2021年中考数学 一轮专题汇编：矩形、菱形(含答案)

2021中考数学一轮专题汇编：矩形、菱形一、选择题1.（2020·南通）下列条件中，能判定□ABCD是菱形的是A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD2.（2020·抚顺本溪辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（）A．2B．C．3D．43.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是()A.AB＝ADB.AC⊥BDC.AC＝BDD.∠BAC＝∠DAC4.（2020·牡丹江）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为（2，2)，将菱形绕点O旋转，当点A落在x轴上时，点C的对应点的坐标为（）A．或 B．C． D．或5.（2020湖州）四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形．当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC′D′．若∠D′AB＝30°，则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是（）A．1 B． C． D．6.（2020·黑龙江龙东）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72 B．24 C．48 D．967.如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF，将△AEH，△CFG分别沿边EH，FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的eq\f(1,16)时，则eq\f(AE,EB)为()A.eq\f(5,3)B.2C.eq\f(5,2)D.48.（2020·泰安）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：=1\*GB3①DN﹦BM；=2\*GB3②EM∥FN；=3\*GB3③AE﹦FC；=4\*GB3④当AO﹦AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个二、填空题9.已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为2，则这个菱形的面积是.

10.（2020·菏泽）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为_______．11.如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为________cm.

12.如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是________．

13.在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为________．14.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度.15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10.点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处．有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝eq\f(3,2)S△FGH；④AG＋DF＝FG.其中正确的是______________．(把所有正确结论的序号都选上)16.如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数式表示）．三、解答题17.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．

18.如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证:四边形BECD是平行四边形;(2)若∠A=50°，则当∠BOD=°时，四边形BECD是矩形.

