专题4 三角形相关性质

学习数学领悟数学应用数学专题4三角形相关性质专题4万剑自生——三角形相关性质万条杨柳拂青天，剑刃潇洒错下船．自言曲线与三角，生世纵横却惊仙．三角之美，曲线之艳，相互融合，相互成就．一曲三角总结入魂，万种方法细致入微．在焦点三角形中行走，在等腰三角形中遨游，在直角三角形中飞翔．在圆锥曲线的世界，以正余弦定理为武器，以基础知识点为盾牌，体验圆锥曲线中的三角之美．第一讲与等腰三角形有关的解题技巧在圆锥曲线当中，因为圆锥曲线的特殊对称性往往会形成很多等腰三角形．例如，关于原点对称，关于焦点对称，都可以形成等腰三角形．这些等腰三角形中的等量关系往往可以成为命题人的一个重要命题方向．我们需要通过这些等量关系来构造方程，从而得到解决题目的目的．有的时候会比较隐蔽，那么我们就需要对圆锥曲线的一些基本性质进行一个熟练的掌握．接下来的这一节当中，我们会通过一些例题来进行一个详细的讲解．【例1】（河南月考）已知点为椭圆上的动点，过点作直线及直线的平行线，且与这两条直线分别交于点、，若为定值，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【例2】椭圆的一个焦点为，该椭圆上有一点，满足是等边三角形（为坐标原点），则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【例3】（常德期末）已知，为双曲线的焦点，过作垂直于实轴的直线交双曲线于，两点，交虚轴于点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【例4】（舟山期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一点，直线垂直于且交线段于点，，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【例5】（沙坪坝月考）已知，是椭圆上的两个动点，，，则以为直角顶点的等腰直角的个数为（）A．2 B．4 C．6 D．多于6个【例6】（道里三模）已知、分别是双曲线的左右焦点，为轴上一点，为左支上一点，若，且△周长最小值为实轴长的3倍，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．【例7】（成都期末）设椭圆的左，右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于，两点若，且，则椭圆的短轴长为（）A．5 B． C．10 D．【例8】（福建模拟）在直角坐标系中，双曲线C：的右顶点为A，直线与相交于两点，位于第一象限，若平分，则的离心率为（）【例9】（雅安期末）设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若△的面积是△的三倍，，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【例10】（宁德模拟）双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点．为曲线右支上的点，点在外角平分线上，且．若△恰为顶角为的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【例11】（全国模拟）倾斜角为的直线与双曲线交于不同的两点，，且点、在轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（）A． B． C． D．【例12】（鹿城区月考）如图，为正半轴上一点．第一象限内两点，在抛物线上，满足，记．（1）若，，求的值：（2）若存在，使得，求的取值范围．【例13】（淇滨区月考）已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点．若，双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．【例14】已知椭圆:与双曲线:有相同的焦点、，其中为左焦点．点P为两曲线在第一象限的交点，、分别为曲线、的离心率，若是以为底边的等腰三角形，则的取值范围为．第二讲直角三角形相关问题直角三角形是平面几何的重要内容．那么在直角三角形当中，勾股定理，斜边的中线等于斜边的一半，以及因为有一个直角的存在，很容易与一些特殊值的三角函数联系起来．这些性质在解析几何当中会为我们解题带来很好的帮助．我们接下来会通过这些高考题和高考模拟题来把这些性质加以一个充分的，淋漓尽致的阐述．【例1】（梅河口模拟）直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【例2】（景德镇月考）已知点是抛物线上位于第一象限的点，是其焦点，的倾斜角为，以为圆心，为半径的圆交该抛物线准线于，两点，则的面积为A． B． C． D．18【例3】（湖北模拟）已知双曲线，，分别为双曲线左右焦点，，为双曲线上一点，且位于第一象限，若△为锐角三角形，则的取值范围为A． B． C． D．【例4】（眉山模拟）点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线于，两点（点在第一象限），过、分别作抛物线的准线的垂线段，垂足分别为、，若，，则直线的斜率为【例5】（西青区期末）双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线分别为，，点在第一象限内且在上，若且，则双曲线的离心率为A． B．2 C． D．【例6】（新疆模拟）过双曲线右焦点的直线与交于，两点，，若，则的离心率为A． B．2 C． D．【例7】（吴忠模拟）已知直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，则△为A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【例8】（柯城区一模）已知，是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为A． B． C． D．【例9】（齐齐哈尔一模）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点．若，则的值等于A．1 B．2 C．3 D．4【例10】（安阳二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其右支上存在一点，使得，直线．若直线，则双曲线的离心率为A． B．2 C． D．5【例11】（湖北模拟）设点，分别为双曲线的左、右焦点，点，分别在双曲线的左、右支上，若，且，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【例12】（湖北期末）已知抛物线的焦点为，定点，若直线与抛物线相交于，两点（点在，中间），且与抛物线的准线交于点，若，则的长为A． B．1 C． D．【例13】（广东期末）已知双曲线的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率A． B． C． D．2第三讲椭圆与双曲线共焦点三角形椭圆和双曲线共焦点模型自从2014湖北高考出现选择压轴题以来，一直被命题者所青睐，经常作为圆锥曲线选填压轴题来出现．主要分为张角固定模型和与焦半径有关的模型．考点一、张角固定模型【例1】（龙凤区模拟）椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点对两公共焦点，的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则（）A． B． C． D．