第1章-质点运动学和动力学剖析课件

矢量基本知识矢量基本知识矢量AA有大小、有方向，且服从平行四边形运算法则的量。线段长度（大小）；箭头（方向）。手书A（附有箭头）印刷（用黑体字，不附箭头）表示法A=

xi

+yj=

x+yAij在课本中惯用印刷形式。在本演示课件中，为了配合同学做手书作业，采用手书形式。该矢量的坐标式A手书印刷XY0Ajixy在X-Y平面上的某矢量A轴的X、Y分别为单位矢量（大小为1，方向分别沿X、Y轴正向）。ij、矢量加矢量的基本运算C+ABBABBACABAB+()C矢量加、减法+AB与AB平行四边形法则对角线矢量是两邻边矢量的合矢量。平行四边形法则BA+CAB等效画法BA+CAB在实际应用中，常用更简洁的等效画法等效三角形在质点运动学中，我们常用到的关系。CABBAC+CAB从上述例子中不难看出，构成该三角形的三个矢量之间的相互关系为CABCAB点乘ABaO矢量乘法ABacosAB两矢量点乘的结果是标量点（标）乘OABaacosAB0acosAB0叉乘两矢量叉乘的结果是矢量叉（矢）乘大小asinABAB方向角转向叉号后矢量的旋进方向。垂直于两矢量决定的平面，指向按右螺旋从叉号前的矢量沿小于pAB的方向ABa两矢量所在平面叉号前后量矢的位置由有关物理定义来确立，不能互易。右手法制在大学物理中（国际惯例）从坐标系到物理定律的矢量叉乘公式一律用右手螺旋法则，不能用左手！xyzOxyOzxyzO都是右手坐标系，都将出现在本课程的各个篇章中，SI制国际单位物理学通用的国际单位制()sI标准国际单位制StandardInternationalUnit长度：米()m时间：秒s()质量：千克kg()力：牛顿N()......第1章质点运动学和动力学教学基本要求

一、熟练掌握描述质点运动的物理量：位置矢量、位移、速度、加速度；理解它们的矢量性、瞬时性和相对性。二、掌握质点在平面内运动时的速度和加速度的计算方法。三、理解运动方程的物理意义.熟练掌握运动学两类问题的求解方法。四、熟练掌握牛顿运动定律的应用。作业：7，8，10，11，12，13，15，17，201.1.1参考系和坐标系

1.

参考系为描述物体的运动而选择的标准物叫做参考系。选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是运动描述的相对性。1.1参考系坐标系质点

动画例以地球为参考系人造地球卫星作圆或椭圆运动以太阳为参考系人造地球卫星作螺线式运动以地球为参考系卫星作圆周运动

2.坐标系为了从数量上确定物体相对于参考系的位置，需要在参考系上选用一个固定的坐标系。根据问题的需要，可以选取直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系和自然坐标系等。究竟应当选用哪种坐标系，坐标原点设在何处,坐标轴的取向如何,应以问题的处理最简化为准。坐标系参考系（地面）YOXz坐标系（直角坐标系）高空飞机（视为质点）rφθ参考系（地心）球坐标系卫星法线切线运动质点τn自然坐标系由运动曲线上任一点的法线和切线组成

质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型。目的是为了突出研究对象的主要性质,暂不考虑一些次要的因素。这种模型化处理在物理学研究中十分重要，应用时视具体情况而定。如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略其大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质量的点（即质点）来处理.

1.1.2质点

在牛顿力学中，在两个相对作直线运动的参考系中，时间的测量是绝对的，空间的测量也是绝对的，与参考系无关，时间和长度的的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础.如果我们研究某一物体的运动，就是要确定它某时刻位置，这就涉及到时间和空间.

