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数学学科解析几何微积分概率论复变函数第1页微积分学微积分学是微分学和积分学总称。

客观世界一切事物，小至粒子，大至宇宙，一直都在运动和改变着。所以在数学中引入了变量概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

因为函数概念产生和利用加深，也因为科学技术发展需要，一门新数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中地位是十分主要，能够说它是继欧氏几何后，全部数学中最大一个创造。

第2页微积分学建立

从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，不过，微分和积分思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊阿基米德在研究处理抛物弓形面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体体积问题中，就隐含着近代积分学思想。作为微分学基础极限理论来说，早在古代以有比较清楚叙述。比如我国庄周所著《庄子》一书“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期刘徽在他割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素、也是很经典极限概念。

到了十七世纪，有许多科学问题需要处理，这些问题也就成了促使微积分产生原因。归结起来，大约有四种第3页主要类型问题：第一类是研究运动时候直接出现，也就是求即时速度问题。第二类问题是求曲线切线问题。第三类问题是求函数最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成面积、曲面围成体积、物体重心、一个体积相当大物体作用于另一物体上引力。

十七世纪许多著名数学家、天文学家、物理学家都为处理上述几类问题作了大量研究工作，如法国费尔玛、笛卡儿、罗伯瓦、笛沙格；英国巴罗、瓦里士；德国开普勒；意大利卡瓦列利等人都提出许多很有建树理论。为微积分创建做出了贡献。

十七世纪下半叶，在前人工作基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己国度里独自研究和完成了微积分创建工作，即使这只是十分初第4页步工作。他们最大功劳是把两个貌似毫不相关问题联络在一起，一个是切线问题（微分学中心问题），一个是求积问题（积分学中心问题）。牛顿和莱布尼茨建立微积分出发点是直观无穷小量，所以这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称起源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面连续运动产生，否定了以前自己认为变量是无穷小元素静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出中心问题是：已知连续运动路径，求给定时刻速度（微分法）；已知运动速度求给定时间内经过旅程（积分法）。

第5页德国莱布尼茨是一个博才多学学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早微积分文件，这篇文章有一个很长而且很古怪名字《一个求极大极小和切线新方法，它也适合用于分式和无理量，以及这种新方法奇妙类型计算》。就是这么一片说理也颇含糊文章，却有划时代意义。他以含有当代微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学文件。他是历史上最伟大符号学者之一，他所创设微积分符号，远远优于牛顿符号，这对微积分发展有极大影响。现在我们使用微积分通用符号就是当初莱布尼茨精心选取。

微积分学创建，极大地推进了数学发展，过去很多初等数学束手无策问题，利用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学非凡威力。

第6页前面已经提到，一门科学创建决不是某一个人业绩，他必定是经过多少人努力后，在积累了大量结果基础上，最终由某个人或几个人总结完成。微积分也是这么。

不幸事，因为人们在观赏微积分宏伟功效之余，在提出谁是这门学科创建者时候，竟然引发了一场悍然大波，造成了欧洲大陆数学家和英国数学家长久对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。

其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大致上相近时间里先后完成。比较特殊是牛顿创建微积分要比莱布尼词早左右，不过整是公开发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们研究各有优点，也都各有短处。那时候，因为民族偏见，关于创造优先权争论竟从1699年始延续了一百多年。

第7页应该指出，这是和历史上任何一项重大理论完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨工作也都是很不完善。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限小量；莱布尼茨也不能自圆其说。这些基础方面缺点，最终造成了第二次数学危机产生。

直到１９世纪初，法国科学学院科学家以柯西为首，对微积分理论进行了认真研究，建立了极限理论，後来又经过德国数学家维尔斯特拉斯深入严格化，使极限理论成为了微积分坚定基础。才使微积分深入发展开来。

任何新兴、含有没有量前途科学成就都吸引着广大科学工作者。在微积分历史上也闪烁着这么一些明星：瑞士雅科布·贝努利和他弟兄约翰·贝努利、欧拉、法国拉格朗日、科西……

第8页欧氏几何也好，上古和中世纪代数学也好，都是一个常量数学，微积分才是真正变量数学，是数学中大革命。微积分是高等数学主要分支，不只是局限在处理力学中变速问题，它驰骋在近代和当代科学技术园地里，建立了数不清丰功伟绩。

第9页微积分基本内容

研究函数，从量方面研究事物运动改变是微积分基本方法。这种方法叫做数学分析。

原来从广义上说，数学分析包含微积分、函数论等许多分支学科，不过现在普通已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分基本概念和内容包含微分学和积分学。

微分学主要内容包含：极限理论、导数、微分等。

积分学主要内容包含：定积分、不定积分等。

微积分是与应用联络着发展起来，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星第10页运动三定律。今后，微积分学极大推进了数学发展，同时也极大推进了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中发展。并在这些学科中有越来越广泛应用，尤其是计算机出现更有利于这些应用不停发展。

第11页解析几何产生

十六世纪以后，因为生产和科学技术发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新需要。比如，德国天文学家开普勒发觉行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行，太阳处于这个椭圆一个焦点上；意大利科学家伽利略发觉投掷物体试验着抛物线运动。这些发觉都包括到圆锥曲线，要研究这些比较复杂曲线，原先一套方法显然已经不适应了，这就造成了解析几何出现。

1637年，法国哲学家和数学家笛卡尔发表了他著作《方法论》，这本书后面有三篇附录，一篇《折光学》，一篇叫《流星学》，一篇叫《几何学》。当初这个“几何学”实际上指是数学，就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。

第12页笛卡尔《几何学》共分三卷，第一卷讨论尺规作图；第二卷是曲线性质；第三卷是立体和“超立体”作图，但他实际是代数问题，探讨方程根性质。后世数学家和数学史学家都把笛卡尔《几何学》作为解析几何起点。

