线性代数教案12市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件

1.2初等变换与初等矩阵1/27本节内容1.线性方程组同解变换；2.矩阵初等变换；3.初等矩阵；4.用初等行变换求逆矩阵.2/27线性方程组同解变换同解变换，就是变换后线性方程组与原线性方程组同解。初等变换就是线性方程组同解变换。定理：设方程组经过某一初等变换后变为另一个方程组，则新方程组与原方程组同解。（证实看书本第9页）3/27矩阵初等变换定义：以下三种变换称为矩阵初等变换：1.对换矩阵两行（或两列）； 记为2.以任意数乘以矩阵某一行（或列）每个元； 记为3.某一行（或列）每个元乘以同一常数加到另一行（或列）对应元上去.

记为矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为A→B。习惯上在箭头上面写出行变换，下面写出列变换。4/27消元法解线性方程组消元法基本思想是：重复利用同解变换将方程组化为阶梯形状。在消元法求解过程中，只包括到对方程组系数与常数运算。所以只考虑对方程组增广矩阵进行变换即可。而每个方程对应增广矩阵一行，所以对方程组进行同解变换对应于对增广矩阵进行行变换。5/27矩阵初等行变换定义，完全对应着方程组同解变换。所以，对矩阵进行初等行变换使其成为行阶梯形矩阵过程，实际上就是对方程组进行同解变换使其变为行阶梯形状过程。例：解线性方程组6/27消去第一个未知数：第三个方程减去第二个方程2倍消去第二个未知数：第三个方程减去第一个方程3/2倍交换第一个方程和第二个方程位置行阶梯型矩阵7/27变为行阶梯型矩阵之后就得到了原方程组同解方程组。或注意：在对矩阵进行初等变换时，只能进行行变换，不能进行列变换！因为矩阵列变换对应并不是线性方程组同解变换。8/27初等矩阵定义：由单位矩阵I经过一次初等变换矩阵称为初等矩阵。因为初等变换有三种类型，所以对应初等矩阵就有三种类型。（1）对调I两行（或两列）；（2）非零数乘以I中某行（或某列）；（3）某行（或列）若干倍加到另一行（或列）。初等矩阵都是可逆，而且依据逆矩阵定义，轻易验证以上各式。同时，上面等式表明：初等矩阵逆依然是初等矩阵。9/27初等矩阵性质※定理1.2有限个初等矩阵乘积必可逆.※矩阵左乘初等矩阵，相当于对该矩阵进行对应初等行变换；矩阵右乘初等矩阵，相当于对该矩阵进行对应初等列变换；反之亦然。※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到，那么能够记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵乘积※定理1.3可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆.※定理1.4可逆矩阵经过有限次初等行变换能够化为单位矩阵.※定理1.5方阵P为可逆矩阵充要条件是P能够表示为有限个初等矩阵乘积。证实1.3，1.4，1.510/27用初等行变换求逆矩阵原理：可逆矩阵A能够分解为若干初等矩阵乘积， 设 则 上式表明，对矩阵A与I进行相同行变换， 在把A化为单位阵同时，就把I化为了A逆 矩阵。做法：将A与I按照行方向组合成一个大矩阵，对 大矩阵进行行变换，在A部分成为I时候， 原来I部分就成为A逆。11/27例题设，求解：12/27小结本节要求掌握内容1.矩阵初等变换记号，初等矩阵记号；2.初等矩阵性质；3.用初等行变换求逆矩阵.13/27作业P34 1.7（2）（5）

1.1014/27初等变换线性方程组初等变换有三种：1.交换两个方程位置；2.把某个方程两边同乘以一个非零常数；3.将某个方程加上另一个方程k倍.初等变换是可逆，即用同类型变换可将新方程组变为原方程组。注意：变换过程中方程组中方程个数不变。返回15/27交换第i个第j个方程位置返回16/27第i个方程两边同乘以一个非零常数c返回17/27第i个方程加上第j个方程k倍返回18/27对调I中两行（或两列）对调I两行对调I两列返回19/27非零数乘以I中某行（或某列）非零数乘以I行非零数乘以I列返回20/27某行（或列）若干倍加到另一行（或列）返回21/27初等矩阵左乘相当于行变换

初等矩阵右乘相当于列变换22/27返回23/27可逆矩阵用初等行变换可化为单位阵返回第一步：变为行阶梯型矩阵第二步：主对角线元素化为1第三步：消掉对角线之外非零元素24/27矩阵初等变换定义：以下三种变换称为矩阵初等变换：1.对换矩阵两行（或两列）； 记为2.以任意数乘以矩阵某一行（或列）每个元； 记为3.某一行（或列）每个元乘以同一常数加到另一行（或列）对应元上去.

记为矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为A→B。习惯上在箭头上面写出行变换，下面写出列变换。返回25/27初等矩阵性质※定理1.2有限个初等矩阵乘积必可逆.※用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行对应初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该矩阵进行对应初等列变换；反之亦然。※若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到，那么能够记为B＝PAQ，其中P、Q为初等矩阵乘积※定理1.3可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆.※定理1.4可逆矩