工业机器人的路径规划

工业机器人的路径规划

对于指定对象，使用机器人手执行检测操作的系统称为检测（系统），该系统分为简单的夹持器提取和多臂提取。传统工业机器人不仅不能满足特定的负荷调整操作的要求，而且能够捕获的对象的类型非常有限。机器人通常指的是一种真正意义上的人工控制和灵活操作的人。在机器人的帮助下，机器人手指可以执行物体的运动，这不仅有助于解决上述问题，而且有助于将机器人扩展到更广泛的范围。抓取动态稳定性是衡量机器人手进行抓取操作质量的重要指标之一,也是评定抓取系统性能的一条重要准则.抓取称为是动态稳定的,当且仅当因扰动而产生的抓取位置的所有偏差和力偏差都随时间而消失.机器人抓取稳定性的研究已经引起众多学者的关注,但现有的方法多是基于Lyapunov直接法的,而要构造出一个合适的Lyapunov函数绝非易事.本文避免构造Lyapunov函数提出了机器人多指手抓取稳定性分析的一种新方法,并得到了抓取系统指数稳定的充分条件.1抓取系统平衡状态的稳定性要研究机器人多指灵巧手抓取的稳定性,首先需要建立对应的数学模型.假定受到外界扰动后,被抓取物体偏离其平衡位姿的偏移量为y=[ΔqΔθ]∈R6×1,设x=[y˙y]∈R12×1.参考文,考虑由如下微分方程描述的抓取系统模型dx(t)dt=Ax(t)+F(x(t))(t≥0)(1)其中,x∈R12代表偏差变量,A∈R12×12,非线性项F(x)在x=0的一个邻域内关于x满足Lipschitz条件,即∃常数r>0,L>0,∀x1、x2∈U(0,r)={x∈R12:‖x‖<r},有‖F(x1)-F(x2)‖≤L‖x1-x2‖.本文中‖·‖均取为向量的Euclid范数.由于系统的初始值及参数在测量过程中会产生误差,而且抓取系统在抓取操作的过程中还会受到外界环境的各种干扰,而这些因素都会涉及到抓取系统装置或工具运动过程中有无震荡的问题,从而将影响抓取操作的稳定性,所以很有必要研究抓取系统在平衡状态的稳定性.抓取系统在平衡状态满足系统偏差变量x=0,且F(0)=0,因此研究抓取系统平衡状态的稳定性即研究方程(1)零平衡解的稳定性.定义1抓取系统在平衡状态是稳定的,如果∀ε>0,∃δ>0时,当‖x0‖<δ时,系统满足初始条件x(0)=x0的解x(t)均有‖x(t)‖<ε(∀t≥0)成立.定义2抓取系统在平衡状态是渐近稳定的,如果抓取系统在平衡状态稳定,且∀t≥0,∃δ>0,当‖x0‖<δ时,有limt→+∞x(t)=0.Γ={x∈R12:‖x‖<δ}称为系统的吸引域.定义3抓取系统在平衡状态是关于球Ω(δ)={x∈R12:‖x‖≤δ}指数稳定的,如果∃a、p>0,当‖x0‖<δ时,系统在初始条件x(0)=x0下的解x(t)满足‖x(t)‖≤pe-at‖x0‖(t≥0).特别地,当Ω(δ)=R12时,则称抓取系统在平衡状态是全局指数稳定的.2抓1.2.2稳定矩阵的条件Lyapunov直接法是用于研究非线性系统稳定性的主要方法,但是对非线性系统要构造出Lyapunov函数一般来说十分困难.最近有人提出利用线性规划的方法来寻找Lyapunov函数,但却无法保证构造出的线性规划一定存在可行解.下面将避免构造Lyapunov函数,给出机器人多指手抓取指数稳定性的充分条件.引理1(Taussky定理)设C=(cij)n×n∈Cn×n是行严格对角占优矩阵(即主对角元的模大于同行其他元素的模之和),则(1)C是非奇异的;(2)若cii>0(i=1,2,…,n),则C的每一个特征值均具有正实部.命题1任意的矩阵A=(aij)n×n∈Rn×n可表示成矩阵B和C的和,其中B是一个正定矩阵,C是一个稳定矩阵(或称Huiwitz矩阵).证明任取μ>0,矩阵A可表为A=B+C,其中B=[μ0⋯00μ⋯000⋯0000μ]C=[-μ+a11a12⋯a1na21-μ+a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯-μ+ann]B为主对角元为正数μ的对角矩阵,显然B是正定矩阵.下面考察矩阵C.当μ-aii＞0,μ-aii＞n∑j=1,j≠i|-aij|(i=1,2,⋯,n)(则-C为行严格对角占优矩阵)时,由引理1可得Re(λi)>0,其中λi为-C的任一特征值.所以,C的每一个特征值λi均具有负实部,即C为稳定矩阵.