专题8 齐次化问题

专题8小夜叉棍法——齐次化探究斜率和积与定值定点问题已知点是平面内一个定点，椭圆C：上有两动点A、B若直线，则直线过定点．若直线，则直线过定点．若直线，则直线的斜率为定值【例1】（下城期中）如图，椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若点为右准线上一点，为左顶点，连接交椭圆于，求的取值范围；（3）经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点，（均异于点证明：直线与的斜率之和为定值．【例2】（茂名一模）已知椭圆离心率为，以原点为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点的直线与该椭圆交于、两点，满足直线，，的斜率依次成等比数列，求面积的取值范围．【例3】（成都模拟）椭圆的左右顶点分别为，，点为椭圆上异于，的任意一点．（1）求直线与的斜率之积；（2）过点作与轴不重合的任意直线交椭圆于，两点．证明：以为直径的圆恒过点．结论1若直线与曲线交于、两点，为曲线上一点，且，则直线必过定点．特别地，当点位于椭圆的顶点时，直线必过定点．结论2若直线与双曲线交于、两点，为双曲线上一点，且，则直线必过定点．特别地，当点位于双曲线实轴顶点时，直线必过定点．【例4】（2013•江西）如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为．（1）求椭圆的方程；（2）是经过右焦点的任一弦（不经过点，设直线与直线相交于点，记，，的斜率分别为，，．问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【例5】（泰州模拟）已知，，为圆上三点．（1）求的值；（2）若直线过点，求面积的最大值；（3）若为曲线上的动点，且，试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【例6】（2020•山东）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求的方程；（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．【例6】（2022·新高考Ⅰ卷）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．（1）求l的斜率；（2）若，求的面积．第二讲先求轨迹再齐次化动态弦中点问题涉及到斜率问题都可以采用先求轨迹再其次化的方法，具体方法如下：1.先设出中点坐标利用中点弦的乘积公式(和都可以用中点坐标表示具体证明见第三定义)可以求出动点弦的轨迹方程(得到的形状和原来的圆锥曲线形状一致)2.再把坐标原点平移到动态弦经过的定点，后续处理等同于齐次化处理定值定点问题【例6】（镇江期末）已知椭圆的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，．（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；（3）若弦，的斜率均存在，求面积的最大值．【例7】（丹阳月考）已知左焦点为的椭圆过点，过右焦点分别作斜率为，的椭圆的动弦，．设点，分别为线段，的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求三角形面积的最大值；（3）若，①求证：直线经过定点，并求出定点的坐标．②求证：点到直线，的距离的平方和为定值．【例8】已知椭圆过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作斜率为、的椭圆的动弦、，设、分别为线段、的中点，若，是否存在一个定点，使得其在直线上，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．第三讲非常规齐次化【例9】（武汉检测）已知椭圆：的左右顶点分别为，，过椭圆内点且不与轴重合的动直线交椭圆于，两点，当直线与轴垂直时，.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线，和直线：分别交于点，，若恒成立，求的值.【例10】P为圆上一动点，点B的坐标为(2,0)，线段PB的垂直平分线交直线AP于点Q．（1）求点Q的轨迹方程C；（2）如图，（1）中曲线C与x轴的两个交点分别为A1和A2，M、N为曲线C上异于A1、A2的两点，直线MN不过坐标原点，且不与坐标轴平