第二章 数值计算

第二章数值计算第1页，课件共71页，创作于2023年2月矩阵的拆分

1利用冒号表达式获得子矩阵

①A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。

②A(i:i+m,:)表示取A矩阵第i～i+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第i～i+m行内，并在第k～k+m列中的所有元素。

此外，还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元素下标。第2页，课件共71页，创作于2023年2月矩阵的拆分2利用空矩阵删除矩阵的元素

在MATLAB中，定义[]为空矩阵。给变量X赋空矩阵的语句为X=[]。注意，X=[]与clearX不同，clear是将X从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为0。第3页，课件共71页，创作于2023年2月特殊矩阵1．通用的特殊矩阵

常用的产生通用特殊矩阵的函数有：

zeros：产生全0矩阵(零矩阵)。

ones：产生全1矩阵(幺矩阵)。

eye：产生单位矩阵。

rand：产生0～1间均匀分布的随机矩阵。

randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。第4页，课件共71页，创作于2023年2月特殊矩阵1．通用的特殊矩阵

常用的产生通用特殊矩阵的函数有：

zeros：产生全0矩阵(零矩阵)。

ones：产生全1矩阵(幺矩阵)。

eye：产生单位矩阵。

rand：产生0～1间均匀分布的随机矩阵。

randn：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。第5页，课件共71页，创作于2023年2月特殊矩阵2．用于专门学科的特殊矩阵

(1)魔方矩阵

魔方矩阵有一个有趣的性质，其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,…,n2共n2个整数组成。MATLAB提供了求魔方矩阵的函数magic(n)，其功能是生成一个n阶魔方阵。第6页，课件共71页，创作于2023年2月特殊矩阵2．用于专门学科的特殊矩阵

(2)范得蒙矩阵

范得蒙(Vandermonde)矩阵最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。可以用一个指定向量生成一个范得蒙矩阵。在MATLAB中，函数vander(V)生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵。例如，A=vander([1;2;3;5])即可得到上述范得蒙矩阵。

第7页，课件共71页，创作于2023年2月特殊矩阵2．用于专门学科的特殊矩阵

(3)希尔伯特矩阵

在MATLAB中，生成希尔伯特矩阵的函数是hilb(n)。

使用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果。MATLAB中，有一个专门求希尔伯特矩阵的逆的函数invhilb(n)，其功能是求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。第8页，课件共71页，创作于2023年2月矩阵的其它运算inv——

矩阵求逆det——

行列式的值eig——

矩阵的特征值diag——

对角矩阵

’

——

矩阵转置sqrt——

矩阵开方第9页，课件共71页，创作于2023年2月矩阵的一些特殊操作矩阵的变向

rot90:矩阵整体反时针旋转90度;rot90(a)fliplr:矩阵左右翻转;flipud:矩阵上下翻转;矩阵的抽取

diag:抽取主对角线;tril:抽取左下三角;triu:抽取右上三角;第10页，课件共71页，创作于2023年2月稀疏矩阵什么是稀疏矩阵？假若在m*n的矩阵中，非零元个数num<<m*n，我们可以称之为稀疏矩阵，并称t=num/(m*n)为矩阵的稀疏因子。通常认为t<<0.05时称为稀疏矩阵。

第11页，课件共71页，创作于2023年2月存储稀疏矩阵时，往往只存放其中的非零元。稀疏矩阵的三元组表法是顺序存储方法的一种。采用这种方法时，线性表中的每个结点对应稀疏矩阵的一个非零元素，其中包括3个字段，分别为该元素的行下标、列下标和值，结点间的次序按矩阵的行优先顺序排列。另外，用第0行的三个元素分别存储矩阵的行数、列数和非零元数目。例如，矩阵A：5

007可以用三元组表示为0

2003440

000115147222在具体编程过程中，往往可以用一个简单的n*3二数组来表示此三元组。即稀疏矩阵A可以用数组a[5][3]={{3,4,4},{1,1,5},{1,4,7},{2,2,2}}

来表示。第12页，课件共71页，创作于2023年2月稀疏矩阵的生成在MATLAB7中，生成稀疏矩阵用特殊的函数来进行，这些函数有speye、spones、spdiags、sparse、find、full、spalloc、sprand和sprandn等。第13页，课件共71页，创作于2023年2月稀疏矩阵与全元素矩阵的相互转换用来将稀疏矩阵和全元素矩阵相互转换的函数有sparse、full和find等3个函数。注：find函数生成非中非零元素的位置

第14页，课件共71页，创作于2023年2月稀疏矩阵的操作对稀疏矩阵进行操作，主要由nnz、nonzeros、nzmax、sponse、spalloc、isspase、spyfun和spy等函数来实现。第15页，课件共71页，创作于2023年2月算术运算1．基本算术运算

