cox模型局部拟合效果的评价

cox模型局部拟合效果的评价

优异成绩测试在统计理论中发挥着特殊的作用。它不仅是统计基础的组成部分，而且与实际应用密切相关。众所周知,为进行参数估计和假设检验,总是假定某种总体分布或选定一统计模型,然后按该总体或模型的理论处理实际问题。那么,实际数据是否满足该总体或模型的要求?换言之,是否可用已知分布或模型拟合现实数据?拟合好坏的标准是什么?这就是拟合优度检验研究的问题。KarlPearson在他的讲义MathematicalcontributionstotheTheoryofEvolution中,提出了如何检验用分布拟合试验数据好坏的问题。1900年,Pearson提出了χ2检验。直到今日,χ2检验及与其有关的检验仍是应用最广的检验。Pearson提出了χ2检验后,引起广大学者对拟合优度检验的兴趣,发展了各种检验方法及相应理论。拟合优度检验统计量大体上可分为χ2型、基于经验分布的EDF(EmpiricalDistributionfunction)型和积分变换型检验,以及针对常用分布(例如正态分布、指数分布、均匀分布等),体现分布特征的检验统计量。目前截尾数据的拟合优度检验较多的用χ2检验。χ2检验的基本思想是比较理论频数和观察频数的差异,用统计量χ2=k∑i=1(Ei-Οi)2/Eiχ2=∑i=1k(Ei−Oi)2/Ei其中Ei为理论频数,Oi为观察频数。为评价Cox模型的拟合效果,可用χ2及对应的P值。但目前的方法仅针对模型的整体拟合效果。很多时候,模型整体的拟合效果好,在局部(尤其是边沿部分)的拟合效果不理想。这时候,仅评价模型的整体拟合效果是不够的。本文给出了评价Cox模型的局部拟合效果的公式。观察局部拟合效果设(T,u,v)分别表示生存时间、进入队列时已生存时间、退出队列时的生存时间,λ(t)为风险率。已知在u时刻生存,在(u,v]时间内死亡的条件概率记为m=P(T≤ν|T>u)可以证明m的估计为ˆm=Τ∧ν∫uλ(s)ds(1)mˆ=∫uT∧νλ(s)ds(1)这里T∧v表示T与v中最小值。ˆmmˆ是瞬时风险率与相应的观察人年数的积,是按风险率λ(t)计算的理论死亡数,因此Ei=Τi∧νi∫uiλi(s)dsEi=∫uiTi∧νiλi(s)ds为观察对象i的理论死亡数。E=ΣEi为合计理论死亡数。设Oi=I(ui<T≤vi)(2)表第i个观察对象在(ui,vi]的死亡次数,其中I为示性函数。则O=ΣOi指观察死亡数。由鞅理论,可以证明(O-E)E-1/2近似服从标准正态分布,因此G=(O-E)2/E(3)为自由度为1的χ2分布,它表示观察死亡数与理论死亡数的差,可以检验模型的拟合效果。将上述结果用于检验Cox模型的拟合优度。Cox模型可表为:λi(t)=λ0(t)exp(ziβ)(4)其中zi为观察对象i的p维协变量向量。ˆββˆ为p维系数β的估计,观察对象i的理论死亡数为Ei=Τi∧νi∫uiλi(s)ds=Τi∧νi∫uiλ0(s)exp(ziˆβ)ds=exp(ziˆβ)[ˆΛ0(Τi∧νi)-ˆΛ0(ui)](5)Ei=∫uiTi∧νiλi(s)ds=∫uiTi∧νiλ0(s)exp(ziβˆ)ds=exp(ziβˆ)[Λˆ0(Ti∧νi)−Λˆ0(ui)](5)其中ˆΛΛˆ0(t)为累积基础风险函数Λ0(t)的估计,Λ0(t)=t∫0λ0(s)dsΛ0(t)=∫0tλ0(s)ds。将各观察对象的理论死亡数求和E=ΣEi,代入公式(3),所得的G值可以评价Cox模型的整体拟合效果。很多时候整体拟合效果好的模型在某些局部区域,特别是两端部分,拟合效果不理想。因此仅评价模型的整体拟合效果是不够的。下面给出评价局部拟合效果的公式。为观察局部的拟合效果,我们比较各风险点上的理论死亡数与观察死亡数。设s1<s2<…<sd为肺癌发生的时间,即比较(0,s1],(s1,s2],(s2,s3],…(sd-1,sd]上的观察死亡数及理论死亡数。风险点sk上的死亡病例只可能源自风险集R(sk)={j:uj<sk≤Tj∧vj},因此为计算(sk-1,sk]上的理论死亡数,只需考虑风险集R(sk)中的观察。