2018-2019学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2018-2019学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．（3分）（2012•聊城）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件2．（3分）（2018•河南）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是A． B． C． D．3．（3分）（2002•宁夏）当时，函数的图象在A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限4．（3分）（2015•长沙模拟）下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正六边形5．（3分）（2012•哈尔滨）在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到不合格产品的概率是A． B． C． D．6．（3分）（2018秋•黄埔区期末）已知点在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是A． B． C． D．7．（3分）（2018秋•黄埔区期末）如图，的半径为5，圆心到弦的距离为3，则的长为A．4 B．5 C．6 D．88．（3分）（2011•无锡）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是A． B． C． D．9．（3分）（2013•晋江市）若反比例函数的图象上有两点和，那么A． B． C． D．10．（3分）（2013•衢州）抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则、的值为A．， B．， C．， D．，二、填空题（本大题共6小题，每小3分，满分18分．)11．（3分）（2018秋•黄埔区期末）圆的半径为，如果圆心到直线的距离为，那么直线与圆有公共点的个数是．12．（3分）（2018秋•黄埔区期末）函数取得最小值时，．13．（3分）（2019•徐州）方程的解是．14．（3分）（2018秋•黄埔区期末）若抛物线的对称轴是直线，则的值是．15．（3分）（2018•郑州一模）若点、在同一个反比例函数的图象上，则的值为．16．（3分）（2018秋•黄埔区期末）在中，，，，则内切圆的面积为．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．（9分）（2009•武汉）解方程：．18．（9分）（2018秋•黄埔区期末）如图1，已知三个顶点的坐标分别是，，．（1）画出关于轴对称的△，并写出点，，的坐标；（2）画出绕点逆时针旋转所得到的△．19．（10分）（2018秋•黄埔区期末）某种商品的标价为400元件，经过两次降价后的价格为324元件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？20．（10分）（2018•北塔区模拟）已知反比例函数为常数，．（1）其图象与正比例函数的图象的一个交点为点，若点的纵坐标是2，求的值；（2）若在其图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围；（3）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点，、，，当时，试比较与的大小．21．（12分）（2019•杭州模拟）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要通过抽签从中选出两位同学打第一场比赛．（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．22．（12分）（2014•滨州）已知二次函数．（1）用配方法求其图象的顶点的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与轴的交点，的坐标，及的面积．23．（12分）（2014•呼伦贝尔）如图，在中，以为直径的交于点，弦交于点，且，，．（1）求证：是的切线；（2）求的半径．24．（14分）（2018秋•黄埔区期末）如图，已知内接于，是的直径，点在上，且满足，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．25．（14分）（2018秋•黄埔区期末）如图，已知正方形的顶点与正方形的中心重合，若正方形绕点旋转．（1）探究：在旋转的过程中线段与线段有什么数量关系及位置关系？证明你的结论；（2）若正方形的边长为，探究：在旋转过程中四边形的面积是否发生变化？若不变化求其面积，若变化指出变化过程．

2018-2019学年广东省广州市黄埔区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．（3分）（2012•聊城）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件【考点】：随机事件【分析】根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断．【解答】解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．故选：．【点评】本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单．2．（3分）（2018•河南）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是A． B． C． D．【考点】：根的判别式【专题】11：计算题【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【解答】解：、△，方程有两个相等实数根；、△两个不相等实数根；、△，方程无实根；、，则方程无实根；故选：．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△时，方程有两个相等的两个实数根；③当△时，方程无实数根．3．（3分）（2002•宁夏）当时，函数的图象在A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限【考点】：反比例函数的性质【分析】根据反比例函数图象的性质可得．，时图象是位于第二象限．【解答】解：因，所以函数的图象在二、四象限，又时，函数的图象在第二象限．故选：．