+四川省成都市武侯区西川实验学校2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

2023-2024学年四川省成都市武侯区西川实验学校九年级（上）开学数学试卷一.选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．矩形2．（4分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，c＝2cm，则d＝（）A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm3．（4分）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．84．（4分）点（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上（）A．（2，﹣） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，﹣）5．（4分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，下面列出的方程正确的是（）A．100（1+x）＝121 B．100（1﹣x）＝121 C．100（1+x）2＝121 D．100（1﹣x）2＝1216．（4分）下列说法中，正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是菱形7．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD和CD上，垂足为G，若，则的值为（）A． B． C． D．8．（4分）设α，β是方程x2+9x+1＝0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（）A．0 B．1 C．2000 D．4000000二.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）已知，则＝．10．（4分）若点A（x1，﹣1），B（x2，3），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是．11．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3．12．（4分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是．13．（4分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE，BC于点M，N．记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为．三.解答题（本答题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（10分）（1）分解因式：a2b﹣4ab2+4b3．（2）计算：﹣|1﹣|+（﹣）15．（10分）解一元二次方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0．（2）2x（x+2）﹣1＝0．16．（8分）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在一条直线上）（结果精确到1米；参考数据sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）17．（10分）如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连结AF交EH于点G（1）求证：BE＝CF；（2）当＝，AD＝4时，求EF的长．18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若P为x轴上一点，△ABP的面积为5，求点P的坐标；（3）结合图象，关于x的不等式kx+b＜的解集为．一.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝．20．（4分）关于x的一元二次方程mx2﹣8x+16＝0有两个不相等的实数根，则m的范围．21．（4分）如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则tan∠ACB的值为．22．（4分）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝3cm，折痕端点G、F分别在边AD、DC上，则当折痕端点F恰好与C点重合时cm．23．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，E是AB的中点，F是线段EC上一动点，连接PB，则线段PB的最小值为．二、解答题（共30分）24．（8分）我校为了进行学雷锋爱心义卖活动，决定在操场划分一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙长31米），另外三边由总长为60米的围绳围成（如图）．请根据方案计算出矩形场地的边长各是多少米？25．（10分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，且DE＝DC，（∠CDE＜90°）．连接AE．（1）若∠CDE＝20°，求∠DAE的度数；（2）过点A作射线EC的垂线段，垂足为P，求证AE＝；（3）在（2）的条件下，AP与BC交于点F，求CE的长．26．（12分）如图，已知矩形ABCD，点E在边CD上，过C作CM⊥BE于点M，连接AM，交BC于点N．（1）求证：△MAB∽△MNC；（2）若AB＝4，BC＝6，且点E为CD的中点；（3）若，且MB平分∠AMN，求的值．