MATLAB的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。

注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。第16页，课件共71页，创作于2023年2月算术运算(1)矩阵加减运算

假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B和A-B实现矩阵的加减运算。运算规则是：若A和B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，A和B矩阵的相应元素相加减。如果A与B的维数不相同，则MATLAB将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。第17页，课件共71页，创作于2023年2月算术运算(2)矩阵乘法

假定有两个矩阵A和B，若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则C=A*B为m×p矩阵。第18页，课件共71页，创作于2023年2月算术运算(3)矩阵除法

在MATLAB中，有两种矩阵除法运算：\和/，分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B和B/A运算可以实现。A\B等效于A的逆左乘B矩阵，也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵，也就是B*inv(A)。

对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又如，设a=[10.5,25]，则a/5=5\a=[2.10005.0000]。对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般A\B≠B/A。第19页，课件共71页，创作于2023年2月算术运算(4)矩阵的乘方

一个矩阵的乘方运算可以表示成A^x，要求A为方阵，x为标量。

第20页，课件共71页，创作于2023年2月算术运算2．点运算

在MATLAB中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.\和.^。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。第21页，课件共71页，创作于2023年2月关系运算MATLAB提供了6种关系运算符：<(小于)、<=(小于或等于)、>(大于)、>=(大于或等于)、==(等于)、～=(不等于)。它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。第22页，课件共71页，创作于2023年2月关系运算符的运算法则当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式结果为1，否则为0。当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。第23页，课件共71页，创作于2023年2月关系运算符的运算法则(3)

当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。第24页，课件共71页，创作于2023年2月逻辑运算MATLAB提供3种逻辑运算符：&(与)、|(或)和～(非)。逻辑运算的运算法则为：

(1)在逻辑运算中，确认非零元素为真，用1表示，零元素为假，用0表示。

(2)设参与逻辑运算的是两个标量a和b，那么，

a&ba,b全为非零时，运算结果为1，否则为0。

a|ba,b中只要有一个非零，运算结果为1。

～a当a是零时，运算结果为1；当a非零时，运算结果为0。第25页，课件共71页，创作于2023年2月逻辑运算(3)若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。(4)若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。第26页，课件共71页，创作于2023年2月逻辑运算(5)逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规则。(6)在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低。第27页，课件共71页，创作于2023年2月多项式及运算多项式的MATLAB表示法：如：P＝S3＋2S2＋3S＋4MATLAB可表示为系数向量

P＝[1234]第28页，课件共71页，创作于2023年2月多项式的生成直接输入系数向量

>>p=[1234]P＝s3＋2s2＋3s＋4*

求多项式的根，可用函数roots（P）【例】r＝roots（P）

ans＝-1.6506-0.1747+1.5469i-0.1747-1.5469i第29页，课件共71页，创作于2023年2月若已知多项式根向量，可用poly（P）生成多项式【例】已知P1(s)＝(s+1)(s+2)(s+3)的根为：-1-2-3

则编写：P1＝poly（[-1,-2,-3]）

运行后,得

P1＝

16116

表示已生成多项式为：P=s3+6s2+11s+6多项式的生成第30页，课件共71页，创作于2023年2月多项式运算1．求多项式值

polyval(p,x0)V=polyval(P1,1)V=242．多项式加、减:

*阶次相同，低阶缺项系数必须补0【例】：（s2+2s+1）+2s2P1=[121]；

P2=[200]；

P=P1+P2》P=321第31页，课件共71页，创作于2023年2月多项式运算3．多项式乘法conv.（卷积）

(s+1)(s3+6s2+11s+6)P1=[11];P2=[16116];P3=conv(P1,P2)》P3=1717176→P3=s4+7s3+17s2+17s+6第32页，课件共71页，创作于2023年2月多项式运算4．多项式除运算

deconva=[123];c=[413282718]d=deconv(c,a)c=413282718[d,r]=deconv(c,a)余数c除a后的整数第33页，课件共71页，创作于2023年2月多项式运算5．部分分式展开式residue[r,p,k]=residue(b,a)

b(s)r(1)

r(2)

r(n)----=--------+--------+...+--------+k(s)a(s)s-p(1)s-p(2)s-p(n)

p=[p(1),p(2),…p(n)]r=[r(1),r)2),….r(n)].k(s)直接项第34页，课件共71页，创作于2023年2月多项式运算6．多项式微分运算polyder【例】f(x)=2x5+5x4+4x2+x+4 p=[250414];h=polyder(p)

