2021年中考数学 一轮专题汇编：正方形及四边形综合问题(含答案)

2021中考数学一轮专题汇编：正方形及四边形综合问题一、选择题1.下列说法错误的是 ()A.平行四边形的对边相等B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形2.如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE=1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF= ()A. B. C.5 D.23.如图正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为 ()A.60° B.67.5° C.75° D.54°4.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是()A.3B.4C.5D.6

5.（2020·温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为A．14B．15C．D．6.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G、F，H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH.下列结论：①EG＝DF；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若eq\f(AE,AB)＝eq\f(2,3)，则3S△EDH＝13S△DHC，其中结论正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个7.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3－1－10所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是()

A.eq\f(\r(3)＋3,18)B.eq\f(\r(3)＋1,18)C.eq\f(\r(3)＋3,6)D.eq\f(\r(3)＋1,6)

8.（2020·东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N，下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③；④△POF∽△BNF；⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（）A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤D.③④⑤二、填空题9.将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置(如图)，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD=.(结果保留根号)

10.如图，四边形ACDF是正方形，∠CEA和∠ABF都是直角且E，A，B三点共线，AB=4，则阴影部分的面积是.

11.如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是.

12.▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD为正方形．13.如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是________．

14.如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则eq\f(S正方形MNPQ,S正方形AEFG)的值等于________．15.如图，正方形ABCD的边长为2eq\r(2)，对角线AC，BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．

16.如图，有一个边长不定的正方形ABCD，它的两个相对的顶点A，C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部(包括边界)，则正方形边长a的取值范围是________．三、解答题17.已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P.(1)求证：AP＝BQ;(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ长．

18.已知正方形ABCD中，BC＝3，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF＝BE，连接AE、AF，过点A作AH⊥ED于H点．(1)求证：△ADF≌△ABE；(2)若BE＝1，求tan∠AED的值．

19.如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点(与D，C不重合)，连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH.显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线.仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180°的角的平分线)，并说明理由.

20.已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，AB＝6，D是AB的中点，动点E从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG，直线BG，FE相交于点N(点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②)．(1)在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为________；(2)设DE＝x，NB＝y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；(3)如图②，当DE的长度为eq\r(3)时，求∠BFE的度数．21.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．（1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？2021中考数学一轮专题汇编：正方形及四边形综合问题-答案一、选择题1.【答案】B2.【答案】D[解析]由旋转的性质可知，△ADE≌△ABF，∴BF=DE=1，∴FC=6，∵CE=4，∴EF===2.故选:D.3.【答案】A[解析]连接BF，∵E为AB中点，FE⊥AB，∴EF垂直平分AB，∴AF=BF.∵AF=2AE，∴AF=AB，∴AF=BF=AB，∴△ABF为等边三角形，∴∠FBA=60°，BF=BC，∴∠FCB=∠BFC=15°，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DBC=45°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠DOC=15°+45°=60°.4.【答案】B【解析】设CH＝x，∵BE∶EC＝2∶1，BC＝9，∴EC＝3，由折叠可知，EH＝DH＝9－x，在Rt△ECH中，由勾股定理得：(9－x)2＝32＋x2，解得：x＝4.5.【答案】A【解析】本题主要考查了相似三角形和正方形的性质，由题意知△CDP∽△CBQ，所以，即，解得：BC＝2CD，所以CQ＝2CP，则CP＝5，CQ＝10，由于PQ∥AB，所以∠CBA＝∠BCQ＝∠DCP，则tan∠BCQ＝tan∠DCP＝tan∠CBA＝，不妨设DP＝x，则DC＝2x，在Rt△DCP中，，解得x＝.∴DC＝2，BC＝4，所以AB＝10，△ABC的斜边上的高＝,所以CR＝14，所以因此本题选A．6.【答案】D【解析】逐项分析如下表：序号逐项分析正误①在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，∵EF∥AD，∴四边形EFDA、四边形EFCB是矩形，∴∠EFC＝∠ADC＝90°，EF＝DC，在Rt△CGF中，∠ACD＝45°，∴GF＝CF，∴EF－GF＝CD－CF，即EG＝DF√②∵△GFC是等腰直角三角形，H是CG的中点，∴GH＝FH，∠HGF＝∠GFH＝45°，∴∠EGH＝∠DFH＝135°，又由①知EG＝DF，∴△EGH≌△DFH(SAS)，∴∠HEF＝∠FDH，∵∠AEH＝∠AEF＋∠HEF＝90°＋∠HEF，∠ADH＝∠ADC－∠FDH＝90°－∠FDH，∴∠AEH＋∠ADH＝180°√③由②可知EH＝DH，FH＝CH，又∵EF＝DC，∴△EHF≌△DHC(SSS)√④∵△EGH≌△DFH，∴EH＝DH，∠EHG＝∠DHF，∴∠EHG＋∠AHD＝∠DHF＋∠AHD＝90°，即∠EHD＝∠AHF＝90°，∴△EHD为等腰直角三角形，∵eq\f(AE,AB)＝eq\f(2,3)，∴设AE＝2x，AB＝3x，则DE＝eq\r(（2x）2＋（3x）2)＝eq\r(13)x，∴EH＝DH＝eq\f(\r(2),2)×eq\r(13)x＝eq\f(\r(26),2)x，∴S△EDH＝eq\f(1,2)EH2＝eq\f(1,2)×eq\f(13,2)x2＝eq\f(13,4)x2.在△DHC中，设CD边上的高为h，则h＝eq\f(1,2)CF＝eq\f(x,2)，则S△DHC＝eq\f(1,2)CD·h＝eq\f(1,2)×3x×eq\f(x,2)＝eq\f(3,4)x2，eq\f(S△EDH,S△DHC)＝eq\f(\f(13,4)x2,\f(3,4)x2)＝eq\f(13,3)，即3S△EDH＝13S△DHC√7.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，0))D解析：过小正方形的一个顶点D3作FQ⊥x轴于点Q，过点A3作A3F⊥FQ于点F.∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴∠B3C3E4＝60°，∠D1C1E1＝30°，∠E2B2C2＝30°，∴D1E1＝eq\f(1,2)D1C1＝eq\f(1,2)，∴D1E1＝B2E2＝eq\f(1,2)，∴cos30°＝eq\f(B2E2,B2C2)＝eq\f(\f(1,2),B2C2)，解得：B2C2＝eq\f(\r(3),3).