由上,此处的实数μ只须满足条件μ＞0,μ-aii＞0‚μ-aii≥n∑j=1,j≠i|-aij|(i=1,2,⋯,n),这样的正数μ是完全可以取得到的.譬如取μ=η+max1≤i≤nn∑j=1|aij|,其中η取为任意一个正数即可.由上面命题1的证明,可知一定可以找到正定矩阵B和Huiwitz矩阵C,使得方程(1)中的矩阵A可表示为A=B+C,用λk(C)(k=1,2,…,12)来表示矩阵C的特征值,设α(C)=maxkRe{λk(C)},g(C)=(∥C∥2F-12∑k=1|λk(C)|2)12,其中‖C‖F是C的Frobenius范数,即∥C∥F=√Τrace(CC*),并记Γ(C)=11∑j=0gj(C)(j!)1/2|α(C)|j+1.受文的启发,推出了抓取系统指数稳定的充分条件如下:定理1若(‖B‖+L)Γ(C)<1,则抓取系统(1)是关于球Ω(δ0)={x∈R12:‖x‖≤δ0}指数稳定的,其中δ0=r[1-(∥B∥+L)Γ(C)]χ-1,χ=supt≥0eα(C)t11∑j=0tjgj(C)(j!)3/2.证明取系统(1)的初值为x(0),且‖x(0)‖<δ0.由χ=supt≥0eα(C)t11∑j=0tjgj(C)(j!)3/2,显然有χ≥1(考虑t=0时得).由δ0=r[1-(‖B‖+L)Γ(C)]χ-1,所以δ0≤r.因为方程(1)的解是连续依赖于初值的,又‖x(0)‖<δ0,所以∃T>0,∀t∈[0,T],有‖x(t)‖≤r.而且,对于任意的n×n常数矩阵H,有∥eΗt∥≤eα(Η)tn-1∑k=0gk(Η)tk(k!)3/2(∀t≥0)因此‖eCt‖≤Γ(t,C)(∀t≥0)其中Γ(t,C)=eα(C)t11∑j=0tjgj(C)(j!)3/2将方程(1)改写为dxdt=Cx+(B+F)(x)(2)由常数变易公式,可得方程(2)的解为x(t)=eCtx(0)+∫t0eC(t-s)[(B+F)(x(s))]ds由于∃常数L>0,∀x1,x2∈U(0,r),有‖F(x1)-F(x2)‖≤L‖x1-x2‖,且F(0)=0,故∥F(x(s))∥=∥F(x(s))-F(0)∥≤L∥x(s)∥从而有∥x(t)∥≤Γ(t,C)∥x(0)∥+∫t0Γ(t-s,C)(∥B∥+L)∥x(s)∥ds因此supt≤Τ∥x(t)∥≤χ∥x(0)∥+sups≤Τ∥x(s)∥∫Τ0Γ(Τ-s,C)[∥B∥+L]ds而∀t≥0∫t0Γ(t-s,C)ds=∫t0eα(C)(t-s)11∑k=0gk(C)(t-s)k(k!)3/2ds≤∫∞0eα(C)z11∑k=0gk(C)zk(k!)3/2dz=Γ(C)所以有supt≤Τ∥x(t)∥≤χ∥x(0)∥+(∥B∥+L)Γ(C)sups≤Τ∥x(s)∥因此,当(‖B‖+L)Γ(C)<1时,则有supt≤Τ∥x(t)∥≤(1-(∥B∥+L)Γ(C))-1χ∥x(0)∥(3)而‖x(0)‖<δ0,且不等式(3)的右边与t无关,故supt≥0∥x(t)∥≤(1-(∥B∥+L)Γ(C))-1χ∥x(0)∥(4)所以,∀ε>0,∃δ=ε(1-(‖B‖+L)Γ(C))χ-1>0,当x0满足‖x0‖<δ时,方程(1)满足初始条件x(0)=x0的解均有‖x(t)‖<ε对∀t≥0成立,即得方程(1)的零解是稳定的.接下来证明方程(1)的零解是指数稳定的.设xξ(t)=x(t)eξt(5)其中ξ是一个充分小的正数,x(t)是方程的解.将式(5)代入方程(1)中,可得dxξdt=(ξ+C)xξ+F1(x)(6)其中F1(x)=eξtF(e-ξtx)(∀x∈R12)又由‖F(x)‖≤L‖x‖,得‖F1(x)‖≤L‖x‖(∀x∈R12,t≥0)将前面的推理运用于方程(6),由式(4)可知xξ(t)是有界函数.因此,方程(1)的零解是指数稳定的.推论1记Γ(A)=11∑j=0gj(A)(j!)1/2|α(A)|j+1.特别地,当A是稳定矩阵时,若LΓ(A)<1,则抓取系统(1)是关于球Ω(δ0)指数稳定的,其中δ0=r[1-LΓ(A)]χ-1,χ=supt≥0eα(A)t11∑j=0tjgj(A)(j!)3/2.当A同时还是正规矩阵(即AA*=A*A)时,只要L|α(A)|-1<1,就可推得抓取系统(1)是指数稳定的.证明当A是稳定矩阵时,结论由定理1立得;当A同时