人教B版（2023）选修第三册5.3.1、等比数列（含答案）

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（共20题）

一、选择题（共13题）

已知正项等比数列的公比为，且对任意，有，则

A．B．C．D．

在等比数列中，若，，则公比为

A．B．C．D．

设实数，，，，构成等比数列，已知，，则

A．B．C．D．

等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则

A．B．C．D．

已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则的值是

A．B．C．D．

等比数列中，，，则

A．B．C．D．

已知等比数列满足，，则

A．B．C．D．

已知公差不为零的等差数列满足，且，，成等比，则的值为

A．B．C．D．

设等比数列满足，，则的最大值为

A．B．C．D．

设是各项均为正数的无穷数列，是边长为，的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为

A．是等比数列

B．，，，，或，，，，是等比数列

C．，，，，和，，，，均是等比数列

D．，，，，和，，，，均是等比数列，且公比相同

已知是等比数列，，，则公比

A．B．C．D．

已知，，成公比为的等比数列，，且，，也成等比数列，则的值为

A．或B．

C．或D．或或

已知公差不为的等差数列，前项和为，满足，且，，成等比数列，则

A．B．C．或D．

二、填空题（共4题）

等比数列中，若，，则．

等差数列的公差，是，的等比中项，已知数列，，，为等比数列，数列的前项和记为，则．

在等比数列中，若，，则．

在数列中，若对任意的，都有(为常数)，则称数列为比等差数列，称为比公差，现给出以下命题：

等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；

若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；

若数列满足，，，则该数列不是比等差数列；

若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列．

其中所有真命题的序号是．

三、解答题（共3题）

各项均为正数的等比数列满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，证明：．

已知数列满足：，且，求．

已知数列的前项和为，且，数列满足且，其中且．

(1)求的通项公式．

(2)求证：数列为等比数列．

答案

一、选择题（共13题）

1.【答案】C

【解析】因为数列是正项等比数列，故且．又因为对任意，有，即，所以，解得或（舍去）．

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】B

【解析】等比数列的公比设为，前项和为，

，且与的等差中项为，

可得，，

解得，，

则．

故选：B．

5.【答案】C

【解析】由等差中项的性质可得，

所以，

由等比中项的性质可得，

所以，

因此，

6.【答案】B

【解析】，解得，

7.【答案】C

8.【答案】C

【解析】根据题意，设等差数列的公差为，

若，则．

又由，，成等比，则，

即，解可得：或．

又由等差数列的公差不为零，则，则．

9.【答案】C

【解析】设等比数列的公比为．由，，可得解得

所以，

所以，

令，

当或时，有最小值，即，

所以的最大值为，故选C．

10.【答案】D

11.【答案】D

12.【答案】C

【解析】因为，，成公比为的等比数列，，

所以，，

因为等比数列中每一项都不为零，

所以，

因为，，也成等比数列，

所以，

即，

把选项中的值代入以上等式进行检验，

得到，合题意．

13.【答案】B

二、填空题（共4题）

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】

【解析】设等比数列的公比为，

则

②①得，即，

所以

17.【答案】

【解析】①，若数列为等比数列，且公比为，则，为常数，故等比数列一定是比等差数列，

若数列为等差数列，且公差为，当时，，为常数，是比等差数列，

当时，不为常数，故不是比等差数列，故等差数列不一定是比等差数列，故①正确；

②，若数列满足，则，不是常数，故数列不是比等差数列，故②错误；

③，若数列满足，，，可得，，故，，显然，故该数列不是比等差数列，故③正确；

④，若是等差数列，是等比数列，若为列，则数列为列，显然不满足定义，即数列不是比等差数列，故④错误．

三、解答题（共3题）

18.【答案】

(1)设等比数列的公比为，

由得

解得或，

因为数列为正项数列，

所以，

所以，

所以．

(2)由（Ⅰ）得，

所以，

所以

19.【答案】由，可得，即，

所以数列是首项为，公比为的等比数列．

则

所以．