∴B3E4＝eq\f(\r(3),6)，cos30°＝eq\f(B3E4,B3C3).解得：B3C3＝eq\f(1,3).则D3C3＝eq\f(1,3).根据题意得出：∠D3C3Q＝30°，∠C3D3Q＝60°，∠A3D3F＝30°，∴D3Q＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，FD3＝D3A3·cos30°＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6).则点A3到x轴的距离FQ＝D3Q＋FD3＝eq\f(1,6)＋eq\f(\r(3),6)＝eq\f(\r(3)＋1,6).8.【答案】B【解析】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，灵活的运用所学知识是解答本题的关键．综合应用垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质等知识，逐个判断5个结论的正确性，得出结论．①∵正方形ABCD，∴∠APE=∠AME=45°，∵PM⊥AE，∴∠AEP=∠AEM=90°，∵AE=AE，∴△APE≌△AME（ASA）；②过点N作NQ⊥AC于点Q，则四边形PNQE是矩形，∴PN=EQ，∵正方形ABCD，∴∠PAE=∠MAE=45°，∵PM⊥AE，∴∠PEA=45°，∴∠PAE=∠APE，PE=NQ，∴△APE等腰直角三角形，∴AE=PE，同理得：△NQC等腰直角三角形，∴NQ=CQ，∵△APE≌△AME，∴PE=ME，∴PE=ME=NQ=CQ，∴PM=AE+CQ，∴PM+PN=AE+CQ+EQ=AC，即PM+PN=AC成立；③∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠EOF是直角，∵过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，∴∠PEO和∠PFO是直角，∴四边形PFOE是矩形，∴PF=OE，在Rt△PEO中，有PE2+OE2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，即PE2+PF2=PO2成立；④△BNF是等腰直角三角形，点P不在AB的中点时，△POF不是等腰直角三角形，所以△POF与△BNF不一定相似，即△POF∽△BNF不一定成立；⑤∵△AMP是等腰直角三角形，△PMN∽△AMP，∴△PMN是等腰直角三角形，∵∠MPN=90°，∴PM=PN，∵AP=PM，BP=PN，∴AP=BP，∴点P是AB的中点，又∵O为正方形的对称中点，∴点O在M、N两点的连线上．综上，①②③⑤成立，即正确的结论有4个，答案选B．二、填空题9.【答案】-1[解析]∵四边形ABCD为正方形，∴CD=1，∠CDA=90°，∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，∴CF=，∠CFE=45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH=DF=CF-CD=-1.故答案为-1.10.【答案】8[解析]∵四边形ACDF是正方形，∴AC=AF，∠CAF=90°，∴∠CAE+∠BAF=90°，又∠CAE+∠ECA=90°，∴∠ECA=∠BAF，则在△ACE和△FAB中，∵∴△ACE≌△FAB(AAS)，∴AB=CE=4，∴阴影部分的面积=AB·CE=×4×4=8.11.【答案】8[解析]如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵AE=CF=2，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE=DF=BE=BF，∵AC=BD=8，OE=OF==2，∴由勾股定理得:DE===2，∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2=8，故答案为:8.12.【答案】∠BAD＝90°(答案不唯一)【解析】∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，菱形ABCD为正方形．故可添加条件：∠BAD＝90°.13.【答案】(eq\r(3)＋2，1)【解析】如解图，过点D作DG⊥BC于G，DF⊥x轴于F，∵在菱形BDCE中，BD＝CD，∠BDC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DF＝CG＝eq\f(1,2)BC＝1，CF＝DG＝eq\r(3)，∴OF＝eq\r(3)＋2，∴D(eq\r(3)＋2，1)．