【点评】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）时，图象是位于一、三象限．（2）时，图象是位于二、四象限．4．（3分）（2015•长沙模拟）下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A．等边三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正六边形【考点】：轴对称图形；：中心对称图形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选：．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（3分）（2012•哈尔滨）在10个外观相同的产品中，有2个不合格产品，现从中任意抽取1个进行检测，抽到不合格产品的概率是A． B． C． D．【考点】：概率公式【分析】根据不合格品件数与产品的总件数比值即可解答．【解答】解：从中任意抽取一件检验，则抽到不合格产品的概率是．故选：．【点评】本题主要考查概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）．6．（3分）（2018秋•黄埔区期末）已知点在双曲线上，则下列各点一定在该双曲线上的是A． B． C． D．【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即进行分析即可．【解答】解：在双曲线上，，、，故此点一定在该双曲线上；、，故此点一定不在该双曲线上；、，故此点一定不在该双曲线上；、，故此点一定不在该双曲线上；故选：．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握凡是反比例函数经过的点横纵坐标的积是定值．7．（3分）（2018秋•黄埔区期末）如图，的半径为5，圆心到弦的距离为3，则的长为A．4 B．5 C．6 D．8【考点】：勾股定理；：垂径定理【专题】11：计算题【分析】过作于，连接，关键勾股定理求出长，根据垂径定理得出，代入求出即可．【解答】解：过作于，连接，则，，由勾股定理得：，，过圆心，，故选：．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理等知识点的应用，关键是①正确作辅助线，②求出的长，题目比较典型，难度不大．8．（3分）（2011•无锡）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积是A． B． C． D．【考点】：圆锥的计算【分析】圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解．【解答】解：圆锥的侧面积，故选：．【点评】本题考查圆锥侧面积的求法．9．（3分）（2013•晋江市）若反比例函数的图象上有两点和，那么A． B． C． D．【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征【分析】根据反比例函数图象的增减性做出正确的判定．【解答】解：反比例函数解析式中的，该反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内的值随的增大而减小．又点和都位于第一象限，且，．故选：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．反比例函数图象上点的坐标都满足该函数解析式．10．（3分）（2013•衢州）抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则、的值为A．， B．， C．， D．，【考点】：二次函数图象与几何变换【分析】先确定出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后写出平移前的抛物线的顶点式形式，然后整理成一般形式，即可得到、的值．【解答】解：函数的顶点坐标为，是向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到，，，平移前的抛物线的顶点坐标为，平移前的抛物线为，即，，．故选：．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．二、填空题（本大题共6小题，每小3分，满分18分．)11．（3分）（2018秋•黄埔区期末）圆的半径为，如果圆心到直线的距离为，那么直线与圆有公共点的个数是2．【考点】：直线与圆的位置关系【专题】：与圆有关的位置关系【分析】直接根据直线到圆心的距离与半径之间的数量关系确定位置关系后，再判断公共点的个数．【解答】解：圆的半径为，圆心到一条直线的距离是，，即半径大于圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系是相交，即直线与圆有2个交点．故答案为：2【点评】此题考查直线和圆的位置关系，直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断．若圆心到直线的距离是，半径是，则①，直线和圆相离，没有交点；②，直线和圆相切，有一个交点；③，直线和圆相交，有两个交点．12．（3分）（2018秋•黄埔区期末）函数取得最小值时，2．【考点】：二次函数的最值【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】求开口向上的抛物线的最小值即求其定点的纵坐标，再由二次函数的顶点式解答即可．【解答】解：二次函数，当时，二次函数求得最小值为1．故答案为：2．【点评】本题考查二次函数的最值问题，二次函数是初中数学最重要的考点之一，掌握其顶点公式是解决问题的关键．13．（3分）（2019•徐州）方程的解是．【考点】：解一元二次方程直接开平方法【分析】首先把4移项，再利用直接开平方法解方程即可．【解答】解：，移项得：，两边直接开平方得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．14．（3分）（2018秋•黄埔区期末）若抛物线的对称轴是直线，则的值是．【考点】：二次函数的性质【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】根据的顶点坐标公式，求对称轴，即可求出的值．【解答】解：抛物线的对称轴是直线，，解得，，故答案为．【点评】本题主要考查二次函数的性质，解此题的关键是对二次函数的性质的理解和掌握，知对称轴．15．（3分）（2018•郑州一模）若点、在同一个反比例函数的图象上，则的值为6．