若观察对象i在R(sk)中,其在(sk-1,sk]上的理论死亡数为Aik=min(Τi∧vi,Sk)∫max(ui,s(k-1)λi(s)ds=min(Τi∧vi,Sk)∫max(ui,s(k-1)λ0(s)exp(ziˆβ)ds=exp(ziˆβ)[ˆΛ0(Τˆivˆisk)-ˆΛ0(max(ui;sk-1))](6)Aik=∫max(ui,s(k−1)min(Ti∧vi,Sk)λi(s)ds=∫max(ui,s(k−1)min(Ti∧vi,Sk)λ0(s)exp(ziβˆ)ds=exp(ziβˆ)[Λˆ0(Tiˆviˆsk)−Λˆ0(max(ui;sk−1))](6)由于观察对象i属于R(sk),Ti∧νi≥sk,Ti∧νi∧sk=sk,因此ˆΛ0(Τi∧νi∧sk)=ˆΛ0(sk)Λˆ0(Ti∧νi∧sk)=Λˆ0(sk)又ˆΛ0(max(ui,sk-1))={ˆΛ0(sk-1)ifui≤sk-1ˆΛ0(ui)ifsk-1＜ui＜sk(7)Λˆ0(max(ui,sk−1))={Λˆ0(sk−1)ifui≤sk−1Λˆ0(ui)ifsk−1＜ui＜sk(7)ˆΛΛˆ0(t)为阶梯函数,其跳跃点在s1,s2,…,sd上,并且若sk-1≤t<sk,则有ˆΛ0(t)=ˆΛ0(sk-1)Λˆ0(t)=Λˆ0(sk−1),因此ˆΛ0(max(ui,sk-1))=ˆΛ0(sk-1)(8)由(6),(7),(8),得Aik=exp(ziˆβ)[ˆΛ0(sk)-ˆΛ0(sk-1)]Ak=∑i∈R*(Sk)Aik=(ˆΛ0(sk)-ˆΛ0(sk-1))∑i∈R*(Sk)exp(ziˆβ)(9)Ak为(sk-1,sk]上的理论死亡数,与对应区间上的观察死亡数比较,代入公式(3),所得的各G值可以评价Cox模型的局部拟合效果。cox模型拟合在模型的拟合优度检验中,尽管模型的整体拟合效果较好,但某些局部的拟合效果较差(简称坏点)。下面的拟合试验说明本文给出的公式(9)可以准确找出这些坏点。针对这些坏点的再分析和处理可为模型的进一步改善提供可能。x1,x2分别取自均匀分布U(0.5,5),U(1,6),t时刻的风险函数满足:λ(t,x)=λ0(t)exp(-0.4x1-0.5x2)λ0(t)服从风险率为2的指数分布。抽1000个样本,并有25.9%被均匀分布U(0,40)截尾。将所有观察时间小于0.8的观察所对应的时间改为它们的平均值0.36,因此风险点0.36是一个坏点。这样的数据用Cox模型拟合后,其整体拟合效果仍然不差,G=0.069,p=0.793。(A)模拟试验;(B)某矿资料利用公式(9),可以计算出各风险点上的理论死亡数,与观察死亡数比较,求出对应的G值。结果见图1A。其中横轴为风险点,纵轴为对应点上的G值(见式(3))。从图上我们可以发现一个明显的坏点,即风险点0.36,其他点的理论死亡数与观察死亡数几乎没有差别。局部拟合效果检验某矿是世界知名的职业性肺癌高发地区,现有职工几万人,从50年代以来已有二千多例肺癌发生,至今每年仍有新发病例80～100人,为国际上罕见的大型肺癌防治研究现场。本资料取自1992～1996年建立的高危人群队列,1992～1996年,共有10141个观察对象进入队列。其中875个只采集了生物样品,而没有其他任何资料,有详细调查资料的观察对象有9266个,将其中不符合队列定义的观察对象剔除,最后可用于分析的观察对象有8209例,其中338例确诊为肺癌。将公式(5)中的各理论死亡数求和可得总的理论死亡数为338.8662,实际观察的死亡数为338例,G=0.0022,P=0.96,可以认为总的拟合效果很好。为了解模型的局部拟合效果,考查各风险点上的理论死亡数及观察死亡数,结果见图1B。其中横轴为风险点,纵轴为对应点上的G值。风险点652月(观察的病例数为8例,理论的病例数为8.107例)的G=1.419704e-003最大,拟合效果最差,但所对应的P值仍为0.97,因此即使在该点,模型拟合效果仍可以接受。表1是各风险点上的拟合优度检验的统计量G及对应的P值分布,分别给出G及P的最小值、1/4分位点、中位数、均数、3/4分位点、最大值。总体及局部的拟合效果显示,Cox模型很好地拟合了该资料,基于该模型的预测及估计是可靠