解图14.【答案】eq\f(8,9)【解析】设BD＝3a，∠CDB＝∠CBD＝45°，且四边形PQMN为正方形，∴DQ＝PQ＝QM＝NM＝MB，∴正方形MNPQ的边长为a，正方形AEFG的对角线AF＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(3,2)a，∵正方形对角线互相垂直，∴S正方形AEFG＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)a×eq\f(3,2)a＝eq\f(9,8)a2，∴eq\f(S正方形MNPQ,S正方形AEFG)＝eq\f(a2,\f(9,8)a2)＝eq\f(8,9).15.【答案】eq\f(\r(5),5)【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AO＝BO，∠AOF＝∠BOE＝90°，∵AM⊥BE，∠AFO＝∠BFM，∴∠FAO＝∠EBO，在△AFO和△BEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AOF＝∠BOE,AO＝BO,∠FAO＝∠EBO))，∴△AFO≌△BEO(ASA)，∴FO＝EO，∵正方形ABCD的边长为2eq\r(2)，E是OC的中点，∴FO＝EO＝1＝BF，BO＝2，∴在Rt△BOE中，BE＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，由∠FBM＝∠EBO，∠FMB＝∠EOB，可得△BFM∽△BEO，∴eq\f(FM,EO)＝eq\f(BF,BE)，即eq\f(FM,1)＝eq\f(1,\r(5))，∴FM＝eq\f(\r(5),5).16.【答案】eq\f(\r(6),2)≤a≤3－eq\r(3)【解析】∵ABCD是正方形，∴AB＝a＝eq\f(\r(2),2)AC，∴a的取值范围与AC的长度直接相关．如解图①，当A，C两点恰好是正六边形一组对边中点时，a的值最小，∵正六边形的边长为1，∴AC＝eq\r(3)，∴AB＝a＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\f(\r(6),2)；如解图②，连接MN，延长AE，BF交于点G，∵正六边形和正方形ABCD，∴△MNG、△ABG、△EFG为正三角形，设AE＝BF＝x，则AM＝BN＝1－x，AG＝BG＝AB＝1＋x＝a，∵GM＝MN＝2，∠BNM＝60°，∴sin∠BNM＝sin60°＝eq\f(\f(BC,2),BN)＝eq\f(\f(a,2),1－x)，∴eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x))＝a，∴eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－a))＝a，解得，a＝eq\f(2\r(3),\r(3)＋1)＝3－eq\r(3).∴正方形边长a的取值范围是eq\f(\r(6),2)≤a≤3－eq\r(3).三、解答题17.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD,∠BAQ＋∠DAP＝90°＝∠DAB，∵DP⊥AQ，∴∠DAP＋∠ADP＝90°，∴∠BAQ＝∠ADP.在△DAP和△ABQ中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(∠APD＝∠AQB＝90°,∠ADP＝∠BAQ,AD＝AB)))，(2分)∴△DAP≌△ABQ(AAS)，∴AP＝BQ.(4分)(2)解：①AQ和AP；(5分)②DP和AP；(6分)③AQ和BQ；(7分)④DP和BQ.(8分)【解法提示】①由题图直接得：AQ－AP＝PQ；②∵△ABQ≌△DAP，∴AQ＝DP，∴DP－AP＝AQ－AP＝PQ；③∵△ABQ≌△DAP，∴BQ＝AP，∴AQ－BQ＝AQ－AP＝PQ；④∵△ABQ≌△DAP，∴DP＝AQ，BQ＝AP，∴DP－BQ＝AQ－AP＝PQ.18.【答案】(1)证明：在△ADF和△ABE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(AB＝AD,∠ABE＝∠ADF＝90°,EB＝FD)))，∴△ADF≌△ABE(SAS)．(3分)(2)解：∵AB＝3，BE＝1，∴AE＝eq\r(10)，EC＝4，∴ED＝eq\r(CD2＋EC2)＝5，(4分)设AH＝x，EH＝y，在Rt△AHE和Rt△AHD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝10,x2＋（5－y）2＝9))，解得，x＝1.8，y＝2.6，(6分)∴tan∠AED＝eq\f(AH,EH)＝eq\f(x,y)＝eq\f(1.8,2.6)＝eq\f(9,13).(8分)19.【答案】[解析]过点H作HN⊥BM于N，利用正方形的性质及轴对称的性质，证明△ABG≌△AFG，可推出AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线;证明△ABG≌△GNH，推出HN=CN，得到∠DCH=∠NCH，推出CH是∠DCM的平分线;再证∠HGN=∠EGH，可知GH是∠EGM的平分线.解:过点H作HN⊥BM于N，则∠HNC=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB=BC，∠D=∠DAB=∠B=∠DCB=∠DCM=90°.①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，∴△ADE≌△AFE，∴∠D=∠AFE=∠AFG=90°，AD=AF，∠DAE=∠FAE，∴AF=AB.又∵AG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，∴∠BAG=∠FAG，∠AGB=∠AGF，∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线.②由①知，∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG，又∵∠BAD=90°，∴∠GAF+∠EAF=×90°=45°，即∠GAH=45°.∵GH⊥AG，∴∠GHA=90°-∠GAH=45°，∴△AGH为等腰直角三角形，∴AG=GH.∵∠AGB+∠BAG=90°，∠AGB+∠HGN=90°，∴∠BAG=∠NGH.又∵∠B=∠HNG=90°，AG=GH，∴△ABG≌△GNH(AAS)，∴BG=NH，AB=GN，∴BC=GN.∴BC-CG=GN-CG，∴BG=CN，∴CN=HN.∵∠HNC=90°，∴∠NCH=∠NHC=×90°=45°，∴∠DCH=∠DCM-∠NCH=45°，∴∠DCH=∠NCH，∴CH是∠DCM的平分线.③∵∠AGB+∠HGN=90°，∠AGF+∠EGH=90°，由①知，∠AGB=∠AGF，∴∠HGN=∠EGH，∴GH是∠EGM的平分线.综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCM的平分线，GH是∠EGM的平分线.20.【答案】(1)BG∥CD；【解法提示】∵四边形EFGC是正方形，∴CG＝CE，∠GCE