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文档简介

恰当方程（全微分方程）

一、概念

二、全微分方程解法第1页第2页

一、概念若有全微分形式则称为全微分方程。定义:例1：所以是全微分方程.方程是否为全微分方程？解：通解则为（C为任意常数）。第3页第4页问题:（1）怎样判断全微分方程？（2）怎样求解全微分方程？（3）怎样转化为全微分方程？定理1设函数

和

在一个矩形区域是全微分方程中连续且有连续一阶偏导数，则

（1）证实必要性

证实：

因为是全微分方程，第5页则存在原函数，使得

所以

将以上二式分别对求偏导数，得到

又因为偏导数连续，

，即

所以

第6页（2）证实充分性

设

，求一个二元函数使它满足

即由第一个等式，应有

代入第二个等式，应有

这里第7页所以，则所以能够取此时

这里因为，故曲线积分与路径无关。所以第8页

二、全微分方程解法(1)线积分法:或(2)偏积分法第一个等式对积分

第9页代入第二个等式求

，即可得

(3)凑微分法直接凑微分得

例2：验证方程是全微分方程，并求它通解。因为

解：第10页所以方程为全微分方程。(1)线积分法:故通解为第11页(2)偏积分法:假设所求全微分函数为,则有代入可得所以从而即第12页(3)凑微分法:因为

方程通解为：依据二元函数微分经验,原方程可写为第13页例3：验证方程是全微分方程，并求它通解。

因为

解：

所以方程为全微分方程。(1)线积分法:第14页故通解为(2)偏积分法:假设所求全微分函数为,则有

所以从而即第15页(3)凑微分法:方程通解为：依据二元函数微分经验,原方程可写为练习：验证方程是全微分方程，并求它通解。方程通解为：

第16页积分因子法

一、概念

二、积分因子求法第17页一、定义:0),(¹yxm连续可微函数，使方程0),(),(),(),(=m+mdyyxQyxdxyxPyx成为全.微分方程则称),(yxm为方程积分因子.例1验证是方程积分因子，并求方程通解。

解：是全微分方程。方程通解为第18页1.公式法:求解不轻易特殊地:(两边同除)a.当只与相关时，

二、积分因子求法第19页b.当只与相关时，第20页2.观察法:凭观察凑微分得到常见全微分表示式第21页普通可选取积分因子有等。可选取积分因子有可选取积分因子有第22页例2解则原方程成为.通解求微分方程1.公式法:原方程通解为第23页2.观察法:将方程左端

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