1.1.3时间和空间

1.2质点运动学方程1.2.1位置矢量*位矢的值为

运动的质点某一时刻位于P处，在坐标系里的位置的物理量称位置矢量,简称位矢

.式中

、、

分别为x、y、z

方向的单位矢量.1.2.2运动方程轨迹方程分量式从中消去参数得轨迹方程

位矢具有三个特征：

矢量性、瞬时性和相对性

例1.1

已知一质点在平面上的运动方程为

式中、为大于零的常数，求该质点的运动轨迹.解：质点在、坐标上的分运动方程分别为消去即得质点的轨迹方程圆1.3速度和加速度BABA经过时间间隔后,质点位置矢量发生变化,由始点A指向终点B

的有向线段AB

称为点A

到B的位移矢量.位移矢量也简称位移.1.3.1位移矢量位移的大小为BA所以位移

若质点在三维空间中运动，则在直角坐标系中其位移为2.路程（）:质点实际运动轨迹的长度.又位移的物理意义A)

确切反映物体在空间位置的变化,与路径无关，只决定于质点的始末位置.B）反映了运动的矢量性和叠加性.注意位矢长度的变化位移与路程（B）

一般情况,位移大小不等于路程.

（D）位移是矢量,路程是标量.（C）什么情况？不改变方向的直线运动;当时.讨论（A）P1P2

两点间的路程是不唯一的,可以是或而位移是唯一的.平均速度zXYOr1P1()t1r22P()t2rrtrsr怎样描述质点位置变化的快慢程度及方向？vrrtrtrrsv引入速度！1.3.2速度平均速度zXYOr1P1()t1r22P()t2rrtrsrvrrtrtrrsv平均速率vtrrsv是标量vv显然当tr0时，平均速度v的极限值具有更重要的意义：平均速度vvrrtr方向与rr相同是矢量速度的单位m/s瞬时速度rtzXYOrP当tr0时vrrvrrvrdrdtd瞬时速度v速度简称rrvrt0limrtdrtdrr为极限方向（曲线上P点的切线方向）方向：v2xv22+yv+zvv的大小称为速率vvrrt0limrtdtdss而且当tr0时rrsr故在直角坐标中vdtddtddrtddtdxyz+ij+kxvi+yvj+zvk平均加速度质点速度的大小和方向随时都在改变。v怎样定量描述质点的速度随时间的变化？zXOYvvvvP12Pr12rv1v22t1tv2v2vr引入加速度！1.3.3加速度平均加速度质点速度的大小和方向随时都在改变。vzXOYvvvvP12Pr12rv1v22t1tv2v2vr当tr0时，平均加速度的极限值具有更重要的意义：a平均加速度av1v22t1tarvtr方向与一致rva的加速度的单位瞬时加速度vP2Pr2rv2ttzXY当tr0111tdt+dv瞬时加速度a简称加速度2art0limvrrttddrtddv2方向：为rt0vr时极限方向。Oa2dtd2在直角坐标系中xtdtddtddydz+ij+kxvi+yvj+zvk2dtd22dtd2axi+ayj+azk的大小aaax2+ay2+az2两类问题rrt()运动学方程vt()速度任一时刻的at()加速度求导已知求积分vvt()rrt()运动学方程或速度方程或速度方程vvt)()0r)及加速度方程a()0vat))及1.4质点运动学的两类问题1.4.1第一类问题1.4.2第二类问题已知求

例1.2

已知一质点在、平面上的运动方程为

式中t以s计，x，y以m计。求：以时间t为变量，写出质点位矢的表达式；写出t=1s和t=2s时的位矢，并写出这1s内质点的位移及平均速度；写出该质点的速度表达式，并计算t=4s时质点的速度；写出该质点的加速度表达式，并计算t=4s时质点的加速度。

