培养数学反思习惯 提升数学学习能力

PAGEPAGE1培养数学反思习惯提升数学学习能力作者冯强泉摘要：数学反思习惯对理解数学知识、培养解题能力、提高学习效率具有十分重要的作用。为推进素质教育，本文运用案例分析的方法阐述了教师应精心设计教学过程引导学生反思概念、定理、解题，同时合理实施各项举措，促进学生反思，逐渐培养反思习惯等教学策略。关键词：数学反思培养策略数学反思是指学习者对自身数学学习活动的过程及活动过程中涉及的有关事物（材料、信息、思维、结果等）学习特征的反向思考［1］。世界著名数学教育大师荷兰的弗赖登塔尔教授曾精辟指出：反思是数学思维活动的核心和动力，通过反思才能使学生的现实世界数学化，没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平。所以，数学反思对数学学习的效果至关重要。但一直以来，教师很少引导学生反思，学生也缺乏反思意识，学生普遍不会反思，这直接影响学生数学素质的提高和创新意识、创造能力的发展。为此，数学教师应加强引导学生反思，培养学生的数学反思习惯。1精心设计教学过程，引导学生反思学生的数学反思习惯不是天生的，需要教师在平时的教育教学中加强引导，帮助学生培养反思意识，教给学生反思方法，逐渐养成学生的反思习惯。1.1反思概念，深刻理解概念是数学的基础，只有掌握概念，才能在头脑中建筑起数学大厦。因此，概念教学是数学教学的基础，是培养学生反思习惯的主要阵地。1.1.1反思概念的本质特征概念教学的本质是要使学生在头脑中形成概念表象，帮助学生建构起良好的概念图式［2］。概念教学中，当学生习得言语信息后，应当引导学生反思：它有哪些特征？如在平方根教学中，教师要提出问题：你是如何理解的？由此引导学生反思，逐渐意识到：是一个数，是一个非负数，这个数的平方会等于非负数等等。1.1.2反思相似的概念数学中很多概念是相似的，教师应当引导学生反思，以区分相似概念，深刻把握概念的本质。如在学习不等式解的概念时，应当引导学生反思：不等式的解与方程的解有何区别？学生经过反思意识到：一元一次方程的解最多只有一个，而一元一次不等式的解一般有无数个。如对于不等式x+3>0，大于-3的无数个数都是这个不等式的解，表示为x>-3，即x>-3这个式子表明：x是那些大于-3的无数个数。1.2反思定理，切实把握定理内涵数学中很多定理都是用非常简练、严谨的语言表述的，它不利于学生初学时对定理的理解和把握,为此，教师要引导学生对定理进行反思。如定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等，教师要引导学生如此反思：用你自己的话怎么表述这个定理？这个定理的题设是什么，结论是什么？用几何语言怎么书写？这个定理可以用来证明什么结论？1.3反思解题，提升能力著名数学教育家G．波利亚把解题过程分成四个步骤：(1)理解题目;(2)拟定方案;(3)实行方案;(4)回顾［3］。学生得出了数学题的答案，并不意味着解题思维活动的结束，而是深度思维的开始，教师要引导学生进行解题反思，深化认识，提升能力。1.3.1反思解题思路学生在解完一道题后，往往就心满意足，不再思考，这就错过了提高升华的的机会。绝大部分学生在解题过程中，总在不断尝试，不断修正，解题思路并不十分清晰。为提高解题质量和效率，数学教师要经常引导学生回顾和整理解题思路，概括解题思想，使解题过程清晰化、思维条理化、精确化和概括化。教师要引导学生在一个数学解题结束后尽力去回忆自己从开始到结束的每一步心理活动，反思自己做的到底对不对？哪里有疑问？一开始自己是怎么分析题意的?中间遇到了什么困惑？如何解决困惑？运用了什么知识点？涉及到哪些思想方法？解题的易错点是什么？解题的关键是什么？以后解题时应如何避免走弯路？等等。例如：如图1，已知等腰梯形ABCD，AB=6，CD=10，∠C=600，求等腰梯形ABCD的周长。ABCDABCDE图1∵四边形ABCD是等腰梯形∴AB∥CD，AD=BC，∠C=∠D=600∵AB∥CD，BE∥AD∴四边形ABED是平行四边形∴AB=DE=6，AD=BE∴BE=BC，EC=DC-DE=10-6=4又∵∠C=600∴△BEC是等边三角形∴BC=EC=4=AD∴等腰梯形ABCD的周长=6+10+4+4=24。学生解决问题后，教师要引导学生反思：这道题的解题思路是怎样的？体现了什么样的思想方法？以后碰到这种等腰梯形的问题可以怎么考虑？实际上，本题是等腰梯形的问题，通过作辅助线，把梯形分成一个平行四边形和一个等腰三角形，即把问题转化为平行四边形与等腰三角形的问题，体现了数学中把未知转化为已知的思想方法。1.3.2反思解题方法很多数学问题都有多种解法，寻找出多种解法，可以发开阔学生的解题思路，发展学生的思维能力。因此，教师要引导学生反思：还有其他方法吗？哪种方法最优？例如：已知一条抛物线的顶点是(1,3)，还经过点（0,2），求这条抛物线的解析式。