2023-2024学年四川省成都市武侯区西川实验学校九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．直角三角形 B．等边三角形 C．平行四边形 D．矩形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一点；即不满足中心对称图形的定义；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（4分）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，c＝2cm，则d＝（）A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．根据定义ad＝cb，将a，b及c的值代入即可求得d．【解答】解：∵a，b，c，d是成比例线段，∴ad＝cb，∵a＝1cm，b＝4cm，∴d＝2（cm），故选：A．【点评】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．3．（4分）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．【解答】解：根据题意，得：（n﹣2）×180＝360×3．故选：D．【点评】解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．4．（4分）点（﹣1，2）在反比例函数y＝的图象上（）A．（2，﹣） B．（2，﹣1） C．（﹣2，﹣1） D．（1，﹣）【分析】将点（﹣1，2）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．【解答】解：∵点（﹣1，2）在反比例函数y＝，∴k＝﹣6×2＝﹣2，四个选项中只有B符合．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．5．（4分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，下面列出的方程正确的是（）A．100（1+x）＝121 B．100（1﹣x）＝121 C．100（1+x）2＝121 D．100（1﹣x）2＝121【分析】设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100（1+x）元，然后再根据价钱为100（1+x）元，表示出第二次提价后的价钱为100（1+x）2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，根据题意得：100（1+x）2＝121，故选：C．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n（一般情况下为2），增长后的量为b，则有表达式a（1+x）n＝b，类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“减”．6．（4分）下列说法中，正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是菱形【分析】根据四条边都相等的四边形是菱形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形分别进行分析即可．【解答】解：A、四边相等的四边形是菱形；B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D、对角线相等的平行四边形是矩形；故选：A．【点评】此题主要考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解决问题的关键．7．（4分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD和CD上，垂足为G，若，则的值为（）A． B． C． D．【分析】设AB＝m，由＝2，得AE＝DA＝m，可证明△ABE≌△DAF，得DF＝AE＝m，则AF＝＝m，再证明△GAE∽△DAF，得＝＝，所以AG＝AD＝m，GF＝AF﹣AG＝m，即可求得＝，于是得到问题的答案．【解答】解：设AB＝m，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA＝m，∠BAE＝∠D＝90°，∵＝2，∴AE＝DA＝m，∵AF⊥BE于点G，∴∠AGE＝90°，∴∠ABE＝∠DAF＝90°﹣∠AEB，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴DF＝AE＝m，∴AF＝＝＝m，∵∠AGE＝∠D＝90°，∠GAE＝∠DAF，∴△GAE∽△DAF，∴＝＝＝，∴AG＝AD＝m，∴GF＝AF﹣AG＝m﹣m，∴＝＝，故选：C．【点评】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△ABE≌△DAF及△GAE∽△DAF是解题的关键．8．（4分）设α，β是方程x2+9x+1＝0的两根，则（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值是（）A．0 B．1 C．2000 D．4000000【分析】欲求（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式（α2+2009α+1）（β2+2009β+1）＝（α2+9α+1+2000α）（β2+9β+1+2000β），再利用根与系数的关系代入数值计算即可．【解答】解：∵α，β是方程x2+9x+2＝0的两个实数根，∴α+β＝﹣9，α•β＝5．（α2+2009α+1）（β8+2009β+1）＝（α2+2α+1+2000α）（β2+4β+1+2000β）又∵α，β是方程x2+8x+1＝0的两个实数根，∴α6+9α+1＝6，β2+9β+7＝0．∴（α2+2α+1+2000α）（β2+6β+1+2000β）＝2000α•2000β＝2000×2000αβ，而α•β＝1，∴（α2+9α+1+2000α）（β8+9β+1+2000β）＝7000000．故选：D．【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．二.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9．（4分）已知，则＝2．【分析】根据已知得出a＝2b，代入分式进行化简即可求解．【解答】解：∵，∴a＝2b，∴＝．故答案为：6．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌分式的性质握是解题的关键．10．（4分）若点A（x1，﹣1），B（x2，3），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是x2＞x3＞x1．【分析】先根据函数解析式判断出函数图象在二四象限，再判断出函数图象的增减性，根据各点纵坐标的值即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数，k＝4＞4，∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，∵﹣1＜0，4＞0，∴点A在第四象限，点B，∴x1＞2，x2＜0，x3＜0，∵3＜3，∴x2＞x3＞6，∴x2＞x3＞x3．故答案为：x2＞x3＞x2．．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．11．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：34：9．