解：(1)质点位矢的表达式t=2s时的位矢为(2)t=1s时的位矢为质点在内的位移平均速度平均速度的大小平均速度的方向与ox轴正向的夹角为(3)质点的速度为t=4s时的速度为速度的方向与ox轴正向的夹角为大小为(4)质点的加速度为加速度与时间无关，表明为匀加运动！加速度的方向沿oy轴正向！加速度的大小为斜抛运动！简例一()sI表示国际单位制长度：米()m时间：秒s()例3已知质点运动学方程()sIr+ijtt2求：t10s时的位矢；()1()2()30~10间的位移；s轨迹方程及0~10s间通过的路程。()3xt2yt()轨迹方程xy2抛物线td元路程sd+xdyd()2()2()2td+()2td2t1+4t2s0~10s积分路程0~10sd010td1+4t2ln22t()t2+122+1214)(t+()t2+1222010()1011m()1()r10()sI+ij10100rr()2()r10()r0()sI+ij10100解法提要：积分例一例4用积分法求匀加速直线运动公式已知质点沿X轴以匀加速度作直线运动a时0t,v0vxx0解法提要：沿轴运动，直接用标量式沿轴运动，直接用标量式vatdd由分离变量avdtd两边积分vv0+at得vdatdvv00t由vtddxxdvtdtd0tx0xdx分离变量xdtdv0+at()两边积分v0+at()得xx0+v0t+at212联立消去还可得txv2v022(ax0)解法提要：沿轴运动，直接用标量式沿轴运动，直接用标量式vatdd由分离变量avdtd两边积分得由vtddxxdvtd得例5已知质点沿X轴作加速直线运动时0t,v0vxx0求质点t秒后的速度和位置。td0tx0xdx两边积分()xx0+v0t+at2120有积分例二例OXYv0q0已知ajgt0求vv（（trr（（t，解法提要：ax0tddxv0xv常数cosv0q0aaxai+yjjggaytddvgytddvgydvy0gtdtyvsinv0q0，yvsinv0q0gtv+xvyvjicosv0q0i+()sinv0q0gtj续上例OXYv0q0已知ajgt0求vv（（trr（（t，解法提要：tddxvx，tdxvdxdxOxcosv0q0Ottdxv0cosq0txvcosv0q0()sinv0q0gtyvtddyyv，tddyyvydyO()sinv0q0gttdOtyv0sinq0tg21t2ijrx+yv0cosq0t+i(v0sinq0tg21t2)j若联立消去可得轨迹方程tyxtgq02v02cosq02gx2积分例三dtvd-ABv0vt0ln-ABv-BtAAB1-e-Bt((v((t已知跳伞运动员下落时加速度大小的变化规律为-aAB((tv((tt0v0及时AB,均为大于零的常量式中：求：v((t任一时刻运动员下落速度大小的表达式解法提要adtvdadtvd-ABv由对本题的一维情况有分离变量求积分(t0vB1ln(-ABv圆周运动1.5圆周运动RO匀速（率）圆周运动RO变速（率）圆周运动怎样定量描述其运动规律？1.5.1平面极坐标

A设一质点在平面内运动，某时刻它位于点A.矢径与轴之间的夹角为.于是质点在点A

的位置可由来确定.以为坐标的参考系为平面极坐标系.它与直角坐标系之间的变换关系为1.5.2圆周运动的法向加速度和切向加速度质点作变速率圆周运动时切向加速度（速度大小变化引起）沿切线方向法向加速度（速度方向变化引起）沿法线方向当质点作匀速率圆周运动时，，只有法向加速度。减小增大故圆周运动的加速度可表达为

对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的：

（A）切向加速度必不为零；（B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；（C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零；（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；（E）若物体的加速度为恒矢量，它一定作匀变速率运动.讨论角坐标1.5.3圆周运动的角量表示1角坐标qX参考轴O半径tAq随时间变化的方程qt（）q称圆周运动的运动学方程qq的单位：弧度()rad角速度2角速度w角速度的大小为角速度的单位为s弧度()rad秒11limtr0qrwtr3角加速度a表示角速度瞬时变化的快慢atddwlimtr0trrw的单位为s弧度()rad秒a22角线量关系线量1.5.4角量的关系与sdqdORqdsdRtddvta2awRsqnatddtddvRRtddwRtdd2qRRv2Rw2关系式线量大小角量大小常用的与

1.5.5质点作匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动时角量表达

1.

