直线和平面垂直的判定高中数学人教必修二省名师优质课获奖课件市赛课一等奖课件

2.3.1直线与平面垂直判定第1页生活中有很多直线与平面垂直实例，你能举出几个吗？实例引入旗杆与底面垂直第2页桥柱与水面位置关系，给人以直线与平面垂直形象.第3页思索1.阳光下直立于地面旗杆及它在地面影子有何位置关系.ABα1.旗杆所在直线一直与影子所在直线垂直.第4页第5页请同学们准备一块三角形纸片，我们一起来做如图所示试验：过△ABC顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后纸片竖起放置在桌上（BD、DC与桌面接触）.ABCD第6页思索3

(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)怎样翻折才能确保折痕AD与桌面所在平面垂直？当折痕AD⊥BC时,折痕AD与桌面所在平面垂直.第7页BDCABD,CD都在桌面内，BD∩CD=D，AD⊥CD,AD⊥BD,直线AD所在直线与桌面垂直mnP第8页假如直线l与平面内任意一条直线都垂直，我们说直线l与平面相互垂直，记作．平面垂线直线l垂面垂足定义直线与平面垂直第9页对定义认识①“任何”表示全部.②直线与平面垂直是直线与平面相交一个特殊情况，在垂直时，直线与平面交点叫做垂足.③

等价于对任意直线，都有利用定义，我们得到了判定线面垂直最基本方法，同时也得到了线面垂直最基本性质.第10页问题直线与平面垂直除定义外，怎样判断一条直线与平面垂直呢？第11页判定定理:一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．作用：判定直线与平面垂直．直线与平面垂直判定定理简记为：线线垂直线面垂直“平面内”，“相交”，“垂直”三个条件必不可少第12页如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件时，？底面四边形对角线相互垂直．探究随堂练习第13页线面垂直判定定理应用

例1：已知：如图1，空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，取BC中点E，连接AE、DE，求证：BC⊥平面AED.图1

证实：∵AB＝AC，DB＝DC，E为BC中点， ∴AE⊥BC，DE⊥BC.

又∵AE与DE交于E，∴BC⊥平面AED.由判定定理可知要证实直线垂直平面，只需证实直线与平面内任意两条相交直线垂直即可．第14页例2:如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是对角线AC与BD交点，且PA=PC,PB=PD.求证：PO⊥平面ABCDCABDOP

=ABCDPOOBDAC平面又^\IQBDPOBDOPDPB中点是点又^\=Q,ACPOACOPCPA中点是点证实^\=Q,第15页PABCO3.如图，圆O所在一平面为，AB是圆O直径，C在圆周上,且PAAC,PAAB,求证：（1）PABC（2）BC平面PAC第16页证实：∵PA⊥⊙O所在平面，BC⊂⊙O所在平面，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O直径，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC,PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.

例3：如图6，已知PA⊥⊙O所在平面，AB为⊙O直径，C是圆周上任一点，过A作AE⊥PC于E， 求证：AE⊥平面PBC. 图6第17页例1如图，已知，求证依据直线与平面垂直定义知又因为所以又是两条相交直线，所以证实：在平面内作两条相交直线m，n．因为直线，经典例题即：假如两条平行直线中一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面A第18页VABC.DVA=VC，AB=BC,ABCV-求证:VB⊥AC.中，在三棱锥1.如图，练习：提醒：找AC中点D,连接VD,BD第19页中外垂第20页4－1.P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上射影．(1)若PA＝PB＝PC，则O是△ABC_____；(2)若PA⊥BC，PB⊥AC，则O是△ABC_____；(3)若P到△ABC三边距离相等，且O在△ABC内部，则O是△ABC______；(4)若PA、PB、PC两两相互垂直，则O是△ABC_____．外心垂心内心垂心第21页

解析：(1)如图23，∵PO⊥平面ABC， ∴PA、PB、PC在平面ABC上射影分别是OA、OB、OC.又∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O是△

ABC外心．图23图24(2)如图24，∵PO⊥平面ABC，∴PA在平面ABC上射影是OA.∵BC⊥PA，∴BC⊥OA.同理可证AC⊥OB，∴O是△

ABC垂心．故填垂心．第22页(3)如图25，图25P到△

ABC三边距离分别是PD、PE、PF，则PD＝PE＝PF.∵PO⊥平面ABC，∴PD、PE、PF在平面ABC上射影分别是OD、OE、OF.∴OD＝OE＝OF，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴O是△