19.已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)求证：四边形AECF是矩形．20.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．21.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm.如果点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为2cm/s和1cm/s.FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t(s)(0＜t＜4)．(1)连接EF、DQ，若四边形EQDF为平行四边形，求t的值；(2)连接EP，设△EPC的面积为ycm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值；(3)若△EPQ与△ADC相似，请直接写出t的值．2021中考数学一轮专题汇编：矩形、菱形-答案一、选择题1.【答案】D【解析】根据菱形的定义和判断定理判断．定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；判断定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．只有D能够判断出四边形ABCD是菱形．故选D．2.【答案】B【解析】根据菱形对角线互相垂直平分，求出菱形的边长，再结合等腰三角形的性质及判定得出OE＝CE＝DE，从而求出．∵四边形ABCD是菱形，∴OC＝AC＝4，OD＝BD＝3，AC⊥DB．∵OE＝CE，∴∠EOC＝OE∠DCO．∵∠DOE＋∠EOC＝∠ODC＋∠ECO＝90°，∴∠DOE＝∠ODC，∴OE＝DE，∴OE＝DC．在Rt△DOC中，CD＝＝5，∴OE＝DC＝．故选项B正确．3.【答案】C【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C错误；由∠BAC＝∠DAC可得对角线是角平分线，所以D正确．4.【答案】D【解析】菱形OABC中，点A的坐标为（2，2)，所以OA=4，∠A=∠C=60°，分类讨论，①若顺时针旋转，旋转后的图形如图1所示，则OC=OA=4，∠C=60°，可求出点C对应点的坐标为（-2，-2)；②若逆时针旋转，旋转后的图形如图2所示，则OC=OA=4，∠C=60°，可求出点C对应点的坐标为（2，2).图2图1图2图15.【答案】解：根据题意可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，∴菱形ABC′D′的面积为，正方形ABCD的面积为AB2．∴菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是．故选：B．【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可知菱形ABC′D′的高等于AB的一半，再根据正方形的面积公式和平行四边形的面积公式即可得解．6.【答案】C【解析】本题考查了菱形的性质，对角线互相垂直平分以及直角三角形的斜边上中线的性质，解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝4，∴BD＝8，∵OA＝6，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积．故选：C．7.【答案】A【解析】如解图，由折叠的对称性可知，∠A＝∠J，∠C＝∠M，四边形MNJK和四边形BENF都是菱形，则BE＝NE，AE＝JE，∵菱形MNJK与菱形ABCD相似，且菱形MNJK的面积是菱形ABCD面积的eq\f(1,16)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(JN,AB)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16)，∴eq\f(JN,AB)＝eq\f(1,4)，设JN＝a，EN＝b，则AB＝4a，∵AB＝AE＋EB＝EJ＋EN＝JN＋EN＋EN＝JN＋2EN＝a＋2b，∴a＋2b＝4a，∴a＝eq\f(2,3)b，eq\f(AE,BE)＝eq\f(a＋b,b)＝eq\f(5,3).8.【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质、三角形全等的条件与性质、等边三角形的条件与性质、平行四边形的条件与性质以及菱形的判定方法，因为四边形ABCD是矩形，所以AB=CD，AD=BC，AD∥BC，所以∠DAN=∠BCM.因为BF⊥AC，DE∥BF，所以DE⊥AC，即∠AND=∠CMB=90°，所以△ADN≌△CBM，所以DN=BM，∠AND=∠CBM，则△ADE≌△CBF，所以AE=CF、DE=BF，所以NE=MF，即=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③都是正确的，由AE=CF、AB=CD，所以BE=DF，所以四边形AEBF是平行四边形.因为四边形ABCD是矩形，所以AO=DO，因为当AO﹦AD时，AO=DO=AO，所以△ADO是等边三角形，所以∠AND=∠BDE=30°，所以∠BDE=∠ABD=30°，所以DE=BE，所以四边形DEBF是菱形，则=4\*GB3④也是正确的，因此本题选D．二、填空题9.【答案】2[解析]∵菱形两对角线互相垂直且平分，较长对角线的一半为，∴菱形较短对角线的一半为=1.根据菱形面积等于两对角线长乘积的一半得:×2×2=2.10.【答案】3【解析】由于已知BC的长，故可设想在Rt△BCQ中利用勾股定理求解，则需求CQ的长，这可通过求DQ的长得到，结合已知条件BP＝BA＝5，易知DQ＝DP，显然DP可求，思路沟通．在矩形ABCD中，∠BAD＝90º，AB＝5，AD＝12，∴BD＝＝13，又∵BP＝BA＝5，∴DP＝13－5＝8，∠BAP＝∠BPA．∵AB∥DQ，∴∠BAP＝∠PQD，∴∠PQD＝∠BPA＝∠DPQ，∴DQ＝DP＝8，∴CQ＝8－5＝3．在Rt△BCQ中，BC=12，CQ=3，∴BQ＝＝3．11.【答案】13【解析】如解图，连接AC、BD交于O，则有eq\f(1,2)AC·BD＝120，∴AC·BD＝240，又∵菱形对角线互相垂直平分，∴2OA·2OB＝240，∴OA·OB＝60，∵AE2＝50,OA2＋OE2＝AE2，OA＝OE，∴OA＝5，∴OB＝12，∴AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝eq\r(122＋52)＝13.

解图12.【答案】(eq\r(3)＋2，1)【解析】如解图，过点D作DG⊥BC于G，DF⊥x轴于F，∵在菱形BDCE中，BD＝CD，∠BDC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DF＝CG＝eq\f(1,2)BC＝1，CF＝DG＝eq\r(3)，∴OF＝eq\r(3)＋2，∴D(eq\r(3)＋2，1)．

解图13.【答案】105°或45°【解析】如解图，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝30°，∴∠ABC＝150°，∠ABD＝∠DBC＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E在△ABD内时，∠E1BC＝∠E1BD＋∠DBC＝30°＋75°＝105°；(2)当点E在△DBC内时，∠E2BC＝∠DBC－∠E2BD＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC的度数为105°或45°.

解图14.【答案】15【解析】如解图，连接AC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AC＝BD，又∵AB＝BA，∴△DAB≌△CBA(SSS)，∴∠ACB＝∠ADB＝30°，∵CE＝BD，∴AC＝CE，∴∠E＝∠CAE＝eq\f(1,2)∠ACB＝15°.

