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杭州技师学院高等数学（上）第一节定积分概念第四章函数积分第1页第一节定积分概念和性质在我国古代南北朝（公元429—500年）时，南朝科学家祖冲之利用逐步增加圆内多边形边数，算出正多边形面积，迫近对应圆面积，得到了π近似值.在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采取以下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三角形，分别计算各个三角形面积，然后求和，得到任意多边形面积。第2页阿基米德利用这种方法，求得抛物线与

x轴及直线x=1所围成平面图形面积近似值.就是说，在计算复杂图形面积时，能够先将它划分为若干个轻易算得面积小块，并分别求出各小块图形面积，然后求和，即得到原图形面积近似值（边界限为直线时，可得准确值）.假如在上述方法中引入极限过程,会产生什么效果?第3页曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边直线至多有一个交点（这里不排除某线短缩成一点）.1.曲边梯形一.曲边梯形面积第4页2.求曲边梯形面积首先，我们重复阿基米德做法：

分割—代替—求和得到曲边梯形近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形准确值.第5页第一步：分割任意引入分点称为区间一个分法T第6页第二步：代替对每个小曲边梯形均作上述代替第7页第三步：求和第8页第四步：取极限第9页第10页任意引入分点二.定积分定义第11页被积函数被积表示式积分变量积分上限积分下限积分和第12页定积分符号：第13页不定积分与定积分是两个不一样概念.第14页关于定积分定义几点说明第15页第16页例：求（利用定义）解：因为，所以存在将n等分，，，第17页因为定积分是一个和式极限,所以极限一些性质在定积分中将有所反应.在以下叙述中,假设所出现函数均可积,所出现定积分均存在.三.定积分性质第18页证第19页证由定积分定义及极限运算性质：能够推广至有限个可积函数情形.第20页证第21页证(小于零情形类似.)由极限保号性马上可知.第22页第23页代数和第24页证

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