空间向量基本定理 课件_第1页
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文档简介

1.2空间向量基本定理平面向量基本定理：

如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量

a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使

a＝λ1e1＋λ2e2．

若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．问题1

平面中的任意向量可以由两个不共线向量的线性运算来表示，那么空间中的任意向量能不能通过两个不共线向量的线性运算来表示呢？问题2

为了表示空间中的向量，至少需要几个向量来表示？问题3

任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？

三个向量共面

三个向量不共面abc？pijkPQOα三个相互垂直的向量三个相互垂直的向量xipijkPQOyjzkα我们称

xi，yj，zk分别为向量

p

在

i，j，k上的分向量．问题4如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗？abcp问题4

如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗？abcOPαpacbBCAQ问题4如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗？QαabcOPpacbBCA问题4如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗？OQPpacbBCAαabc问题4如果给定的三个不共面的向量不是两两垂直的，能用它们的线性运算表示任意一个空间向量吗？xaOQPpacbybzcBCAαabc问题5你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？如果

e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．空间向量基本定理平面向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．

那么，所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．

如果三个向量

a，b，c

不共面，那么对任意一个空间向量

p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得

p＝xa＋yb＋zc．空间向量基本定理

我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．注：1、空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；2、零向量可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们不是零向量；3、一个基底指一个向量组，一个基向量指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。空间向量基本定理

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．

把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．aijkPQO

OABCMNP例2.立体几何问题①适当选取基底向量运算②用基向量表示相关向量③将相关向量的问题转化为基向量的问题向量问题向量问题的解立

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