四边形是矩形∴∵背水坡的斜面坡度∴，即∴∴．故答案为：31.6．14.如图，在矩形中，，，点是的中点，连接，过点作于点．（1）_____；（2）连接，若交于点，则_____．【答案】①.②.【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，求角的正弦值，矩形的性质，勾股定理，作出辅助线构造相似三角形是解题关键．（1）连接，先根据矩形的性质及勾股定理求出的长，再求出，利用等面积法求出的长，最后根据正弦的定义求解即可；（2）延长交于点，根据勾股定理求出，即可得，再证明，可得的长，进而得出的长，然后证明，即可得出答案．【详解】解：（1）如图，连接．∵四边形矩形，，∴，．∵是的中点，∴．在中，由勾股定理得．∵在矩形中，，∴．∵，，∴，∴，∴，故答案为：；（2）如图，延长交于点．在中，，∴．∵，，∴，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴．故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．【答案】1【解析】【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，零次幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先化简特殊角的三角函数值以及零次幂，再运算乘法，最后运算减法，即可作答．【详解】解：．16.在中，，，，解此直角三角形．【答案】，，【解析】【分析】本题考查解直角三角形，需要求出直角三角形的未知边长和角度，已知直角三角形的两条直角边，可先根据勾股定理求出斜边，再利用三角函数求出两个锐角．【详解】解：在中，，，，∴，∴，∴，，即，，．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，二次函数的图象的对称轴为直线，与直线相交于点和点，其中点在轴上．（1）求该二次函数的顶点坐标；（2）当时，根据图象写出的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）求出点的坐标，结合二次函数的对称轴即可求解；（2）根据图象即可解题．【小问1详解】解：在中，当时，，∴，把点代入二次函数，得，∵该抛物线的对称轴为直线，∴，解得，∴该二次函数的解析式为：，∴该二次函数的顶点坐标为；【小问2详解】解：当时，根据图象知的取值范围为．18.已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，．与是以点P为位似中心的位似图形．（1）直接写出点P的坐标；（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为；（3）若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为___________．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】【分析】本题考查位似变换，坐标与图形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）利用位似图形的性质得到位似中心的位置即可求解；（2）根据点O为位似中心，相似比为作图即可；（3）利用位似图形的性质求解即可；【小问1详解】解：如图，连接，并延长相交于点P，∴；【小问2详解】解：如图，即为所求；【小问3详解】解：由题意得，点M在内的对应点的坐标为；故答案为：．五、(本大题共2小题,每小题10分,满分20分)19.如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】【答案】海里【解析】【分析】过点作于点，根据锐角三角函数即可求出、两岛之间的距离．【详解】解：如图，过点作于点，在中，，，∵，，∴（海里），（海里），在中，，，∴（海里），∴（海里），∴、两岛之间的距离约为海里．【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，掌握方位角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20.如图，在中，于点，，连接并延长交边于点，已知，，．（1）求的度数；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由余弦定义求出，由勾股定理得出，由求出，由为等腰三角形即可得出答案；（2）过D作交于点G，求出，由平行线分线段成比例定理得，，得出，设，则，，即可得出答案．本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例等知识，熟练掌握解直角三角形和平行线分线段成比例定理是解题的关键．【小问1详解】解：，，在中，，，，由勾股定理得：，，，，，为等腰三角形，；【小问2详解】，，，过D作交于点G，，，，设，则，，，．六、（本题满分12分）21.如图1，是某中国工农红军西路军纪念碑，为缅怀革命先烈，传承红色情怀，某班组织学生参观并测量纪念馆中纪念碑的高度，测量方案如下：课题测量中国工农红军西路军纪念碑的高度测量工具卷尺、自制测角仪等

自制测角仪使用方法利用量角器和铅锤自制如图2所示的简易测角仪，使用过程如图3，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点与视线重合时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．测量示意图如图4，纪念碑的高度为，小组成员从纪念碑的底部点出发，向前走到点处，用如图2所示的自制测角仪测得的度数，再继续向前走7.2到达点处，测得的度数，，为该成员眼睛到地面的距离，且点均在同一竖直平面内，点在同一条水平直线上，点在同一条水平直线上．测量数据在点测得的度数在点测得的度数该成员眼睛距离地面的高度21.参考数据．请根据表中所给数据计算中国工农红军西路军纪念碑的高度（结果精确到）．【答案】米【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设，根据正切的定义可得，在中，根据正切的定义可得，列方程解答即可．【详解】解：设，根据正切的定义可得：，即，在中，，即，解得：，∴，由题意可得，∴．答：中国工农红军西路军纪念碑的高度为米．七、（本题满分12分）22.如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，连接，交于点．（1）求证：；（2）如图2，连接，取的中点，连接．①求证：；②若，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析②【解析】【分析】（1）先利用正方形性质证明，得到，进而证明，再结合公共角，证明三角形相似．（2）①利用正方形对角线性质，，且，结合第（1）问的相似结论，进行等量代换；②过点作，根据，设，然后用表示出的长度，再结合勾股定理表示的长度；通过等面积法求出，然后根据正方形性质可得为等腰直角三角形，则，据此求出，最后利用三角函数定义计算即可．【小问1详解】解：四边形正方形，在和中，，，，，，，，．【小问2详解】解：①在正方形中，为