【考点】：反比例函数图象上点的坐标特征【专题】11：计算题【分析】设反比例函数解析式为，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于的方程即可．【解答】解：设反比例函数解析式为，根据题意得，解得．故答案为6．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．16．（3分）（2018秋•黄埔区期末）在中，，，，则内切圆的面积为．【考点】：三角形的内切圆与内心【专题】：与圆有关的计算【分析】先利用勾股定理计算出的长，再利用直角三角形内切圆的半径的计算方法求出的内切圆的半径，然后根据圆面积公式即可得出结果．【解答】解：，，，，的内切圆的半径，内切圆的面积；故答案为：．【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理以及圆面积公式；记住直角三角形内切圆半径的计算方法是解决问题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．（9分）（2009•武汉）解方程：．【考点】：解一元二次方程公式法【专题】11：计算题【分析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定，，的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．【解答】解：，，，，，．【点评】此题考查了学生的计算能力，解题的关键是准确应用公式．18．（9分）（2018秋•黄埔区期末）如图1，已知三个顶点的坐标分别是，，．（1）画出关于轴对称的△，并写出点，，的坐标；（2）画出绕点逆时针旋转所得到的△．【考点】：作图旋转变换；：作图轴对称变换【专题】13：作图题【分析】（1）根据题意画出即可；关于轴对称点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数；（2）根据网格结构找出点、、以点为旋转中心逆时针旋转后的对应点，然后顺次连接即可．【解答】解：（1）如图所示：，，；（2）如图所示：【点评】本题考查了利用轴对称、旋转变换作图等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．19．（10分）（2018秋•黄埔区期末）某种商品的标价为400元件，经过两次降价后的价格为324元件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？【考点】：一元一次不等式的应用；：一元二次方程的应用【专题】524：一元一次不等式（组及应用；523：一元二次方程及应用【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为，根据“两次降价后的售价原价降价百分比）的平方”，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可得出结论；（2）设第一次降价后售出该种商品件，则第二次降价后售出该种商品件，根据“总利润第一次降价后的单件利润销售数量第二次降价后的单件利润销售数量”，即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：（1）设该种商品每次降价的百分率为，依题意得：，解得：，或（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为．（2）设第一次降价后售出该种商品件，则第二次降价后售出该种商品件，第一次降价后的单件利润为：（元件）；第二次降价后的单件利润为：（元件）．依题意得：，解得：．答：为使两次降价销售的总利润不少于3120元．第一次降价后至少要售出该种商品20件．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系得出关于的一元二次方程；（2）根据数量关系得出关于的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出不等式（方程或方程组）是关键．20．（10分）（2018•北塔区模拟）已知反比例函数为常数，．（1）其图象与正比例函数的图象的一个交点为点，若点的纵坐标是2，求的值；（2）若在其图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围；（3）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点，、，，当时，试比较与的大小．【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题【专题】534：反比例函数及其应用【分析】（1）设点的坐标为，由点在正比例函数的图象上可求出的值，进而得出点坐标，再根据点在反比例函数的图象上，所以，解得；（2）由于在反比例函数图象的每一支上，随的增大而减小，故，求出的取值范围即可；（3）反比例函数图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，随的增大而增大，所以，与点，在该函数的第二象限的图象上，且，故可知；【解答】解：（1）由题意，设点的坐标为点在正比例函数的图象上，，即．点的坐标为．点在反比例函数的图象上，，解得．（2）在反比例函数图象的每一支上，随的增大而减小，，解得．（3）反比例函数图象的一支位于第二象限，在该函数图象的每一支上，随的增大而增大．点，与点，在该函数的第二象限的图象上，且，．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．21．（12分）（2019•杭州模拟）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要通过抽签从中选出两位同学打第一场比赛．（1）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率；（2）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率．【考点】：列表法与树状图法【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案；（2）由甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场，再从其余的三位同学中随机选取一位，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙两位同学的只有2种情况，恰好选中甲、乙两位同学的概率为；（2）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，确定甲打第一场，再从其余的三位同学中随机选取一位，恰好选到乙的概率是：．