解图15.【答案】①③④【解析】由折叠的性质得，∠CBE＝∠FBE，∠ABG＝∠FBG，∴∠EBG＝∠FBE＋∠FBG＝eq\f(1,2)×90°＝45°，故①正确；由折叠的性质得，BF＝BC＝10，BA＝BH＝6，∴HF＝BF－BH＝4，AF＝eq\r(BF2－BA2)＝eq\r(102－62)＝8，设GH＝x，则GF＝8－x，在Rt△GHF中，x2＋42＝(8－x)2，∴x＝3，∴GF＝5，∴AG＝3，同理在Rt△FDE中，由FD2＝EF2－ED2，得ED＝eq\f(8,3)，EF＝eq\f(10,3)，∴eq\f(ED,FD)＝eq\f(4,3)≠eq\f(AB,AG)＝2，∴△DEF与△ABG不相似，故②不正确；S△ABG＝eq\f(1,2)×3×6＝9，S△FGH＝eq\f(1,2)×3×4＝6，∴eq\f(S△ABG,S△FGH)＝eq\f(9,6)＝eq\f(3,2)，故③正确；∵AG＝3，DF＝AD－AF＝2，∴FG＝5，∴AG＋DF＝FG＝5，故④正确．综上，答案是①③④.16.【答案】．思路如下：如图，等边三角形EFG的高＝AB＝t，计算得边长为．三、解答题17.【答案】证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，(2分)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，(4分)∵四边形AODE是平行四边形，∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形．(5分)18.【答案】解:(1)证明:∵平行四边形ABCD，∴AE∥DC，∴∠EBO=∠DCO，∠BEO=∠CDO，∵点O是边BC的中点，∴BO=CO，∴△EBO≌△DCO(AAS)，∴EO=DO，∴四边形BECD是平行四边形.(2)100[解析]若四边形BECD为矩形，则BC=DE，BD⊥AE，又AD=BC，∴AD=DE.根据等腰三角形的性质，可知∠ADB=∠EDB=40°，故∠BOD=180°-∠ADE=100°.19.【答案】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB=CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF(AAS)；(2)∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=90°，∴∠EAF=∠AEC=∠AFC=90°，∴四边形AECF是矩形．20.【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A落在AB边上的点D处，解图①∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S△AEF＝S△DEF，∵S四边形ECBF＝3S△EDF，∴S四边形ECBF＝3S△AEF，∵S△ACB＝S△AEF＋S四边形ECBF，∴S△ACB＝S△AEF＋3S△AEF＝4S△AEF，∴，∵∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠ACB＝90°，∴△AEF∽△ABC，∴，∴在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB2＝AC2＋BC2，即AB＝eq\r(42＋32)＝5，∴(eq\f(AE,5))2＝eq\f(1,4)，∴AE＝eq\f(5,2)；(2)①四边形AEMF是菱形．证明：如解图②，∵折叠后点A落在BC边上的点M处，∴∠CAB＝∠EMF，AE＝ME，又∵MF∥CA，∴∠CEM＝∠EMF，∴∠CAB＝∠CEM，∴EM∥AF，∴四边形AEMF是平行四边形，而AE＝ME，∴四边形AEMF是菱形，解图②②如解图②，连接AM，与EF交于点O，设AE＝x，则AE＝ME＝x，EC＝4－x，∵∠CEM＝∠CAB，∠ECM＝∠ACB＝90°，∴Rt△ECM∽Rt△ACB，∴eq\f(EC,AC)＝eq\f(EM,AB)，∵AB＝5，∴解得x＝eq\f(20,9)，∴AE＝ME＝eq\f(20,9)，EC＝eq\f(16,9)，在Rt△ECM中，∵∠ECM＝90°，∴CM2＝EM2－EC2，即CM＝＝eq\r(（\f(20,9)）2－（\f(16,9)）2)＝eq\f(4,3)，∵四边形AEMF是菱形，∴OE＝OF，OA＝OM，AM⊥EF，∴S＝4S△AOE＝2OE·AO，在Rt△AOE和Rt△ACM中，∵tan∠EAO＝tan∠CAM，∴eq\f(OE,AO)＝eq\f(CM,AC)，∵CM＝eq\f(4,3)，AC＝4，∴AO＝3OE，∴S＝6OE2，又∵S＝AE·CM，∴6OE2＝eq\f(20,9)×eq\f(4,3)，解得OE＝eq\f(2\r(10),9)，∴EF＝2OE＝eq\f(4\r(10),9).21.【答案】(1)在矩形ABCD中，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴CD＝AB＝6cm，AD＝BC＝8cm，∠BAD＝∠ADC＝∠DCB＝∠B＝90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝10，∵FQ⊥BC，∴∠FQC＝90°，∴四边形CDFQ是矩形，∴DF＝QC，FQ＝DC＝6cm，由