【例2】（沙市区期末）椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且．若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2【例3】（武昌区期中）如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为，，是它们的一个公共点，且，设它们的离心率分别为，，则（）A．1 B． C．2 D．【例4】（红河州一模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最大值为（）A． B． C． D．1【例5】（保定期末）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，且两条曲线在第一象限的交点为，△是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（）A． B． C． D．【例6】（镇海区期中）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，设点是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（）A． B． C． D．【例7】（太原二模）已知点，分别是椭圆和双曲线的公共焦点，，分别是和的离心率，点为和的一个公共点，且，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．考点二、与焦半径有关的共焦点模型这一类共焦点模型没有上一类那么固定，但基本上也是通过题目给出的已知条件找到和之间的等量关系，然后再用不等式来求解．【例8】（山东模拟）已知椭圆与双曲线有共同的左、右焦点、，且在第一象限的交点为，满足（其中为坐标原点），设，的离心率分别为，，当取得最小值时，的值为（）A． B． C． D．【例9】（崂山区期中）已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线经过点，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（）A．2 B． C．6 D．【例10】（沙坪坝期中）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为与，则的取值范围是（）A． B． C． D．【例11】（福州期中）已知椭圆与双曲线有公共焦点，，且两条曲线在第一象限的交点为点，则△的面积为（）A． B． C． D．第四讲相似三角形在几何中的应用很多同学谈到圆锥曲线就满脸愁容，很多时候在于解题思路不明确或者是解题方法不合理；解析几何计算是必不可少的，但是在某些时候不一定非要硬算，有一类题目可以通过构造相似三角形可以巧妙地减小一类解析几何问题的运算量提高解题效率，阿波罗尼斯圆本质上也是相似三角形，所以也可以用相似三角形来分析，接下来通过一些具体例子来说明这个问题，希望能够给大家带来帮助．【例1】（东阳市月考）已知为坐标原点，，分别是双曲线的左、右顶点，是双曲线上不同于，的动点，直线，分别与轴交于点，，则（）A．16 B．9 C．4 D．3【例2】（辽宁二模）在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于，两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【例3】（河南月考）已知，分别为椭圆的左、右焦点，是上一点，满足，是线段上一点，且，，则的离心率为（）A． B． C． D．【例4】已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点N．线段的中点为M，线段的垂直平分线MP与的交点P（第一象限）在椭圆上，且MP交x轴于点G，则的取值范围为（）A． B． C． D．【例5】（重庆高考2015改编）设双曲线（）的右焦点为，左顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点．若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是．【例6】（武汉外校月考）已知圆:，定点其中为圆上的动点，则的最小值为．【例7】已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，点P在圆上，点Q在椭圆上，则的最小值是．【例8】如图所示，过抛物线的焦点作直线交于、两点，过、分别向的准线作垂线，垂足为，，已知四边形与的面积分别为15和7，则△的面积为．【例9】（浙江高三开学考）已知F1、F2，是双曲线：（，）的左、右焦点，A，B分别在双曲线的左右两支上，且满足（λ为常数），点C在x轴上，，，则双曲线的离心率为________________第五讲 余弦定理在解析几何中的运用余弦定理是解三角形当中的一个重要工具，可以十分有效的把边与角之间利用起来，圆锥曲线很多以这个为背景来命题．用得好会为我们带来很多便利．【例1】（雅安期末）设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若△的面积是△的三倍，，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【例2】（成都期末）设椭圆的左，右焦点分别为，，经过点的直线与椭圆相交于，两点若，且，则椭圆的短轴长为（）A．5 B． C．10 D．【例3】（怀化模拟）已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点，过点作斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若，则（）A． B． C． D．【例4】已知、为椭圆的左右焦点，为该椭圆内接三角形，，分别在边AB，AC上，且，，则该椭圆的离心率．【例5】（黄冈）设抛物线的焦点为，已知，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为．第六讲双曲线渐近线与离心率的问题双曲线的渐近线是双曲线独有的特征，因为渐近线本来就具备对称性，所以很容易和四边形一起组合出题，特别的焦点到渐近线的距离等于b这一结论经常使用，除此之外，很多平面几何知识三角函数知识都穿插其中，若使用得当，可以带来极大方便．【例1】（广东一模）已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于，两点，且，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【例2】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为A．若，则该双曲线离心率的取值范围为（）A． B． C． D．【例3】（香坊区二模）已知双曲线，过右焦点作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，以为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线交于，两点，且，，三点共线，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【例4】（贵州模拟）设双曲线的右焦点为，的一条渐近线为，以为圆心的圆与相交于，两点，，为坐标原点，，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【例5】设双曲线的右焦点为，过点作