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．22．（12分）（2014•滨州）已知二次函数．（1）用配方法求其图象的顶点的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与轴的交点，的坐标，及的面积．【考点】：二次函数的性质；：二次函数的三种形式；：抛物线与轴的交点【专题】31：数形结合【分析】（1）配方后求出顶点坐标即可；（2）求出、的坐标，根据坐标求出、，根据三角形面积公式求出即可．【解答】解：（1），所以顶点的坐标是，当时，随的增大而减少；当时，随的增大而增大；（2）解方程得：，，即点的坐标是，点的坐标是，过作于，，，．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．23．（12分）（2014•呼伦贝尔）如图，在中，以为直径的交于点，弦交于点，且，，．（1）求证：是的切线；（2）求的半径．【考点】：勾股定理；：切线的判定【专题】14：证明题【分析】（1）在中，由于，根据勾股定理的逆定理得到，由于，根据平行线的性质得，然后根据切线的判定定理即可得到是的切线；（2）连接，如图，设的半径是，在中，，，，根据勾股定理得到，然后解方程即可得到的半径．【解答】（1）证明：在中，，，，，是直角三角形，，又，，，而为直径，是的切线；（2）解：连接，如图，设的半径是，在中，，，，，，解得即的半径为．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．24．（14分）（2018秋•黄埔区期末）如图，已知内接于，是的直径，点在上，且满足，过点作的切线交的延长线于点，交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．【考点】：垂径定理；：切线的性质；：圆周角定理【专题】559：圆的有关概念及性质；14：证明题【分析】（1）首先连接，由，，易证得，又由切于点，易证得；（2）由是的直径，可得是直角三角形，易得为直角三角形，根据求得的长，然后连接，可得为等边三角形，知，在中，利用已知条件求得答案．【解答】（1）证明：连接，，，，，，，切于点，，；（2）解：是的直径，是直角三角形，，，为直角三角形，，，连接，，，为等边三角形，，在中，，，，．【点评】此题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．25．（14分）（2018秋•黄埔区期末）如图，已知正方形的顶点与正方形的中心重合，若正方形绕点旋转．（1）探究：在旋转的过程中线段与线段有什么数量关系及位置关系？证明你的结论；（2）若正方形的边长为，探究：在旋转过程中四边形的面积是否发生变化？若不变化求其面积，若变化指出变化过程．【考点】：旋转的性质；：正方形的性质【专题】：探究型；553：图形的全等【分析】（1）连接、，延长交于点，交于点，证明，得到，再证明即可；（2）证明，说明四边形的面积面积面积面积面积面积．【解答】解：（1），，理由如下：连接、，延长交于点，交于点，是正方形的中心，．，，．又，．，．，，，即，所以．（2）在旋转过程中四边形的面积不发生变化，理由如下：在和中四边形的面积面积面积面积面积面积．面积．所以在旋转过程中四边形的面积不发生变化．【点评】本题主要考查旋转性质和正方形的性质、全等三角形的判定和性质．

考点卡片1．解一元二次方程-直接开平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．2．解一元二次方程-公式法（1）把x＝﹣b±b2﹣4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．3．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．5．一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．6．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．7．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．8．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点．9．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．10．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．11．二次函数的最值（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y．（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y．（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．12．二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．13．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．14．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a，b及c．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．15．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．16．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．17．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．18．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．19．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．20．切线的判定（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．21．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．22．圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的