37.规律猜想型问题B

规律猜想型问题一、选择题1.（2016湖南娄底，9，3分）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式CH4，乙烷的化学式是C2H6，丙烷的化学式是C3H8，…，设碳原子的数目为n（n为正整数），则它们的化学式都可以用下列哪个式子来表示（）A．CnH2n+2B．CnH2nC．CnH2n﹣2D．CnHn+3【分析】设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，列出部分an的值，根据数值的变化找出变化规律“an=2n+2”，依次规律即可解决问题．【解答】解：设碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目为an，观察，发现规律：a1=4=2×1+2，a2=6=2×2+2，a3=8=2×3+2，…，∴an=2n+2．∴碳原子的数目为n（n为正整数）时，它的化学式为CnH2n+2．故选A．2．（2016•四川达州，8，3分）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出第n次操作后，三角形的个数为3n+1是解题关键．3．（2016•四川凉山州，12，4分）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角 B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角 D．第505个正方形的右下角【分析】根据图形中对应的数字和各个数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本题得以解决．【解答】解：∵2016÷4=504，又∵由题目中给出的几个正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．【点评】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是根据题目中的图形可以发现其中的规律，明确各个数所在的位置．4．（2016四川内江，12，3分）一组正方形按如图3所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2016B2016C2016D2016的边长是()A．()2015B．()2016C．()2016D．()2015xxOyC1D1A1B1E1E2E3E4C2D2A2B2C3D3A3B3图3[答案]D[解析]易知△B2C2E2∽△C1D1E1，∴＝＝＝30°．∴B2C2＝C1D1·30°＝．∴C2D2＝．同理，B3C3＝C2D2·30°＝()2；由此猜想BnCn＝()n－1．当n＝2016时，B2016C2016＝()2015．故选D．二、填空题16．（2016，16，4分）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为．【考点】规律型：点的坐标．【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2016的在第四象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值=2016÷4，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可．【解答】解：由规律可得，2016÷4=504，∴点P2016的在第四象限的角平分线上，∵点P4（1，﹣1），点P8（2，﹣2），点P12（3，﹣3），∴点P2016，故答案为．15．（2016新疆生产建设兵团，15，5分）如图，下面每个图形中的四个数都是按相同的规律填写的，根据此规律确定x的值为370．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】首先观察规律，求得n与m的值，再由右下角数字第n个的规律：2n（2n﹣1）﹣n，求得答案．【解答】解：∵左下角数字为偶数，右上角数字为奇数，∴2n=20，m=2n﹣1，解得：n=10，m=19，∵右下角数字：第一个：1=1×2﹣1，第二个：10=3×4﹣2，第三个：27=5×6﹣3，∴第n个：2n（2n﹣1）﹣n，∴x=19×20﹣10=370．故答案为：370．【点评】此题考查了数字规律性问题．注意首先求得n与m的值是关键．16．（2016四川内江，16，5分）将一些半径相同的小圆按如图5所示的规律摆放，请仔细观察，第n个图形有______个小圆．(用含n的代数式表示)第1个图第2个图第3个图第4个图第1个图第2个图第3个图第4个图图5[答案]n2＋n＋4[解析]每个图由外围的4个小圆和中间的“矩形”组成，矩形的面积等于长成宽．由此可知第1个图中小圆的个数＝1×2＋4，第2个图中小圆的个数＝2×3＋4，第3个图中小圆的个数＝3×4＋4，……第n个图中小圆的个数＝n(n＋1)＋4＝n2＋n＋4．故答案为：n2＋n＋4．18.(2016山东潍坊，18，3分)在平面直角坐标系中，直线l：y=x-1与x轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、……、正方形，使得点、、、……在直线l上，点、、、……在y轴正半轴上，则点的坐标是______.答案：解：∵y=x-1与x轴交于点，∴(1，0)，∵四边形为正方形，∴(0，1)，(1，1)，∴(2，1)，∴(2，3)，∵四边形为正方形，∴(4，3)，∴(4，7)……(，).15.（2016北京，15，3分）百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19991220”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“2350”标示澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为。答案：505考点：考查学生的阅读能力，应用知识解决问题的能力。解析：1＋2＋3＋…＋100＝（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋…＋（50＋51）＝5050，共10行，每一行的10个数之和相等，所以，每一行数字之和为：＝505。18．（2016甘肃定西，18，4分）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…第n个三角形数记为xn，则xn+xn+1=． 【分析】根据三角形数得到x1=1，x2=3=1+2，x3=6=1+2+3，x4=10=1+2+3+4，x5=15=1+2+3+4+5，即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和，即xn=1+2+3+…+n=、xn+1=，然后计算xn+xn+1可得． 21教育网【解答】解：∵x1=1， x2═3=1+2， x3=6=1+2+3， x4═10=1+2+3+4， x5═15=1+2+3+4+5， … ∴xn=1+2+3+…+n=，xn+1=， 则xn+xn+1=+=（n+1）2， 故答案为：（n+1）2． 【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 三、解答题18．（2016安徽，18，8分）（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：（2）观察下图，根据（1）中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1=2n2+2n+1．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】（1）根据1+3+5+7=16可得出16=42；设第n幅图中球的个数为an，列出部分an的值，根据数据的变化找出变化规律“an﹣1=1+3+5+…+（2n﹣1）=n2”，依此规律即可解决问题；（2）观察（1）可将（2）图中得黑球分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，再结合（1）的规律即可得出结论．【解答】解：（1）1+3+5+7=16=42，设第n幅图中球的个数为an，观察，发现规律：a1=1+3=22，a2=1+3+5=32，a3=1+3+5+7=42，…，∴an﹣1=1+3+5+