从笛卡尔《几何学》中能够看出，笛卡尔中心思想是建立起一个“普遍”数学，把算术、代数、几何统一起来。他构想，把任何数学问题化为一个代数问题，在把任何代数问题归结到去解一个方程式。

为了实现上述构想，笛卡尔茨从天文和地理经纬制度出发，指出平面上点和实数对(x,y)对应关系。x,y不一样数值能够确定平面上许多不一样点，这么就能够用代数方法研究曲线性质。这就是解析几何基本思想。

第13页详细地说，平面解析几何基本思想有两个关键点：第一，在平面建立坐标系，一点坐标与一组有序实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上一条曲线就可由带两个变数一个代数方程来表示了。从这里能够看到，利用坐标法不但能够把几何问题经过代数方法处理，而且还把变量、函数以及数和形等主要概念亲密联络了起来。

解析几何产生并不是偶然。在笛卡尔写《几何学》以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一个坐标系；也有些人在研究天文、地理时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何创建产生了很大影响。

在数学史上，普通认为和笛卡尔同时代法国业余数学家费尔马也是解析几何创建者之一，应该分享这门学科创建荣誉。

第14页费尔马是一个业余从事数学研究学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有主要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写“书”无意发表。但从他通信中知道，他早在笛卡尔发表《几何学》以前，就已写了关于解析几何小文，就已经有了解析几何思想。只是直到1679年，费尔马死后，他思想和著述才从给友人通信中公开发表。

笛卡尔《几何学》，作为一本解析几何书来看，是不完整，但主要是引入了新思想，为开辟数学新园地做出了贡献。

第15页解析几何基本内容

在解析几何中，首先是建立坐标系。如上图，取定两条相互垂直、含有一定方向和度量单位直线，叫做平面上一个直角坐标系oxy。利用坐标系能够把平面内点和一对实数(x,y)建立起一一对应关系。除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。

坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了亲密联络，这么就能够对空间形式研究归结成比较成熟也轻易驾驭数量关系研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是主要，就是对于几何学各个分支研究也是十分主要。

第16页解析几何创建，引入了一系列新数学概念，尤其是将变量引入数学，使数学进入了一个新发展时期，这就是变量数学时期。解析几何在数学发展中起了推进作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中转折点是笛卡尔变数，有了变书，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了，……”

第17页解析几何应用

解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。

在平面解析几何中，除了研究直线相关直线性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）相关性质。

在空间解析几何中，除了研究平面、直线相关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。

椭圆、双曲线、抛物线有些性质，在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机聚光灯泡反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星天线、射电望远镜等都是利用抛物线原理制成。

第18页总来说，解析几何利用坐标法能够处理两类基本问题：一类是满足给定条件点轨迹，经过坐标系建立它方程；另一类是经过方程讨论，研究方程所表示曲线性质。

利用坐标法处理问题步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点轨迹几何条件“翻译”成代数方程；然后利用代数工具对方程进行研究；最终把代数方程性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题答案。

坐标法思想促使人们利用各种代数方法处理几何问题。先前被看作几何学中难题，一旦利用代数方法后就变得平淡无奇了。坐标法对近代数学机械化证实也提供了有力工具

第19页复数概念起源于求方程根，在二次、三次代数方程求根中就出现了负数开平方情况。在很长时间里，人们对这类数不能了解。但伴随数学发展，这类数主要性就日益显现出来。复数普通形式是：a+bi，其中i是虚数单位。

复变函数以复数作为自变量函数就叫做复变函数，而与之相关理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类含有解析性质函数，复变函数论主要就研究复数域上解析函数，所以通常也称复变函数论为解析函数论。

第20页复变函数论发展简况

复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他一篇论文中考虑了由复变函数积分导出两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他关于流体力学论文中，就已经得到了它们。所以，以后人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力课时，作了更详细研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。

复变函数论全方面发展是在十九世纪，就像微积分直接扩展统治了十八世纪数学那样，复变函数这个新分支统治了十九世纪数学。当初数学家公认复变函数论是最丰饶数学分支，而且称为这个世纪数学享受，也有些人称赞它是抽象科学中最友好理论之一。

第21页为复变函数论创建做了最早期工作是欧拉、达朗贝尔，法国拉普拉斯也随即研究过复变函数积分，他们都是创建这门学科先驱。

以后为这门学科发展作了大量奠基工作要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大进展，维尔斯特拉斯学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量研究工作，开拓了复变函数论更辽阔研究领域，为这门学科发展做出了贡献。

复变函数论在应用方面，包括面很广，有很多复杂计算都是用它来处理。比如物理学上有很多不一样稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量一个区域，对它们计算就是经过复变函数来处理。

第22页比如俄国茹柯夫斯基在设计飞机时候，就用复变函数论处理了飞机机翼结构问题，他在利用复变函数论处理流体力学和航空力学方面问题上也做出了贡献。

复变函数论不但在其它学科得到了广泛应用，而且在数学领域许多分支也都应用了它理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们发展很有影响。

第23页复变函数论内容

复变函数论主要包含单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面内容。

假如当函数变量取某一定值时候，函数就有一个唯一确定值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这么函数。

复变函数也研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数主要工具。由许多层面安放在一起而组成一个曲面叫做黎曼曲面。利用这种曲面，能够使多值函数单值枝和枝点概念在几何上有非常直观表示和说明。对于某一个多值函数，假如能作出它黎曼曲面，那么，函数在离曼曲面上就变成单值函数。

第24页黎曼曲面理论是复变函数域和几何间一座桥梁，能够使我们把比较深奥函数解析性