高等数学对弧长的曲线积分教案

PAGEPAGE4时间月日星期课题§11.1对弧长的曲线积分教学目的使学生对弧长的曲线积分的定义与计算。教学重点对弧长的曲线积分的计算。教学难点对弧长的曲线积分的计算。课型专业基础课教法选择讲授教学过程教法运用及板书要点我们已经把定积分的概念推广到了重积分，被积函数是二元函数或三元函数，积分区域是平面区域或空间区域，积分概念还可以推广到曲线积分和曲面积分。本章将介绍曲线积分、曲面积分的概念、应用、计算方法，以及它们和重积分之间的联系。一、对弧长的曲线积分的概念与性质金属曲线的质量设有一有限长的金属曲线C，其上不均匀地分布着质量，因此金属曲线C的线密度是变量。设其在xOy面内的一段曲线弧L它的端点是A,B,在L上任一点处，它的线密度为，现在要计算这金属曲线C的质量M.把曲线分成n小段,s1,s2,,sn(si也表示弧长);任取(xi,hi)si,得第i小段质量的近似值，于是整个物质曲线的质量近似为;令l=max{s1,s2,,sn}0,则整个物质曲线的质量为.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧,函数f(x,y)在L上有界.在L上任意插入一点列A1,A2,,An1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为si,又(xi,hi)为第i个小段上任意取定的一点,作乘积f(xi,hi)si,(i=1,2,,n),并作和,如果当各小弧段的长度的最大值l0,这和式的极限总存在,则称此极限为函数在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作,即.其中叫做被积函数,L叫做积分弧段.曲线积分的存在性:当在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分是存在的.以后我们总假定在L上是连续的.根据对弧长的曲线积分的定义,曲线C的质量就是曲线积分的值,其中(x,y)为线密度.对弧长的曲线积分的推广到积分弧段为空间曲线的情况:.如果L(或)是分段光滑的则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定.闭曲线积分:如果L是闭曲线,那么函数在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作.对弧长的曲线积分的性质:性质1设c1、c2为常数则;性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2则性质3设在L上f(xy)g(xy)则特别地有二、对弧长的曲线积分的计算法若曲线L的参数方程为xj(t),yy(t)(atb),则质量元素为,曲线的质量为.即.定理设在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为其中在[a,b]上具有一阶连续导数,且,则曲线积分存在,且（1）应注意的问题:定积分的下限a一定要小于上限b.讨论:(1)若曲线L的方程为则.（2）(2)若曲线L的方程为则.（3）(3)若曲G的方程为，，则（4）例8.1计算，其中L为椭圆在第一象限的部分。解：由公式：计算,其中L是抛物线y=x2上点与点之间的一段弧.解：由得，由公式（2）可知计算，L为连接三点，，的直线段。解：计算曲线积分,其中G为螺旋线，，的第一圈（上相应于t从0到达2的一段弧.）解：，由（4）式有练习：计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1)解取坐标系如图所示,则.曲线L的参数方程为x=Rcosq,y=Rsinq(-aq<a).于是=R3(a-sinacosa).小结:用曲线积分解决问题的步骤: