2018-2019学年广东省东莞市联考九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2018-2019学年广东省东莞市联考九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019•新乡二模）从上面看如图中的几何体，得到的平面图形正确的是A． B． C． D．2．（3分）（2016•金平区一模）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A． B． C． D．3．（3分）（2018秋•东莞市期末）“投掷一枚硬币，正面朝上”这一事件是A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定事件4．（3分）（2018秋•东莞市期末）下列格点，在反比例函数图象上的是A． B． C． D．5．（3分）（2018秋•东莞市期末）两个三角形的相似比是，则其面积之比是A． B． C． D．6．（3分）（2018秋•东莞市期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是A． B． C． D．7．（3分）（2018秋•东莞市期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是A． B． C． D．8．（3分）（2018秋•东莞市期末）如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是A．2 B．4 C．6 D．9．（3分）（2018秋•东莞市期末）如图，为的直径，，两点在圆上，，则的度数等于A． B． C． D．10．（3分）（2017•中山市模拟）如图，是半圆的直径，且，动点从点出发，沿的路径以每秒的速度运动一周．设运动时间为，，则下列图象能大致刻画与的关系的是A． B． C． D．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2018秋•东莞市期末）方程的两个根是：，．12．（4分）（2019•建湖县二模）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值约为．13．（4分）（2018秋•东莞市期末）抛物线向上平移2个单位后所得的抛物线表达式是．14．（4分）（2018•郫都区模拟）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小为．15．（4分）（2018秋•东莞市期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若，则．16．（4分）（2010•仙桃）如图，等腰的直角边长为4，以为圆心，直角边为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧，，围成的阴影部分的面积为，然后以为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧，，围成的阴影部分的面积为，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积．三、解答题（-）（共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）（2018秋•东莞市期末）计算：18．（6分）（2018秋•东莞市期末）先化简，再求值：，当时，求代数式的值．19．（6分）（2018秋•东莞市期末）如图在中，是半径，．（1）用直尺和圆规作的垂直平分线，交于点，交于点、（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在第（1）问的基础上，求线段的长度．四.解答题（二）（共3小题每小题7分，共21分）20．（7分）（2018•甘肃模拟）2018年2月16日，由著名导演林超贤的电影《红海行动》在各大影院上映后，好评不断，小亮和小丽都想去观看这部电影，但是只有一张电影票，于是他们决定采用摸球的办法决定谁去看电影，规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和大于5，则小亮获胜，若两次数字之和小于5，则小丽获胜．（1）请用列表或画树状图的方法表示出两数和的所有可能的结果；（2）分别求出小亮和小丽获胜的概率．21．（7分）（2018秋•东莞市期末）从甲地到乙地的火车原来的平均速度是100千米每小时，经过两次提速后平均速度为121千米每小时，这两次提速的百分率相同．（1）求该火车每次提速的百分率；（2）若甲乙两地铁路长220千米，求第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用了多少小时．22．（7分）（2018秋•东莞市期末）如图所示，，，，绕点逆时针旋转得到，连接．（1）求证：；（2）连接，求的长．五.解答题（三）（共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）（2018秋•东莞市期末）如图，在平面直角坐标系内，函数的图象与反比例函数图象有公共点，点的坐标为，轴，垂足为点．（1）求反比例函数的解析式；（2）点在线段上，若，求线段的长；（3）点为射线上一点，在（2）的条件下，若，求点的坐标．24．（9分）（2018秋•东莞市期末）如图1，圆内接四边形，，是的直径．（1）求证：；（2）如图2，连接，作，交的延长线于点，若，，求的长；（3）如图3，延长使得，是的直径，连接，若，求证：是的切线．25．（9分）（2018秋•东莞市期末）如图，在正方形中，点在对角线上，交于点，连接．（1）如图1，若，，求的长；（2）如图2．连接，交于点，若，求线段的长；（3）如图3，连接，，设，的面积为，请用的表达式表示，并求出的最大值；当取得最大值时，连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，与交于点，连接，求证：．

2018-2019学年广东省东莞市联考九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019•新乡二模）从上面看如图中的几何体，得到的平面图形正确的是A． B． C． D．【考点】：简单组合体的三视图【专题】1：常规题型【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是，故选：．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．2．（3分）（2016•金平区一模）下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A． B． C． D．【考点】：轴对称图形；：中心对称图形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义，是中心对称图形，故此选项错误；、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．故选：．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．（3分）（2018秋•东莞市期末）“投掷一枚硬币，正面朝上”这一事件是A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定事件【考点】：随机事件【专题】1：常规题型；543：概率及其应用【分析】根据不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件即可得出答案．【解答】解：抛一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，“抛一枚硬币，正面朝上”这一事件是随机事件．故选：．【点评】本题主要考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（3分）（2018秋•东莞市期末）下列格点，在反比例函数图象上的是A． B． C． D．【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征【专题】534：反比例函数及其应用【分析】在反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标的乘积为6，即可判断；【解答】解：反在比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标的乘积为6，在上，故选：．【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上的点的横坐标与纵坐标的乘积为定值．5．（3分）（2018秋•东莞市期末）两个三角形的相似比是，则其面积之比是A． B． C． D．【考点】：相似三角形的性质【专题】552：三角形【分析】由两个相似三角形，其相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：因为两个三角形的相似比是，则其面积之比是；故选：．【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．6．（3分）（2018秋•东莞市期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是A． B． C． D．【考点】：根的判别式【专题】45：判别式法【分析】根据方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．【解答】解：关于的方程有两个不相等的实数根，△，解得：．故选：．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．7．（3分）（2018秋•东莞市期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是A． B． C． D．【考点】：关于原点对称的点的坐标【专题】531：平面直角坐标系【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是：．故选：．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．8．（3分）（2018秋•东莞市期末）如图所示，中堂中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，水柱喷出的竖直高度与水平距离满足，则水柱的最大高度是A．2 B．4 C．6 D．【考点】：二次函数的应用【专题】536：二次函数的应用【分析】直接利用二次函数最值求法得出答案．【解答】解：抛物线形水柱，其解析式为，水柱的最大高度是：6．故选：．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确理解二次函数顶点坐标的意义是解题关键．9．（3分）（2018秋•东莞市期末）如图，为的直径，，两点在圆上，，则的度数等于A． B． C． D．【考点】：圆周角定理【专题】559：圆的有关概念及性质【分析】连接，为直径，，求出的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数．【解答】解：连接．为直径，，，，在圆内接四边形中，．故选：．【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，作出辅助线是解题的关键．10．（3分）（2017•中山市模拟）如图，是半圆的直径，且，动点从点出发，沿的路径以每秒的速度运动一周．设运动时间为，，则下列图象能大致刻画与的关系的是A． B． C． D．【考点】：动点问题的函数图象【分析】在半径上运动时，；在弧上运动时，；在上运动时，，也是是二次函数；即可得出答案．【解答】解：利用图象可得出：当点在半径上运动时，；在弧上运动时，；在上运动时，．故选：．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，能够结合图形正确得出与时间之间的函数关系是解决问题的关键．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2018秋•东莞市期末）方程的两个根是：0，．【考点】：解一元二次方程因式分解法【专题】523：一元二次方程及应用【分析】直接利用提取公因式法分解因式解方程即可．【解答】解：，解得：，．故答案为：0，2．【点评】此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．12．（4分）（2019•建湖县二模）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则的值约为12．【考点】：利用频率估计概率【专题】543：概率及其应用【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在左右得到比例关系，列出方程求解即可．【解答】解：由题意可得，，解得．经检验：是原分式方程的解，所以的值约为12，故答案为：12．【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．13．（4分）（2018秋•东莞市期末）抛物线向上平移2个单位后所得的抛物线表达式是．【考点】：二次函数图象与几何变换【分析】求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可．【解答】解：抛物线向上平移2个单位后的顶点坐标为，所得抛物线的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便．14．（4分）（2018•郫都区模拟）如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的大小为．【考点】：旋转的性质【专题】1：常规题型【分析】根据旋转的性质可得出、，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解．【解答】解：根据旋转的性质，可得：，，．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出的度数是解题的关键．15．（4分）（2018秋•东莞市期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若，则2.5．【考点】：坐标与图形性质；：位似变换【专题】11：计算题【分析】利用以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或得到位似比为，然后根据相似的性质计算的长．【解答】解：，，，与位似，原点是位似中心，．故答案为2.5．【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．16．（4分）（2010•仙桃）如图，等腰的直角边长为4，以为圆心，直角边为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧，，围成的阴影部分的面积为，然后以为圆心，为半径作弧，交斜边于点，于点，设弧，，围成的阴影部分的面积为，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积．【考点】：扇形面积的计算【专题】16：压轴题；：规律型【分析】每一个阴影部分的面积都等于扇形的面积减去等腰直角三角形的面积．此题的关键是求得、的长．根据等腰直角三角形的性质即可求解．【解答】解：根据题意，得．所以．所以．所以．所以阴影部分的面积．【点评】此题综合运用了等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式．三、解答题（-）（共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）（2018秋•东莞市期末）计算：【考点】：零指数幂；：实数的运算；：负整数指数幂【专题】511：实数【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（6分）（2018秋•东莞市期末）先化简，再求值：，当时，求代数式的值．【考点】：分式的化简求值【专题】11：计算题；513：分式【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．【解答】解：原式，当时，原式．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌分式的混合运算顺序和运算法则．19．（6分）（2018秋•东莞市期末）如图在中，是半径，．（1）用直尺和圆规作的垂直平分线，交于点，交于点、（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在第（1）问的基础上，求线段的长度．【考点】：线段垂直平分线的性质；：勾股定理；：作图复杂作图；：垂径定理【专题】13：作图题；：尺规作图【分析】（1）根据线段中垂线的尺规作图即可得；（2）由中垂线知，利用勾股定理求得的长，根据垂径定理即可得出答案．【解答】解：（1）如图所示，直线即为所求．（2）垂直平分，且，，则，．【点评】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的尺规作图和垂径定理．四.解答题（二）（共3小题每小题7分，共21分）20．（7分）（2018•甘肃模拟）2018年2月16日，由著名导演林超贤的电影《红海行动》在各大影院上映后，好评不断，小亮和小丽都想去观看这部电影，但是只有一张电影票，于是他们决定采用摸球的办法决定谁去看电影，规则如下：在一个不透明的袋子中装有编号的四个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字，若两次数字之和大于5，则小亮获胜，若两次数字之和小于5，则小丽获胜．（1）请用列表或画树状图的方法表示出两数和的所有可能的结果；（2）分别求出小亮和小丽获胜的概率．【考点】：列表法与树状图法【专题】11：计算题；543：概率及其应用【分析】（1）利用树状图展示所有16种等可能的等可能的结果数；（2）找出次数字之和大于5的结果数和两次数字之和小于5的结果数，然后根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）画树状图为：共有16种等可能的结果数；（2）因为两次数字之和大于5的结果数为6，所以小亮获胜的概率，因为两次数字之和小于5的结果数为6，所以小丽获胜的概率，【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．21．（7分）（2018秋•东莞市期末）从甲地到乙地的火车原来的平均速度是100千米每小时，经过两次提速后平均速度为121千米每小时，这两次提速的百分率相同．（1）求该火车每次提速的百分率；（2）若甲乙两地铁路长220千米，求第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用了多少小时．【考点】：一元二次方程的应用【专题】523：一元二次方程及应用【分析】（1）设年平均增长率为，根据：原来速度增长率）现在的速度，列出方程求解可得；（2）先求得第一次提速后的速度，然后分别求得原时间和现时间，二者相减即可求得少用时间．【解答】解：（1）设该火车每次提速的百分率为，根据题意得：，解得：或（舍去）答：该火车每次提速的百分比为；（2）第一次提速后火车的平均速度为千米小时，第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用的时间为：（小时）．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．22．（7分）（2018秋•东莞市期末）如图所示，，，，绕点逆时针旋转得到，连接．（1）求证：；（2）连接，求的长．【考点】：旋转的性质；：全等三角形的判定与性质【专题】553：图形的全等；558：平移、旋转与对称【分析】（1）根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）连接，根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：绕点逆时针旋转得到，，，，，，，在与中，，；（2）解：连接，绕点逆时针旋转得到，，，，，，，，，，，．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．五.解答题（三）（共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）（2018秋•东莞市期末）如图，在平面直角坐标系内，函数的图象与反比例函数图象有公共点，点的坐标为，轴，垂足为点．