【分析】先利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，相似比为2：3，然后根据相似三角形的性质解决问题．【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，∴△ABC∽△DEF，相似比为6：3，∴△ABC与△DEF的面积之比为27：32＝4：9．故答案为：4：4．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．12．（4分）现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2﹣3a+b，如：3★5＝32﹣3×3+5，若x★2＝6，则实数x的值是﹣1或4．【分析】根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题中的新定义将x★2＝6变形得：x6﹣3x+2＝2，即x2﹣3x﹣7＝0，因式分解得：（x﹣4）（x+3）＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，则实数x的值是﹣3或4．故答案为：﹣1或7【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．13．（4分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE，BC于点M，N．记△AOM的面积为S1，△CON的面积为S2，若正方形的边长AB＝10，S1＝16，则S2的大小为9．【分析】根据正方形的性质得出OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOF＝90°，推出∠EOB＝∠COF，证出△OBM≌△OCN可得答案．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形OEGF都是正方形，∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∴∠EOB＝∠COF，在△OBM与△OCN中，，∴△OBM≌△OCN（SAS），∴，∴S2＝25﹣16＝7，故答案为：9．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，证明△OBM≌△OCN是解答此题的关键．三.解答题（本答题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（10分）（1）分解因式：a2b﹣4ab2+4b3．（2）计算：﹣|1﹣|+（﹣）【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答；（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：（1）a2b﹣4ab2+4b3＝b（a2﹣4ab+4b6）＝b（a﹣2b）2；（2）﹣|1﹣）×sin60°＝﹣5﹣（﹣1）+（﹣＝﹣2﹣+5﹣＝﹣3﹣﹣．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，实数的运算，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．15．（10分）解一元二次方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0．（2）2x（x+2）﹣1＝0．【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（2）整理成一般式，再利用公式法求解即可．【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣2＝0，∴（x﹣5）（x+8）＝0，则x﹣5＝7或x+1＝0，解得x7＝5，x2＝﹣5；（2）整理成一般式，得：2x2+2x﹣1＝0，∵a＝2，b＝4，∴Δ＝48﹣4×2×（﹣3）＝24＞0，则x＝＝，∴x7＝，x2＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．16．（8分）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在一条直线上）（结果精确到1米；参考数据sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）【分析】延长BC交MN于点H，设MH＝x米，∠MEC＝45°，故EH＝x米，则tan∠MBH＝＝≈0.65，进而求解．【解答】解：延长BC交MN于点H，AD＝BE＝3.5，设MH＝x米，∵∠MEC＝45°，∴EH＝x米，在Rt△MHB中，tan∠MBH＝＝，解得x＝6.6，则MN＝1.6+3.5＝8.7≈8（米），∴电池板离地面的高度MN的长约为8米．【点评】本题是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决．17．（10分）如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连结AF交EH于点G（1）求证：BE＝CF；（2）当＝，AD＝4时，求EF的长．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到GE＝GF，再根据等边对等角得出∠E＝∠GFE，根据矩形的性质得出AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，于是可证△ABF和△DCE全等，得到BF＝CE，从而问题得证；（2）先证△ECD∽△EFH，得出比例式，再结合已知即可求出EF的长．【解答】（1）证明：∵FH⊥EF，∴∠HFE＝90°，∵GE＝GH，∴，∴∠E＝∠GFE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，∴△ABF≌△DCE（AAS），∴BF＝CE，∴BF﹣BC＝CE﹣BC，即BE＝CF；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴DC⊥BC，即DC⊥EF，BC＝AD＝3，∵FH⊥EF，∴CD∥FH，∴△ECD∽△EFH，∴，∴，∵，∴，设BE＝CF＝x，∴EC＝x+4，EF＝3x+4，∴，解得x＝1，∴EF＝6．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键．18．（10分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若P为x轴上一点，△ABP的面积为5，求点P的坐标；（3）结合图象，关于x的不等式kx+b＜的解集为0＜x＜2或x＜﹣3．