2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第七章+第3节+空间直线、平面的平行+Word版含解析

/多维层次练38[A级基础巩固]1．“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的()A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：由直线m∥平面α，可得直线m与平面α内无数条直线平行，反之不成立．所以“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的必要不充分条件．故选C.答案：C2．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．以上均有可能解析：平行、相交、异面都有可能．故选D.答案：D3．(2020·洛阳联考)设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l⊂α，m⊂β，下列结论正确的是()A．若α⊥β，则l⊥β B．若l⊥m，则α⊥βC．若α∥β，则l∥β D．若l∥m，则α∥β解析：对于A，α⊥β，l⊂α，只有加上l垂直于α与β的交线，才有l⊥β，所以A错误；对于B，若l⊥m，l⊂α，m⊂β，则α与β可能平行，也可能相交但不垂直，所以B错误；对于C，若α∥β，l⊂α，由面面平行的性质可知，l∥β，所以C正确；对于D，若l∥m，l⊂α，m⊂β，则α与β可能平行，也可能相交，所以D错误．答案：C4．过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有()A．4条 B．6条C．8条 D．12条解析：如图所示，H，G，F，I是相应线段的中点，故符合条件的直线只能出现在平面HGFI中，有FI，FG，GH，HI，HF，GI共6条直线，故选B.答案：B5．(2020·东莞调研)已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a，b，c的位置关系不可能是()A．两两平行 B．两两垂直C．两两相交 D．两两异面解析：假设a，b，c三条直线两两平行，如图所示，设α∩β＝l，因为a∥b，a⊄β，b⊂β，所以a∥β.又知a⊂α，α∩β＝l，所以a∥l，又知α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，所以l⊥γ，又知a∥b，a∥l，所以a⊥γ，又知c⊂γ，所以a⊥c，所以假设不成立．故三条直线a，b，c不可能两两平行．答案：A6．(2020·豫北名校联考)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点，若平面BC1D∥平面AB1D1，则eq\f(AD,DC)＝_____．解析：如图所示，连接A1B，与AB1交于点O，连接OD1，因为平面BC1D∥平面AB1D1，平面BC1D∩平面A1BC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB).同理AD1∥DC1，所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，所以eq\f(A1O,OB)＝eq\f(DC,AD)，又因为eq\f(A1O,OB)＝1，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.答案：17．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2eq\r(2).又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F为DC中点，所以EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．答案：①或③9．(2020·潍坊模拟)如图所示，四棱锥A-BCDE中，BE∥CD，BE⊥平面ABC，CD＝eq\f(3,2)BE，点F在线段AD上．(1)若AF＝2FD，求证：EF∥平面ABC；(2)若△ABC为等边三角形，CD＝AC＝3，求四棱锥A-BCDE的体积．(1)证明：取线段AC上靠近C的三等分点G，连接BG，GF.因为eq\f(AG,AC)＝eq\f(AF,AD)＝eq\f(2,3)，则GF＝eq\f(2,3)CD＝BE.而GF∥CD，BE∥CD，故GF∥BE.故四边形BGFE为平行四边形，故EF∥BG.因为EF⊄平面ABC，BG⊂平面ABC，故EF∥平面ABC.(2)解：因为BE⊥平面ABC，BE⊂平面BCDE，所以平面ABC⊥平面BCDE.所以四棱锥A-BCDE的高即为△ABC中BC边上的高．易求得BC边上的高为eq\f(\r(3),2)×3＝eq\f(3\r(3),2).故四棱锥A-BCDE的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(2＋3)×3×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4).10．