（1）求反比例函数的解析式；（2）点在线段上，若，求线段的长；（3）点为射线上一点，在（2）的条件下，若，求点的坐标．【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题【专题】533：一次函数及其应用；534：反比例函数及其应用【分析】（1）根据在平面直角坐标系内，函数的图象与反比例函数图象有公共点，点的坐标为，可以求得点的坐标，进而求得反比例函数的解析式；（2）根据题意和勾股定理可以求得的长；（3）根据题意可以求得点的坐标，本题得以解决．【解答】解：（1）函数的图象过点，，点的坐标为，反比例函数图象过点，，得，反比例函数的解析式为；（2）设，则，点，轴于点，，，，解得，，，即线段的长是5；（3）设点的坐标为，点，点，点，，，解得，，，点的坐标为，．【点评】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和反比例函数的性质解答．24．（9分）（2018秋•东莞市期末）如图1，圆内接四边形，，是的直径．（1）求证：；（2）如图2，连接，作，交的延长线于点，若，，求的长；（3）如图3，延长使得，是的直径，连接，若，求证：是的切线．【考点】：圆的综合题【专题】11：计算题；55：几何图形；31：数形结合；14：证明题【分析】（1）由弧弧，根据同弧让所对的圆周角相等得得；（2）由得且；从而得到，根据相似比得出结果；（3）要证是的切线，只须证出即可，作出辅助线是本题的关键．【解答】解：（1）证明：圆内接四边形，，弧弧，（2）由（1）知，，且（3）作于，四边形是矩形，，，又是的直径，是的切线．【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，在第三问中，作出辅助线是本题的关键．25．（9分）（2018秋•东莞市期末）如图，在正方形中，点在对角线上，交于点，连接．（1）如图1，若，，求的长；（2）如图2．连接，交于点，若，求线段的长；（3）如图3，连接，，设，的面积为，请用的表达式表示，并求出的最大值；当取得最大值时，连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，与交于点，连接，求证：．【考点】：四边形综合题【专题】556：矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称【分析】（1）由正方形的性质可得，，，由平行线性质可得，，可得，，由勾股定理可求的长；（2）由题意可得，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，可得，由勾股定理可求的长；（3）由三角形面积公式可求，由二次函数性质可得时，取得最大值，即点是中点，由旋转的性质和直角三角形的性质可证四边形是矩形，可证．【解答】解：（1）四边形是正方形，，，，，（2），，，在中，，，，（不合题意舍去）（3）如图，过点作于，当时，最大值为，，，，，，，旋转，，又，，，，，且四边形是平行四边形，四边形是矩形【点评】本题是四边形综合题，正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，旋转的性质，二次函数的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

考点卡片1．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．2．分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【规律方法】分式化简求值时需注意的问题1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．3．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．4．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．5．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．6．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．7．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．8．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．9．动点问题的函数图象函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．10．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．11．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点．12．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．14．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．15．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．16．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a，b及c．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．17．四边形综合题四边形综合题．18．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．19．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．20．扇形面积的计算（1）圆面积公式：S＝πr2（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长）（4）求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．21．圆的综合题圆的综合题．22．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．23．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．24．旋转的性质（1）旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．（2）旋转三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．25．中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心