【分析】（1）把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出m，得出反比例函数的解析式，再把A点的坐标代入反比例函数的解析式，求出n，再求出一次函数的解析式即可；（2）根据一次函数的解析式求得与x轴的交点C，然后根据△ABP的面积为5求得CP的长度，进而即可求得P点的坐标；（3）根据函数的图象和A、B两点的坐标得出答案即可．【解答】解：（1）把B（2，3）代入y＝，即反比例函数的表达式是y＝，把A（﹣3，n）代入y＝＝﹣2，即A（﹣7，﹣2），把A、B的坐标代入y＝kx+b，得，解得，所以一次函数的表达式是y＝x+1；（2）y＝x+8，当y＝0时，x＝﹣1，即直线y＝x+5与x轴的交点坐标是（﹣1，0），∵A（﹣5，﹣2），3），∴CP×3+，∴CP＝2，∴点P的坐标是（5，0）或（﹣3；（3）根据图象可知：关于x的不等式kx+b＜的解集为3＜x＜2或x＜﹣3，故答案为：8＜x＜2或x＜﹣3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．一.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）若a+b＝3，a2+b2＝7，则ab＝1．【分析】根据完全平方公式，可得答案．【解答】解：（a+b）2＝33＝9，（a+b）2＝a8+b2+2ab＝7．∵a2+b2＝7，∴2ab＝2，ab＝3，故答案为：1．【点评】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式是解题关键．20．（4分）关于x的一元二次方程mx2﹣8x+16＝0有两个不相等的实数根，则m的范围m＜1且m≠0．【分析】根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣8x+16＝5有两个不相等的实数根，∴，解得：m＜8且m≠0．故答案为：m＜1且m≠8．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．21．（4分）如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则tan∠ACB的值为．【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．【解答】解：由图形知：tan∠ACB＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．22．（4分）在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝3cm，折痕端点G、F分别在边AD、DC上，则当折痕端点F恰好与C点重合时1cm．【分析】首先根据题意画出图形，然后由勾股定理求得BE的长，继而求得答案．【解答】解：如图，在矩形ABCD中，BC＝3cm，∴CD＝AB＝5，∠B＝90°，由折叠的性质可得：CE＝CD＝6cm，∴BE＝＝＝4（cm），∴AE＝AB﹣BE＝1cm．故答案为：8．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．23．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，E是AB的中点，F是线段EC上一动点，连接PB，则线段PB的最小值为．【分析】如图，取CD中点G，连接AG交DE于O，连接BG，根据矩形的性质得到可得AH∥CE，当BP⊥OG时，BP有最小值，即可求解．【解答】解：如图，取CD中点G，连接BG，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝4，∵点E是AB中点，点G是CD中点，∴CG＝AE＝DG＝BE＝4，∴AG＝5，∴四边形AEGD是矩形，∴点O是ED的中点，OG即为点P的运动轨迹，∴当BP⊥OG时，BP有最小值，∵2S△ABG＝AG•BH＝AB•EG，∴BH＝＝，∴BP的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质等知识，确定点P的运动轨迹是本题的关键．二、解答题（共30分）24．（8分）我校为了进行学雷锋爱心义卖活动，决定在操场划分一块面积为480平方米的矩形场地．若矩形场地的一边靠墙（墙长31米），另外三边由总长为60米的围绳围成（如图）．请根据方案计算出矩形场地的边长各是多少米？【分析】设矩形场地的长为x米，则宽为米，根据题意列出相应的一元二次方程即可求解．【解答】解：设矩形场地的长为x米，则宽为米，由题意得：，∴，∴x5﹣62x+960＝0，∴（x﹣30）（x﹣32）＝0，解得：x＝30或x＝32（舍去），∴，∴矩形场地的长为30米，宽为16米．【点评】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．25．（10分）如图，正方形ABCD中，AB＝2，且DE＝DC，（∠CDE＜90°）．连接AE．（1）若∠CDE＝20°，求∠DAE的度数；（2）过点A作射线EC的垂线段，垂足为P，求证AE＝；（3）在（2）的条件下，AP与BC交于点F，求CE的长．【分析】（1）利用正方形四个内角都是90°及已知条件∠CDE＝20°可以得出∠ADE的大小，利用正方形四条边相等及DE＝DC，可以得出DA＝DE，从而求出∠DAE的大小，（2）利用方程思想，设∠DAE＝∠DEA＝x°，∠BAF＝y°；找到关键角∠1，利用外角的知识，用含有x或y的表达式表示∠1、∠2，再借助等腰三角形DCE的两底角相等，得出∠3的表达式，构建方程，从而得出∠PAE＝45°，继而得出AE＝AP．（3）过点D作DK⊥EP，得出△ABF∽△DKC，从而得出对应线段成比例；再借助勾股定理求出相关对应线段的长度，从而求出CK的长度，继而利用三线合一求出CE的长度．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠ADC＝90°，∵DE＝DC，∠CDE＝20°，∴DE＝DA，∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°+20°＝110°，∴∠DAE＝（180°﹣∠ADE）＝×70°＝35°．（2）设∠DAE＝∠DEA＝x°，∠BAF＝y°，∵四边形ABCD是正方形，过点A作射线EC的垂线段，∴∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠APC＝90°，∠FCP+∠2＝90°，又∵∠AFB＝∠CFP，∴∠FCP＝∠BAF＝y°，∠2＝（90﹣y）°，∵DC＝DE，∴∠DEC＝∠2＝（90﹣y）°，则∠3＝∠DEC﹣∠DEA＝（90﹣y）°﹣x°＝（90﹣x﹣y）°，∵∠1＝∠DAE+∠ADG＝∠2+∠3，∴x+90＝90﹣y+90﹣x﹣y，则2x+7y＝90，∴x+y＝45，即∠BAF+