匀速率圆周运动：2.匀变速率圆周运动常量角线简例例OqR已知tq+3absI（（m10.Rsrad3b4a2rad求时的t2stana和解法提要：wqtddt3b284（（1sradsrad2（（awt24tdd84taaR480.1srad2（（.naRw2srad2（（0.324248480.1例6：一质点作半径R=1m的圆周运动，其角坐标随时间的变化关系为(rad)，t以秒计。求(1)质点的速度和加速度；(2)问多大时，质点的切向加速度和法向加速度的大小相等？沿切向加速度分为切向加速度和法向加速度解：速度的大小即为速率其方向与切向的夹角为(2)切向加速度和法向加速度相等时加速度的大小为即

例1.5.2已知一质点在平面上的运动方程为

解：质点在、坐标上的分运动方程分别为消去即得质点的轨迹方程求：(1)质点的轨迹方程.(2)加速度的切向分量和法向分量。物理量小结小结描述质点运动的物理量运动学方程rrt()+ijk+t()xt()yt()z运动状态运动状态的变化位移rrr2r1irx+ryj+rzka加速度tddvtdtddtddd+ij+kxvyvzvaxi+ayj+azk2drtd2，a+tanatnvr2+tddvata2+na2，aax2+ay2+az2v2xv22+yv+zv位置矢量2rxyz22+++rxiyjzk+，速度xvi+yvj+zvk，vdtddtddrtddtdxyz+ij+k物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系1.6相对运动*速度变换位移关系P质点在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的位移S

系系

伽利略速度变换若则

注意当接近光速时，伽利略速度变换不成立！加速度关系绝对速度相对速度牵连速度

例

如图示，一实验者A在以10m/s

的速率沿水平轨道前进的平板车上控制一台射弹器,此射弹器以与车前进方向呈度角斜向上射出一弹丸.此时站在地面上的另一实验者B看到弹丸铅直向上运动,求弹丸上升的高度.A

B速度变换解地面参考系为S系平板车参考系为系弹丸上升高度解地面参考系为系，平板车参考系为系A

B第一定律若：=0，则=恒量vF意指出了是运动状态发生变化的原因Fa即产生的原因。提出了概念惯性任何物体都有保持其运动状态的性质1.6牛顿运动定律是判断参考系是否为惯性系的依据任何物体都保持静止或沿一直线匀速运动的状态，除非作用在上面的力迫使它改变这种状态.1.6.1牛顿运动定律第二定律牛顿第二运动定律牛顿第二定律1.6.2

力的叠加原理瞬时关系牛顿定律的研究对象是单个物体（质点）vddtaFmmpddtiSFFm加速度的方向与外合力的方向相同。的大小成正比，与物体的质量成反比，a物体所获得的加速度的大小与物体所受的合外力第二定律vtFmatmddtnFmanrmv2自然坐标切向和法向投影式xvddtaFmmmddt22xxx直角坐标系中的投影式yvddtaFmmmddt22yyyzvddtaFmmmddt22zzz第三定律F122F1总是等值反向且在同一直线上，即两个物体间的相互作用力与F122F1F122F1作用力与反作用力总是同时存在，同时消失；F122F1、分别作用于两个物体上，不能相互抵消；F122F1、具有相同的性质；牛顿第三运动定律牛顿第三定律1.6.3引力宇宙中任何两物体之间都存在相互吸引力1.6.4力学中常见的力2.电磁力包括存在于静止电荷之间的电性力以及存在于运动电荷之间的电性力和磁性力，由于它们在本质上相互联系，总称为电磁力．电磁力和万有引力一样都是长程力，但与万有引力不同，它既有表现为引力的也有表现为斥力的，比万有引力大得多．两个质子之间的电力要比同距离下的万有引力大上倍。由于分子和原子都是由带电荷粒子组成的系统，它们之间的作用力基本上就是它们的电荷之间的电磁力．物体之间的弹力和摩擦力以及气体的压力、浮力、粘滞阻力等等都是相邻原子或分子之间作用力的宏观表现，因此基本上也是电磁力。1.万有引力3.强力当人们对物质结构的探索进入到比原子还小的微观领域中时，发现在核子、介子和超子之间存在一种强力．正是这种力把原子内的所有质子以及中子紧紧地束缚在一起，形成原子核．强力是比电磁力更强的基本力，两个相邻质子之间的强力可达N，比电磁力大倍．强力是一种短程力，其作用范围很短．粒子之间距离超过m时，强力小得可以忽略；小于m时，强力占主要支配地位；而且直到距离减小到大约m时，它都表现为引力;距离再减小，强力就表现为斥力。4.弱力在微观领域中，人们还发现一种短程力，叫弱力．它也存在于许多粒子之间.弱力仅在粒子间的某些反应(如衰变)中才显示出它的重要性．弱力的力程比强力还要短,而且力很弱,两个相邻质子之间的弱力只有N左右.