》h=1020081第35页，课件共71页，创作于2023年2月练习例:x1+2x2=82x1+3x2=13

=方程ax=ba=[12;23];b=[8;13];

x=inv(a)*b

x=a\bx=x=2.002.003.003.00第36页，课件共71页，创作于2023年2月多项式拟合与插值在分析试验数据中，常常要面临将试验数据作解析描述的任务，这个问题有曲线拟合和插值两种方法。在曲线拟合中，假定已知曲线的规律，作曲线的最佳逼近，但不需要经过所有的数据点；在插值中，认为数据是准确的，求取其中描述点之间的数据。第37页，课件共71页，创作于2023年2月多项式拟合多项式的最小二乘曲线拟合使用polyfit，它需要曲线的x、y值，以及曲线的阶数。曲线的阶数：如果曲线的阶数选择的过小，拟合效果不好；如果曲线的阶数过高，虽然数据点上看到效果好，数据点之间会出现有数据振荡的问题，阶数不宜过高，一般小于5阶。灵活使用拟合第38页，课件共71页，创作于2023年2月插值函数1、曲线插值函数interp1方法t=interp1(x,y,x0,’method’)x、y：原始数据点，x0为进行插值的数组，method为插值算法:线性插值('linear')，三次样条插值('spline'),三次多项式插值(‘cubic’).如果x0出界，则对应值为NaN第39页，课件共71页，创作于2023年2月曲面（二维）插值插值函数：interp2，基本形式：zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method)method包括linear:线性cubic:三次多项式nearest：粗略估计数据例程：ex43第40页，课件共71页，创作于2023年2月元胞数组的创建1、直接生成单元数组用类似矩阵的记号将给复杂的数据结构纳入一个变量之下。和矩阵中的圆括号表示下标类似，单元数组由大括号表示下标。a={'ThisisthefirstCell.',[12;34];eye(3),{'Tom','Jane'}}A=[1x23char][2x2double][3x3double]{1x2cell}第41页，课件共71页，创作于2023年2月元胞数组的创建2、使用cell函数生成元胞数组应用举例：>>A=cell(2,2)A=[][][][]>>A{1,1}=['富强''民主';'文明''廉洁']A=[2x4char][][][]第42页，课件共71页，创作于2023年2月元胞数组的创建3、创建各元胞来创建元胞数组4、由各元胞内容创建第43页，课件共71页，创作于2023年2月单元数组的内容的显示>>celldisp(A)A{1,1}=ThisisthefirstCellA{2,1}=1 000 10001A{1,2}=1234A{2,2}{1}=TomA{2,2}{2}=Jane第44页，课件共71页，创作于2023年2月单元数组的内容的显示用cellplot以图形方式显示元胞数组内容Cellplot（A)

第45页，课件共71页，创作于2023年2月单元数组的内容的获取1、取元胞数组的元素内容

>>x1=A{1,2} x1= 12 34 >>x2=A{1,2}(2,2) x2= 4第46页，课件共71页，创作于2023年2月单元数组的内容的获取2、取元胞数组的元素>>X3=A(1,2)3、使用deal函数取多个元胞元素的内容>>[x4,x5,x6]=deal(A{[2,3,4]})第47页，课件共71页，创作于2023年2月结构数组的创建1、直接输入生成>>student.test=[995696876769877692];>>='WuQing';>>student.weight=68;>>student.height=1.72;>>student.num=2003214091;>>student.add='Schoolofcivilengneering.Tsinghuauniversity';>>student.tel='1381042679*';第48页，课件共71页，创作于2023年2月结构数组的创建2、使用struct函数生成结构型变量

