算术平方根2(含反思)

2.2平方根第1课时算术平方根第一环节：问题情境方法一：问题导入内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限1循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a的大的正方形，那么有1a2=2,a= ,2是有理数，而a是无理数.在前面我们学过若x2=a,则a叫x的平方，反过来x叫a的什么呢？本节课我们一起来学习.方法二：问题导入内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：x2= ，y2= ，z2= ，w2= .目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．效果：能表示x2=2，y2=3，z2=4，w2=5；能求得z=2，但不能求得x，y，w的值.说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性.相对而言，建议选用方法二.第二环节：初步探究内容1：情境引出新概念x2二2,y2二3,z2=4,w2二5，已知幂和指数，求底数x，你能求出来吗？目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．效果：学生可以估算出x,y是1到2之间的数，w是2到3之间的数，但无法表示X，y，w，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算一—开方．说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数X，你能求出来吗？”内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数X就叫做a的算术平方根，记为“J：”，读作“根号a”.特别地，我们规定0的算术平方根是0，即卞'0=0•目的：对算术平方根概念的认识．效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的．内容3：简单运用巩固概念例1求下列各数的算术平方根：49900；(2)1； (3) ； ⑷14.64目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是v'14•效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．

答案：解：⑴因为302二900，所以900的算术平方根是30,即v900二30；（2）因为12=1，所以1的算术平方根是1,即J二1；即需-7⑶因为（7）2=64，所以6|的算术平方根是7即需-7（4）14的算术平方根是*1?.内容4：回解课堂引入问题x2-2,y2-3,w2-5，那么x—弋2,y-^3,w-^5.第三环节：深入探究内容1:例2自由下落物体的高度h（米）与下落时间t（秒）的关系为h—4.9t2.有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落,到达地面需要多长时间？目的：用算术平方根的知识解决实际问题．效果：学生多能利用等式的性质将h—4.9t2进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．解：将h—19.6代入公式h—4.9t2，得12—4，所以正数t-刁-2（秒）.即铁球到达地面需要2秒.说明：强调实际问题t是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的.内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点.目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：中的a是一个非负数，a的算术平方根也是一个非负数，负数没有算术平方根.这也是算术平方根的性质——双重非负性.效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．第四环节：反馈练习一、填空题：若一个数的算术平方根是<7,那么这个数是 TOC\o"1-5"\h\z厉的算术平方根是 ;(3)2的算术平方根是 ；4.若\：m+2=2，贝U(m+2)2= .二、求下列各数的算术平方根：311 ,_ ,_6； ；v15；0.8；10-2；v15；1.12三、解：由题意得AC=5.5米，BC=4.5米，ZABC=90。，在RtAABC中，由勾股定理得ABAC2-BC2=辽52-4.52-<10(米).所以帐篷支撑竿的高是丫10米.目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评.第五环节：学习小结内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：⑴算术平方根的概念，式子需中的双重非负性：一是a±0,二是需三0.算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根.目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质.第六环节：作业布置习题2.3四、教学设计反思1.细讲概念、强化训练要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程.概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的.概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的.概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化.“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征.算术平方根的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，”的“正数x”，即被开方数是正的，由平方的意义，a也是正数，因此算术平方根也必须是正的.当然零的算术平方根是零.“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的质和量，也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.2．发展思维、适度拓展在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对「a的双重非负性的知识进行适当的拓展.7.3平行线的判定第一环节：情景引入活动内容：回顾两直线平行的判定方法师：前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：两条直线在什么情况下互相平行呢？生1：在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线．生2：两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行．生3：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．师：很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实．我们知道：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？这节课我们就来探讨．活动目的：回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔．教学效果：由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回忆起这些知识．第二环节：探索平行线判定方法的证明活动内容：证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．师：这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：如图，已知，Z1和Z2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且Z1与Z2互补，求证：a〃b.如何证明这个题呢？我们来分析分析．师生分析：要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明.这时从图中可以知道：Z1与Z3是同位角，所以只需证明Z1=Z3，则a与b即平行.因为从图中可知Z2与Z3组成一个平角，即Z2+Z3=180°，所以：Z3=180°—Z2•又因为已知条件中有Z2与Z1互补，即：Z2+Z1=180°，所以Z1=180°—Z2，因此由等量代换可以知道：Z1=Z3.师：好.下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写.（在书写的同时说明：符号“•・•”读作“因为”，“・•・”读作“所以”）证明：•Z1与Z2互补（已知） AZ1+Z2=180°（互补定义）AZ1=180°—Z2（等式的性质）TZ3+Z2=180°（平角定义）AZ3=180°—Z2（等式的性质）AZ1=Z3（等量代换）.•.a〃b（同位角相等，两直线平行）这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：直线平行的判定定理.这一定理可简单地写成：同旁内角互补，两直线平行.注意：（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理.（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理.在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内.证明：内错角相等，两直线平行.师：小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？为什么？（见相关动画）生：我认为他的作法对•他的作法可用上图来表示：zCFE=45°,ZBEF=45°•因为ZBEF与ZFEA组成一个平角，所以ZFEA=180°—ZBEF=180°—45°=135°.而ZCFE与ZFEA是同旁内角.且这两个角的和为180°，因此可知：CD〃AB.师：很好.从图中可知：zCFE与ZFEB是内错角.因此可知：“内错角相等，两直线平行”是真命题.下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程.师生分析：已知，Z1和Z2是直线a、b被直线c截出的内错角，且Z1=Z2.求证：a〃b证明：•••Z1=Z2（已知） Z1+Z3=180°（平角定义）AZ2+Z3=180°（等量代换） AZ2与Z3互补（互补的定义）・a〃b（同旁内角互补，两直线平行）.这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：内错角相等，两直线平行.借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？生1：已知，如图，直线a丄c,b丄c.求证：a〃b.证明：°.°a丄c,b丄c（已知）.•・Z1=90°Z2=90。（垂直的定义）AZ1=Z2（等量代换）.•.b〃a（同位角相等，两直线平行）生2：由此可以得到：“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论.师：同学们讨论得真棒.下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理.活动目的：通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式．教学效果：由于学生有了以前学习过的相关知识，对几何证明题的格式有所了解，今天的学习只不过是将原来的零散的知识点以及学生片面的认识进行归纳，学生的认识更提高一步．第三环节：反馈练习活动内容：课本第231页的随堂练习第一题活动目的：巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况进行分析，以便调整前进．教学效果：由于此题只是简单地运用到平行线的判定的三个定理（公理），因此，学生都能很快完成此题．第四环节：学生反思与课堂小结活动内容：这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．同学们来归纳一下完成下表：由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角．注意：证明语言的规范化．推理过程要有依据．活动目的：通过对平行线的判定定