＊以距源处强相互作用的力强度为1力的种类相互作用的物体力的强度力程万有引力一切质点无限远弱力大多数粒子小于电磁力电荷无限远强力核子、介子等＊引力宇宙中任何两物体之间都存在相互吸引力FGr2m12m万有引力常量G6.671011mNkg22质量反映了物体的引力性质，称为引力质量。它与惯性质量在意义上虽然不同，但它们都是对同一质量的两种表现，在本课程中不再加以区分，统称为质量。1.6.5万有引力重力重力地球表面附近的物体都受到地球的吸引作用，这种因地球吸引而使物体受到的力叫做重力．在重力作用下，任何物体产生的加速度都是重力加速度g．重力的方向和重力加速度的方向相同，都是竖直向下的。设地球的质量为M，半径为R，物体的质量为m，即有由此得

弹力1.6.6弹性力弹性物体受外力形变而产生企图恢复原状的力。三种常见形式的弹力：1.正压力支承力NNNN正压力N支承力NNN,重物对平面或斜面的压力平面或斜面企图恢复形变而对重物的作用力一对作用与反作用力2.拉力f21f拉力1T2T张力f21f1T2T2T1T,f21T1f2T轻绳（忽略质量）内部弹力静止或匀速直线运动时绳内各处张力T相等大小而且同理也可分析细棒受压3.弹簧的弹力xoxxfxxkxfk轻弹簧（忽略质量）无形变被拉伸被压缩弹力弹力胡克定律弹簧的劲度系数摩擦力1.6.7摩擦力两固体接触面相互挤压，沿接触面方向有向对运动或相对运动趋势时，接触面上产生的相互作用力。1.静摩擦力物体无相对运动趋势，接触面间不存在摩擦力。0f0f的大小与物体受的其它力有关，的方向总是与物体方向相反。（传动带上的物体靠静摩擦力起作用）相对滑动趋势物体有相对运动趋势，但仍处于静止，接触面间出现的摩擦力为静摩擦力0fF0fPNPNam0称为静摩擦系数0fm0Nmax0f与平衡的力大到物体将要开始相对最大静摩擦力为滑动的极限时，0f0f续上滑动摩擦力2.kfmkN沿两相互挤压的固体接触面方向有相对滑动时的摩擦力kfrf称为滑动摩擦力，用或表示，称为mkmr(或）滑动摩擦系数滑动摩擦力总是与相对滑动的方向相反。mMF例已知各接触面间均有摩擦mM运动过程中相对静止、mmgN0fMF0fkfN'Mg1N当两者一起匀速运动时kf0续上内摩擦力3.流体与流体之间，或固体与流体之间的摩擦力。若将固体在流体中所受的摩擦力看作一种阻力，其大小与相对运动速度有关。rfvk为比例系数。物体所受阻力的方向与物体运动速度方向相反。两种简化模型：高速运动低速运动rfkv2rfkv阻力大小阻力大小rfkvrfv钢珠在水中沉降vrfrfkv2子弹在空气中飞行1）确定研究对象；2)

看运动；3)