ps(1)=struct(‘name’,’曲线1’,’color’,’red’,

‘position’,[0,0,300,300]);第49页，课件共71页，创作于2023年2月结构数组成员的删除使用函数rmfield从结构数组中删除成员变量>>ps=rmfield(ps,’test’) ps= 1x2structarraywithfields: name color position第50页，课件共71页，创作于2023年2月结构数组的获取和设置1、用“.”符号获取2、用getfield获取结构数组的数据3、用setfield设置结构数组的数据4、用fieldname获取结构数组的所有域第51页，课件共71页，创作于2023年2月集中趋势的测定在统计研究中，需要搜集大量数据并对其进行加工整理，对这些数据进行整理之后发现：大多数情况下数据都会呈现出一种钟形分布，即各个变量值与中间位置的距离越近，出现的次数越多；与中间位置距离越远，出现的次数越少，从而形成了一种以中间值为中心的集中趋势。这个集中趋势是现象共性的特征，是现象规律性的数量表现。第52页，课件共71页，创作于2023年2月集中趋势的描述1．均值函数（1）算术平均数。（2）调和平均数。（3）几何平均数第53页，课件共71页，创作于2023年2月集中趋势的描述2．中位数（中位次数）函数中位数是指全体数值按大小排列后位于中间的数值。 如果参数集合中包含有偶数个数字，中位数函数将返回位于中间的两个数的平均值。第54页，课件共71页，创作于2023年2月集中趋势的描述3．众数函数众数是一组数列中出现次数最多的数值，众数函数返回某一数组或数据区域中出现频率最多的数值。4．最大（小）值函数最大（小）值函数可以返回数据集中的最大（小）数值。第55页，课件共71页，创作于2023年2月三种平均数的特点众数是一组数据中出现次数最多的变量值，它用于对分类数据的概括性度量，其特点是不受极端值的影响，但它没有利用全部数据信息，而且还具有不惟一性。一组数据可能有众数，也可能没有众数；可能有一个众数，也可能有多个众数。中位数是一组数据按大小顺序排序后处于中间位置上的变量，它主要用于对顺序数据的概括性度量。均值是一组数据的算术平均，它利用了全部数据信息，是概括一组数据最常用的一个值。第56页，课件共71页，创作于2023年2月离中趋势的测定在研究现象总体标志的一般水平时，不仅要研究总体标志的集中趋势，还要研究总体标志的离中趋势，如研究价格背离价值的平均程度。研究离中趋势可以通过计算标志变异指标来进行。标志变异指标是同统计平均数相联系的一种综合指标，用于度量随机变量在取值区间内的分布情况，主要有平均差、标准差、方差、四分位数、百分位数等。在一般计算中，这些指标计算是比较复杂的。第57页，课件共71页，创作于2023年2月样本标准差样本标准差函数用来估算样本的标准偏差，反映相对于平均值（mean）的离散程度，计算样本标准差采用不偏估计式（亦即自由度＝n-1），其计算公式为第58页，课件共71页，创作于2023年2月总体标准差总体标准差函数返回以参数形式给出的整个样本总体的标准偏差，反映相对于平均值（mean）的离散程度。计算总体标准差使用整个总体的变量，通常采用偏性估计式（亦即自由度为n），其计算公式为第59页，课件共71页，创作于2023年2月四分位数四分位数是将中值的前后两部分数值再等分为二，以数值小的一端算起，前半部的分区点称为第1四分位数，后半部的分区点称为第3四分位数，而中值即为第2四分位数。四分位数通常用于在销售额和测量值数据集中对总体进行分组。第60页，课件共71页，创作于2023年2月分布形态的测定只用集中趋势和离中趋势来表示所有数据，难免不够准确。分析总体次数的分布形态有助于识别整个总体的数量特征。总体的分布形态可以从两个角度考虑，一是分布的对称程度，另一个是分布的高低。前者的测定参数称为偏度或偏斜度，后者的测定参数称为峰度。峰度是掌握分布形态的另一指标，它能描述分布的平缓或陡峭程度。如果峰度数值等于零，说明分布为正态；如果峰度数值大于零，说明分布呈陡峭状态；如果峰度数值小于零，说明分布形态趋于平缓。第61页，课件共71页，创作于2023年2月偏度函数偏度函数返回分布的偏斜度。偏斜度反映以平均值为中心的分布的不对称程度。正偏斜度表示不对称边的分布更趋向正值，负偏斜度表示不对称边的分布更趋向负值。其计算公式为第62页，课件共71页，创作于2023年2月峰度函数峰度函数返回数据集的峰值，表示次数分布高峰的起伏状态。峰值反映与正态分布相比某一分布的尖锐度或平坦度。正峰值表示相对尖锐的分布，负峰值表示相对平坦的分布。其计算公式为第63页，课件共71页，创作于2023年2月统计分析工具对于统计数据的一些常用统计量，比如均值、中位数、众数、标准差、峰度系数、偏度系数等，可以利用上述统计函数计算。但Matlab提供了一种更快捷的方法，就是描述统计工具。描述统计分析工具用于生成数据源区域中数据的单变量统计分析报表，它可以同时计算出一组数据的多个常用统计量，提供有关数据集中趋势和离中趋势以及分布形态等方面的信息。第64页，课件共71页，创作于2023年2月数据分析1、极小化MATLAB提供了fmin和fmins两个函数来求极值，它们分别寻找一维和n维函数的极值。它使用的单纯性法搜索。函数计算量大，或搜索区内有多极值，搜索的过程较长，也可能找不到极值。如找不到极值，将停止运行并提供解释。寻找极大值点，重定义函数为-f(x)即可。第65页，课件共71页，创作于2023年2月数据分析2、求零点函数fzero可以寻找一维函数的过零点。应用：使用bode图判断控制系统稳定性，要看幅频特性过零点和相频特性过1800点。