学生想出解法1：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,因为顶点坐标公式是，则，再把（0,2）代入y=ax2+bx+c，得a×02＋b×0＋c=2，组成方程组：解得∴函数解析式为y=-x2+2x+2。在学生思考出一种解法后，引导学生反思，还有其他解法吗？学生在认真思考后想出解法2：因为抛物线的顶点是（1,3），所以抛物线的对称轴是直线x=1，（0,2）关于直线x=1的对称点是（2,2），也是抛物线上的一点。设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,把（1，3）、（0,2）、（2,2）代入解析式，得到三元一次方程组，解出a、b、c即可。还有学生还想出解法3：设抛物线的解析式为顶点式y=a(x-h)2+k，则顶点坐标为(h,k)。因为抛物线顶点为（1,3），则h=1,k=3，得y=a(x-1)2+3，再把（0,2）代入顶点式，求出a即可。1.3.3反思解题规律很多数学问题有共同特点，解题有共同的规律，找出这些规律，有利于学生看清问题本质，掌握解决方法。例如：有n个人，每两个人握一次手，共有多少次握手？解：因为每一个人都要与其他的人握手，故每一个人要握（n-1）次手，全部人共需握手n×（n-1）次。但这种算法是重复计算了一次，故实际上全部人共握手次。在解决这个问题后，教师要引导学生反思：这个问题与之前学过的哪类问题相似？从而帮助学生明白此类“握手问题”与“平面上有n个点，任意3点都不在同一条线上，则这n个点可以连出几条直线”、“同一条直线上的n个点可以形成多少条线段”、“同一个顶点出发的n条射线可以形成几个角”、“n支球队两两赛一场共需赛几场”问题本质相同，与“n边形有多少条对角线”的解法相似，因而能深刻理解这一类问题的解决方法。1.3.4反思问题的变式或推广对数学问题进行变式或推广，既能让学生进一步深入理解题目的解法，又能促使学生根据变化了的条件进行积极思考，从而寻求解决问题的方法，培养学生的创造性思维。因此，教师应该引导学生反思问题本身，对问题进行变式或推广。AABADAEACA图2例如：如图2，三角形△ABC与△DCE是两个等边三角形，B、C、E在同一条直线上，求证：BD=AE。在解决这个问题后，教师应当引导学生反思AABADAEACA图22合理实施各项举措，促进学生反思反思需要花费时间，含有自我质疑的成分，学生往往在内心容易产生抵制情绪，不愿意反思。所以单凭教师的的引导、示范，不足以形成反思的技能和反思的意识，教师必须要实施各项举措，促进学生反思。2.1向学生说明反思的重要性，激发内驱力心理学研究表明，当学生知道了做一件事情的必要性，知道做了有什么作用，知道了怎么做，才会乐意去做。因此，教师应该通过讲道理，列举事例等方式，向学生说明反思的重要性。反思的益处有：反思可以促进知识的同化和迁移，有助于把握知识的本质，有助于发现新的方法和技巧，有助于提升解题能力等。另外，也要教会学生什么是反思，要反思什么，怎么反思，这样，激发学生的内在动机，变“要我学”为“我要学”，促进反思的常态化。2.2留出时间，让学生反思、交流传统的教学，课堂上要么老师满堂灌，要么布置很多题目给学生做，学生不能成为课堂的主人，很少有时间进行反思；课后，布置大量的解题作业，基本没有时间进行反思。这些都束缚了学生的主动性，不利于学生反思。反思需要时间，故教师需要留出时间，比如在课堂上给出少量时间让学生专门进行反思，并给时间让学生交流反思所得，体验快乐。课后，布置少一些题目，留出时间让学生对解题过程进行反思。2.3撰写数学反思记录布置学生撰写反思记录，是促进学生反思的重要举措。反思记录可以是新课后的反思，也可以是章节结束后的反思，可以是作业错题的反思，可以是考试反思，也可以是对某一道题的反思。教师应该要求学生定期上交反思记录，督促学生进行反思。为了鼓励学生撰写反思记录，教师可以评选优秀反思记录，进行表扬激励。例如学生在学习了全等三角形的判定方法后，要求学生反思各种判定方法，撰写反思记录。一位学生在在反思记录里写道：ASA、SSS、ASA、AAS都可以作为判定方法，但两边和其中一边的对角对应相等（边边角）却不可以判定，到底为什么呢？老师列举了一个反例，可是我发现还有很多情况下也可以说明他们全等。到底什么时候边边角可以证明全等，什么时候不能证明全等呢？我对此进行了反思，也把我的困惑和想法与其他同学进行了交流。最后发现：如果两个三角形都是直角三角形，或者两个三角形都是锐角三角形，或者两个三角形都是钝角三角形，那么边边角是可以证明全等的。2.4运用检测评估促进反思检测评估具有诊断、导向、激励的作用，在培养学生反思习惯的过程中，运用检测评估可以促进学生反思。如教师可以通过与学生谈话，了解学生的反思情况，进行表扬鼓励或者提出批评建议；教师也可以布置一些反思性作业［4］.教师还可以在平时的考试中出一些考察反思情况的题目进行检测，比如题目：请你列出的各项属性，至少列出3项_______。总之，教师应该多想办法,多利用各种机会，主动创造条件让学生学会反思，调动学生积极性，促进学生养成数学反思的习惯。让学生在数学反思中感悟学习数