ABC内心，故填内心．第23页∵PO⊥平面ABC，∴OA是PA在平面ABC上射影．又∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.∴OA⊥BC.同理可证OB⊥AC.∴O是△

ABC垂心．故填垂心．(4)如图26，图26第24页直线与平面垂直性质定理简单应用例1：如图

，在四面体P－ABC中，若PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB.PABC第25页思维突破：要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面垂直定义得出线线垂直．证实：过P作PH⊥平面ABC，垂足为H，连接AH、BH和CH.∵PA⊥BC,PH⊥BC，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH.又AH⊂平面PAH，∴BC⊥AH.同理AC⊥BH，即H为△ABC垂心，∴AB⊥CH.∵PH⊥AB，CH∩PH＝H，∴AB⊥平面PCH.∵PC⊂平面PCH，∴PC⊥AB.点评：从本例能够深入体会线面位置关系相互转化在解(证)题中作用．第26页1.已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC异面体对角线.求证：AC⊥BD′ABDCA′B′CD′′第27页∵正方体ABCD-A′B′C′D′∴DD′⊥正方形ABCD证实：连接BDABDCA′B′C′D′∵AC、BD为对角线∴AC⊥BD∵DD′∩BD=D∴AC⊥平面D′DB且BD′⊂面D′DB∴AC⊥BD′第28页(1)自一点P向平面α引垂线，垂足P/叫做点P在平面α内正射影(射影)(2)点P与垂足P/间线段叫点P到平面α垂线段(3)假如图形F上全部点在一平面内射影组成图形F/，则F/叫做图形F在这个平面内射影几个概念第29页aAPoα一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫这个平面斜线，斜线和平面交点叫斜足，斜线上一点和斜足间线段叫这点到这个平面斜线段．

平面外一点到这个平面垂线段有且只有一条，而这点到这个平面斜线段有没有数条斜线与斜线段第30页从斜线上斜足以外一点向平面引垂线，过垂足和斜足直线叫斜线在这个平面内射影．垂足和斜足间线段叫这点到平面斜线段在这个平面上射影斜线在平面内射影第31页平面一条斜线和它在这个平面内射影所成夹角，叫做斜线和平面所成角(或斜线和平面夹角).简称线面角斜线和平面所成角第32页斜线和平面所成角1、直线和平面垂直<＝>直线和平面所成角是直角直线和平面平行或在平面内<＝>直线和平面所成角是0°2、直线与平面所成角θ取值范围是：___________斜线与平面所成角θ取值范围是：______________第33页OPAα斜线斜足线面所成角（锐角∠PAO）射影关键：过斜线上一点作平面垂线线面所成角第34页1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:（1）A1C1与面ABCD所成角（2）A1C1与面BB1D1D所成角（3）A1C1与面BB1C1C所成角（4）A1C1与面ABC1D1所成角A1D1C1B1ADCB45o第35页经典例题例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成角O第36页第37页例2：如图

4，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成角．图4解：连接BC1交B1C于O，连接A1O，在正方体ABCD－A1B1C1D1

中各个面为正方形，设其棱长为a.第38页⇒A1O为A1B在平面A1B1CD内射影⇒∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成角．⇒A1B与平面A1B1CD所成角为30°.第39页

求直线和平面所成角时，应注意问题是：(1)先判断直线和平面位置关系．(2)当直线和平面斜交时，常有以下步骤：①作——作出或找到斜线与射影所成角；②证——论证所作或找到角为所求角；③算——惯用解三角形方法求角；④结论——说明斜线和平面所成角值．第40页图5

2－1.如图5，在长方体ABCD－A1B1C1D1

中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1

与平面A1B1C1D1

所成角正弦值为(

)第41页A2－2.若斜线段AB是它在平面α内射影长2倍，则AB与α所成角为()A．60°B．45°C．30°D．120°答案：D

解析：如图22，连接A1C1

，则∠AC1A1

为AC1

与平面A1B1C1D1

所成角．图22第42页1．直线与平面垂直概念（1）利用定义；（2）利用判定定理．3．数学思想