(2020·福州模拟)如图所示，在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，以AD为折痕将△ADM折起，使点M到达点P的位置，且平面ABCD⊥平面PAD，E是PB的中点，AB＝2BC.(1)求证：CE∥平面PAD；(2)若AD＝2，AB＝4，求三棱锥APCD的高．(1)证明：取AP的中点F，连接DF，EF，如图所示．因为点E是PB的中点，所以EF∥AB，且EF＝eq\f(1,2)AB.因为四边形ABCM是平行四边形，D为CM的中点，所以AB∥CD，且CD＝eq\f(1,2)AB，所以EF∥CD，且EF＝CD，所以四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF，因为CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD，所以CE∥平面PAD.(2)解：取AD的中点O，连接PO，CO，如图所示．在平行四边形ABCM中，D为CM的中点，AB＝2BC，AD＝2，AB＝4，所以MD＝MA＝AD＝CD＝2，所以△MAD为等边三角形，所以∠MDA＝60°，所以∠ADC＝120°，PD＝PA＝AD＝2，所以S△ACD＝eq\f(1,2)AD·CDsin∠ADC＝eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，OC＝eq\r(7)，因为△ADP为正三角形，所以PO⊥AD，且PO＝eq\r(3).因为平面ABCD⊥平面PAD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OC，所以PC＝eq\r(PO2＋OC2)＝eq\r(10).在等腰三角形PCD中，易得S△PCD＝eq\f(\r(15),2).设三棱锥A-PCD的高为h，因为VA-PCD＝VP-ACD，所以eq\f(1,3)S△PCD·h＝eq\f(1,3)S△ACD·PO，所以h＝eq\f(S△ACD·PO,S△PCD)＝eq\f(\r(3)×\r(3),\f(\r(15),2))＝eq\f(2\r(15),5)，所以三棱锥A-PCD的高为eq\f(2\r(15),5).[B级能力提升]11．已知l，m是不同的直线，α，β是不同的平面．给出下列命题，其中正确的是()①l⊥α，m⊂β，α∥β⇒l⊥m；②l∥α，m∥β，l∥m⇒α∥β；③l⊥α，m⊂β，l∥m⇒α⊥β；④l⊥α，m⊥β，l⊥m⇒α∥ββ.A．②④ B．①③C．②③④ D．①②③解析：①中，因为l⊥α，α∥β，所以l⊥β，又m⊂β，所以l⊥m，①正确．③中，因为l⊥α，l∥m，所以m⊥α，又m⊂β，所以α⊥β，③正确．由面面平行的判定定理知②和④不正确，故选B.答案：B12．(2020·厦门模拟)在正三棱锥S-ABC中，AB＝2eq\r(3)，SA＝2eq\r(5)，E，F分别为AC，SB的中点．平面α过点A，α∥平面SBC，α∩平面ABC＝l，则异面直线l和EF所成角的余弦值为________．解析：因为α∥平面SBC，α∩平面ABC＝l，平面SBC∩平面ABC＝BC，所以l∥BC，取AB的中点D，连接DE，DF，则DE∥BC，所以l∥DE，所以异面直线l和EF所成角即为∠DEF(或其补角)，取BC的中点O，连接SO，AO，则SO⊥BC，AO⊥BC，又SO∩AO＝O，所以BC⊥平面SOA，又SA⊂平面SOA，所以BC⊥SA，所以DE⊥DF，在Rt△DEF中，DE＝eq\r(3)，DF＝eq\r(5)，所以EF＝2eq\r(2)，所以cos∠DEF＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4).所以异面直线l和EF所成角的余弦值为eq\f(\r(6),4).答案：eq\f(\r(6),4)13．(2019·汉阳一中模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，且AA1⊥平面ABC，D为AB的中点．(1)求证：直线BC1∥平面A1CD；(2)若AB＝BB1＝2，E是BB1的中点，求三棱锥A1-CDE的体积．(1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点，又D为AB的中点，所以DF∥BC1，又BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)解：因为△ABC为等边三角形，D为AB中点，所以CD⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥AA1，因为AB∩AA1＝A，所以CD⊥平面ABB1A1，所以三棱锥的高h等于点C到平面ABB1A1的距离，即h＝CD，易求得CD＝eq\r(3).又S△A1DE＝2×2－eq\f(1,2)×1×2－eq\f(1,2)×1×1－eq\f(1,2)×1×2＝eq\f(3,2)，所以VA1-CDE＝VC-A1DE＝eq\f(1,3)S△A1DE·h＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2).[C级素养升华]14．(多选题)下列命题错误的是()A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行B．若两条直线和同一个平面