人教A版（2023）必修第一册《5.2.1 三角函数的概念》提升训练(含解析)

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知角的终边经过点，则的值为

A.B.C.D.

2.（5分）若为第一象限角，那么，，，中必定为正值的有

A.个B.个C.个D.个

3.（5分）满足黄金分割比的身材是完美的，是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示为，则

A.B.C.D.

4.（5分）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若它的终边经过点，则

A.B.C.D.

5.（5分）已知角的始边与轴非负半轴重合，终边在射线上，则的值为

A.B.C.D.

6.（5分）已知角的终边经过点，则

A.B.C.D.

7.（5分）已知角的终边过点，则

A.B.C.D.

8.（5分）已知角的终边过点，则

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）下面说法正确的有

A.角与角终边相同

B.终边在直线上的角的取值集合可表示为

C.若角的终边在直线上，则的取值为

D.化成弧度是

10.（5分）已知角的终边经过点，且与的终边关于轴对称，则

A.B.为钝角

C.D.点在第四象限

11.（5分）在平面直角坐标系中，若角的终边与单位圆交于点，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，记角的终边与单位圆的交点为，则下列结论正确的为

A.B.

C.D.

12.（5分）设角的终边上一点的坐标是，则的值不可能为

A.B.C.D.

13.（5分）已知是第二象限角，下列判断正确的是

A.点在第二象限中

B.点在第二象限中

C.点在第三象限中

D.点在第三象限中

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）已知角终边上一点与点关于轴对称，角的终边上一点与点关于原点中心对称，则______.

15.（5分）已知角的终边经过点，则的值为______．

16.（5分）角的终边与单位圆的交点位于第一象限，其横坐标为，则______，若点沿单位圆顺时针运动到点，所经过的弧长为，则点的纵坐标为______.

17.（5分）三角形是锐角三角形，若角终边上一点的坐标为，，则的值是______．

18.（5分）已知角的终边上一点，且，则的值为______．

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）A、是单位圆上的动点，且、分别在第一、二象限．是圆与轴正半轴的交点，为正三角形．记．

Ⅰ若点的坐标为求的值；

Ⅱ求的取值范围．

20.（12分）已知，借助三角函数定义求和．

21.（12分）在平面直角坐标系中，已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点

Ⅰ求的值；

Ⅱ若，求的值．

22.（12分）已知角的终边上有一点，求的值；

已知角的终边在直线上，用三角比的定义求的值．

23.（12分）已知角的终边过点且，，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】C;

【解析】解：因为点在单位圆上，又在角的终边上，所以，．

则，

故选：．

利用任意角的三角函数的定义、半角公式，求得的值．

这道题主要考查任意角的三角函数的定义，半角公式的应用，属于基础题．

2.【答案】B;

【解析】解：因为为第一象限角，所以为第一或二象限角，

可得：，而符号不确定，

又为第一或三象限角，

，可以是正数，也可以是负数，它们的符号均不确定

综上所述，必定为正值的只有一个

故选：

根据题意，是第一或二象限角，且为第一或三象限角，由此结合正、余弦函数在各个象限的符号规律，不难得到本题的答案．

本题给出是第一象限角，叫我们判断几个三角函数值的符号．着重考查了象限角的概念和三角函数在各个象限的符号等知识，属于基础题．

3.【答案】B;

【解析】解：由题意可得，可得，可得，

解得，

所以

故选：

由题意可得，根据二倍角的余弦公式可求的值，进而根据诱导公式即可求解．

此题主要考查了二倍角的余弦公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

4.【答案】A;

【解析】解：角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若它的终边经过点，

，则，

故选：．

由题意利用任意角的三角函数的定义求得的值，再利用二倍角的正切公式求得的值．

此题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．

5.【答案】C;

【解析】

此题主要考查求三角函数值，属于基础题.

利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值．

【详解】

角的始边与轴非负半轴重合，

终边在射线上，

不妨令，则，，，，

则

故选

6.【答案】A;

【解析】解：角的终边经过点，可知，

则，

故选：

由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得结果．

此题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

7.【答案】A;

【解析】解：角的终边过点，则，，，

，

故选：．

由条件利用任意角的三角函数的定义，求得的值．

这道题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

8.【答案】D;

【解析】解：角的终边过点，，则，

故选：．

由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．

此题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，属于基础题．

9.【答案】AD;

【解析】解：对于，与角终边相同的角可写为，，

当时，可得角与角终边相同，故正确；

对于，直线过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，

故在范围内终边在直线上的角有两个：，

因此，终边在直线上的角的集合

故错误；

对于，在角的终边在直线上取一点，，则，当时，；当时，，故错误；

对于，由弧度，可得弧度，则弧度，故正确．

故选：

对于，写出与角终边相同的角的集合，然后取可得答案；

对于，由终边相同的角的定义，先写出终边落在射线的角的集合，再写出终边落在射线的角的集合，最后求两个集合的并集即可写出终边在直线上的角的集合；

对于，由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果；

对于，由弧度即可求解．

此题主要考查终边相同的角的求法，考查角所在象限的判断等基础知识，考查角度制与弧度制的互化，考查运算求解能力，是基础题．

10.【答案】ACD;