进行受力分析：（隔离物体，画受力图）4）取坐标系；5）列方程（一般用分量式）；6）利用其它的约束条件列补充方程；7）先用文字符号求解，后带入数据计算结果.解题的基本思路1.7牛顿运动定律的应用力的合成：物体同时受到几个力作用时，受到的合力。这里指共点力。这几个力都叫分力受到的合力为不管受到多少个力都这样加！如果受力如图矢量加法(10N)(10N)要用平行四边形或三角形法则！如果几个力方向相同(18N)(10N)合力的大小为两个力相加则合力的方向与两个分力方向相同如果几个力方向相反(18N)(10N)合力的大小为两个力相减则合力的方向与两个分力中大的方向相同多个力合成时多次用平行四边形或用多边形法则！力的分解(矢量分解)----与力的合成互为逆运算也可以这样分解更普遍的沿x、y轴分解----正交分解两个分力的大小为10Nx、y轴可以根据具体情况取向(10N)正交分解法求合力（1）如图所示滑轮和绳子的质量均不计，滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与轴间的摩擦力均不计.且.求重物释放后，物体的加速度和绳的张力.解以地面为参考系画受力图、选取坐标如图例1阿特伍德机（2）若将此装置置于电梯顶部，当电梯以加速度相对地面向上运动时，求两物体相对电梯的加速度和绳的张力.解以地面为参考系设两物体相对于地面的加速度分别为，且相对电梯的加速度为解

例2

如图长为的轻绳，一端系质量为的小球,另一端系于定点，时小球位于最低位置，并具有水平速度，求小球在任意位置的速率及绳的张力.

例3

如图所示（圆锥摆），长为的细绳一端固定在天花板上，另一端悬挂质量为的小球，小球经推动后，在水平面内绕通过圆心的铅直轴作角速度为的匀速率圆周运动

.问绳和铅直方向所成的角度为多少？空气阻力不计.解越大，也越大利用此原理，可制成蒸汽机的调速器（如图所示）.二类例一例XX某电车启动过程某电车启动过程牵引力牵引力ttFFtt0F0Fm0Ft启动时间及均为常数t0时vx00求v()txt(),解法提要：ddtF由mv有tt0Fmddtvdvtt0Fmdt0dvt0Fmdtv0ttv0Fm2tt2xvddttdxvd0xdx0Fm2tt20tdtx0F6mtt30F0tFttt0Fm2t0x6vtt0Fm2t0二类例二OXv0mmg例x已知质点受力与坐标的关系Fkxmgv0x，v0()mgk，常数求vx()解法提要：mddtvkx0F运用得ddtvddtddvxxvddvxvdvdxkx0Fmm0vvvdvkxmm0F(0)dxx0v2v22(m0Fxkmx2)v0v2+2(m0Fxkmx2)2122二类例三例mvX0已知停机时船速0，阻力kFrv问船还能走多远？xddtmvFrkvkddtxdmdvk得解法提要：停机后船沿X正向运动，阻力与船速方向相反。关键是要找到船速与位置的关系，vx即从vv00x从0时x止x止v0v0Xxvmkv0xvxdv0dvmkx0vmkvxv0()0v当x止m0vk得时二类例六例阻力kFrv已知求vv（（trr（（t，OXYv0q0t0质量为mxddtmvkvxyddtmvkvymgcosvxv0q0ekmtkmgkmg（sinvyv0q0ekmt）ddtmv解法提要：由kFvFrmgmgvjivxvytd0vxmkt01dvxvxtd0vyt0mkdvyvygvxvy续例阻力kFrv已知求vv（（trr（（t，OXYv0q0t0质量为mrjixy解法提要cosvxv0q0ekmtxddtkmgkmg（sinvyv0q0ekmt）yddtcosxv0q0mkekmt（1）kmgkmg（sinv0q0）ymkekmt（1）tydvy（t）dtxdvx（t）dtt0y0t0x0二类例五行进中的电气列车，每千克受阻力与车速的关系为FFXXv已知求FF()+v01255202NF例当车速达25m/s时关电门，运行多远时，车速减至10m/s？解法提要m设：列车质量为，则水平合外力mFF合tvddFFmFF()+v01255202tvdd由题意：t0,x0,0v250ms求x？v10ms，时()+v01255202vvdxdtvddtxddxvddvxvddxd()+v01255202vdv()+v01255202vdvxdx10025积分得：x100ln（）2.5+0.5v22510179m例

跳后61秒开伞一次延迟开伞跳伞记录4600米s

=v0t+gt

221=0+0.5×9.8×612=18233（米）早就撞地了！如果不考虑空气