【解析】解：角的终边经过点，则，故正确，

与的终边关于轴对称，

的终边经过点，为第二象限角，不一定为钝角，故错误，

，故正确，

，，

点在第四象限，故正确．

故选：

根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解．

此题主要考查三角函数的定义，属于基础题．

11.【答案】AB;

【解析】解：由角的终边与单位圆交于点，是第一象限角，可得，

，可得，故A正确；

将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，可得，

则可得，，故B正确，C错误；

据三角函数定义可得，角的终边与单位圆的交点为，则点的坐标为，故D错误．

故选：．

由三角函数的定义可求，然后根据同角平方关系可求，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，可得，利用诱导公式及三角函数的定义即可求解．

此题主要考查了三角函数的定义及诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．

12.【答案】ABC;

【解析】解：，

，，

角的终边在第一象限，

则

的可能值为

故选：

由已知求得为第一象限角，再由任意角的三角函数的定义及三角函数的诱导公式得答案．

此题主要考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的应用，是基础题．

13.【答案】AC;

【解析】

此题主要考查角所在象限以及所在象限的判断，属于基础题．

利用点所在象限，推出三角函数的符号，然后判断角所在象限．

解：因为是第二象限角，

所以，

则点在第二象限中，正确；

点在第四象限中，错误；

点在第三象限中，正确；

点在第二象限中，故错误.

故选

14.【答案】0;

【解析】解：角终边上一点与点关于轴对称，；

角的终边上一点与点关于原点中心对称，；

由三角函数的定义可知，，

所以

故答案为

求出的坐标，的坐标，然后利用三角函数的定义，求出，，即可求出的值．

本题是基础题，考查三角函数的定义，点的对称性的应用，考查计算能力．

15.【答案】;

【解析】解：角的终边经过点，则，

故答案为：．

由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得的值．

这道题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．

16.【答案】-;略;

【解析】解：的终边与单位圆的交点位于第一象限，其横坐标为，

，且，

，

点沿单位圆顺时针运动到点，所经过的弧长为，

，

点的纵坐标为

故答案为：，

由已知利用三角函数的定义求得，进一步可得，再由弧长公式及诱导公式求点的纵坐标．

此题主要考查任意角的三角函数的定义，考查弧长公式的应用，考查运算求解能力，是基础题．

17.【答案】-1;

【解析】解：为锐角三角形，

得

，即

，同理可得

，

点位于第四象限，

所以

故答案为：．

为锐角三角形，则，推出的横坐标的符号，再推出纵坐标的符号，确定的象限，然后去绝对值，求值即可．

该题考查任意角的三角函数的定义，三角函数恒等变形，是中档题．

18.【答案】±;

【解析】解：由题意，，，

．

故答案为．

利用正弦函数的定义求出，利用正切函数的定义求出的值．

该题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．

19.【答案】解：（Ⅰ）若A点的坐标为，则cosα=，sinα=，

∴===20．

（Ⅱ）由题意可得∠AOB=，

∴由余弦定理可得|BC|2=OB2+OC2-2OBOCcos（+α）=1+1-2cos（+α），

∵∠AOC=α∈（0，），∴+α∈（，），cos（+α）∈（-，），

∴-2cos（+α）∈（-1，），∴1+1-2cos（+α）∈（1，2+）．;

【解析】

Ⅰ利用任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，求得所给式子的值．

Ⅱ由题意可得，，由余弦定理以及余弦函数的定义域和值域，求得的取值范围．

这道题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，余弦定理，余弦函数的值域，属于中档题．

20.【答案】解：由题意，取点（-1，3），则r=，sinα=，cosα=-；

取点（1，-3），则r=，sinα=-，cosα=．;

【解析】

取点，求，再利用三角函数的定义，即可得出结论．

该题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．

21.【答案】解：由题意可得cosα=，sin，

（I）cos（α-π）=-cosα=，

（II）∵tanβ=2，tanα=，

∴====．;

【解析】

由题意可得，，

可求

有，，利用诱导公式及同角基本关系即可求解．

这道题主要考查了三角函数的定义，同角基本关系的基本应用，属于基础试题．

22.【答案】解：（1）∵已知角α的终边上有一点P（4t，-3t）（t≠0），

当t＞0时，x=4t，y=-3t，r=|OP|=5t，sinα==-，cosα==，∴2sinα+cosα=-．

当t＜0时，x=4t，y=-3t，r=|OP|=-5t，sinα==，cosα==-，∴2sinα+cosα=．

（2）已知角β的终边在直线y=x上，∴β的终边在第一象限或第三象限．

若β的终边在第一象限，在β的终边上任意取一点P（1，），则x=1，y=，r=|OP|=2，

则sinβ==．

若β的终边在第三象限，在β的终边上任意取一点P（-1，-），则x=-1，y=-，r=|OP|=2，

则sinβ==-．;

【解析】

分、两种