第六章-保形映照课件

1第六章保形映照导数的几何意义分式线性函数及其映照性质分式线性函数的应用指数函数与幂函数所确定的映照2教学要求：了解导数的几何意义及保形映照的概念。掌握分式线性映照的性质，了解w=za（a为正有理数）和w=ez的映照性质。会求一些简单区域（如平面、半平面、角形域、圆带形域等）之间的保形映照。36.1导数的几何意义及保形映照的概念6.1.1曲线的切向量

在复平面上，曲线C可表示为

z(t)=x(t)+iy(t)从而z’(t)=x’(t)+iy’(t)表示曲线C上对应于参数t的点的切线向量，进而Argz’(t)=Ψ表示C在z(t)处的切线与实轴的夹角。Cx0yzz

设z平面内的任一条有向曲线C，其参数方程为：x=x(t),y=y(t)(a

t

b),则曲线C上对应于参数t的点的切线向量为：{x’(t),y’(t)}46.1.2导数的几何意义

设w=f(z)于区域D内解析，z0∈D,w0=f(z0)且在点z0有导数通过z0任意引一条有向光滑曲线C:z(t)=x(t)+iy(t)

(t0≤t≤t1),z0=z(t0).显然变换

w=f(z)

的参数方程应变换为

Cx0yzw=f(z)uv0wz0w0

将C之象曲线在点w0=w(t0)的邻域内是光滑的.5Cx0yzz0z0+∆zw=f(z)又由于故

在w0=f(z0)也有,

uv0ww0

w0+∆w设其倾角为

，则就是切向量,切线

故Argf’(z0)表示：曲线C在z0点的切线在w=f(t)的映照下转动的角度，即曲线C在w=f(t)的映照下在z0处的转动角。6

设在D内过z0还有一条简单光滑曲线函数w=f(z)把它映射成一条简单光滑曲线和上面一样，与在z0及w0处切线与实轴的夹角分别是及所以，在w0处曲线到曲线的夹角恰好等于在z0处曲线C到曲线C1的夹角：7

因此，用解析函数作映射时，曲线间的夹角的大小及方向保持不变，我们称这个性质为映射的保角性。8z-z0及w平面上向量

导数模的几何意义:

上面是对解析函数的导数的幅角所作的几何解释，下面再说明它的模的几何意义。根据假设，我们有由于是比值的极限，它可以近似地表示这种比值。在w=f(z)所作映射下，|z-z0|及|f(z)-f(z0)|分别表示z平面上向量的长度，9这里向量z-z0及f(z)-f(z0)的起点分别取在z0及f(z0)。当|z-z0|较小时，|f(z)-f(z0)|近似地表示通过映射后，|f(z)-f(z0)|对|z-z0|的伸缩倍数，而且这一倍数与向量z-z0的方向无关。因此，我们把|f’(z0)|

称为在点z0的伸缩率。106.1.3保形映照的概念

现在用几何直观来说明解析函数所作映射的意义。设w=f(z)是在区域D内解析的函数，

那么w=f(z)把z0的一个邻域内任一小三角形映射成w平面上含w0的一个区域内的曲边三角形。

这两个三角形的对应角相等，对应边近似成比例。因此这两个三角形近似地是相似形。OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G211所以，我们把解析函数所确定的映射称为保形映射或映照，或称为共形映射或保角映射。它在每一点保角，并且在每一点具有一定的伸缩率。此外，w=f(z)还把z平面上半径充分小的圆近似地映射成圆OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G212

例：求w=f(z)=z3在z=i,z=0处的导数值,并说明几何意义。解：w=f(z)=z3在全平面解析，f

'(z)=3z2。在z=i处具有伸缩率不变和保角性。伸缩率为3，旋转角为。136.2分式线性函数及其映照性质称为分式线性函数.说明:否则,由于那末整个z平面映射成w平面上的一点.6.2.1分式线性函数

定义6.114小知识分式线性映射首先由德国数学家默比乌斯(1790~1868)研究,所以也称为默比乌斯映射.对每一个固定的w,此式关于z是线性的;对每一个固定的z,此式关于w也是线性的,因此称上式是双线性的.分式线性映射也称双线性映射.15分式线性映射的逆映射,也是分式线性映射.2)由3)两分式线性映射的复合仍为分式线性映射164)分式线性映射的分解一个一般形式的分式线性映射是由下列四种特殊的简单映射复合而成:17

几种简单的分式线性映射(为方便起见,令w平面与z平面重合)平移映射18旋转变换事实上,设那末因此,把z转一个角度19伸长(或缩短)变换事实上,设那末因此,20关于横轴对称反演变换此映射可进一步分解为欲由点z作出点w,可考虑如下作图次序:关键:21对称点的定义:设C为以原点为中心,r为半径的圆周.在以满足关系式那末就称这两点为关于这圆周的对称点.规定:无穷远点的对称点是圆心O..P’.Pr22...设P在C外,从P作C的切线PT,由T作OP的垂作图:.23故可知:...关于单位圆对称关于实轴对称24例试将线性变换分解为简单变换的复合.解因此可分解为的复合.256.2.2分式线性映射的性质1.一一对应性例如:结论:分式线性映射在扩充复平面上一一对应.262.保角性若规定:两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处的交角,等于它们在映射

下所映成的通过原点的两条象曲线的交角.27综上所述知:28综上所述:定理分式线性映射在扩充复平面上是一一对应的，且具有保角性293.保圆性

所谓保圆性指在扩充复平面上将圆周映射为圆周的性质.特殊地，直线可看作是半径为无穷大的圆周.1)映射特点:所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.302)映射若z平面上圆方程为:令有代入z平面圆方程得其象曲线方程:即所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.313)分式线性映射定理6.1

分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.说明:

如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周;有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线.如果324、保交比性分式线性映射中含有四个常数a,b,c,d.但是,如果用这四个数中的一个去除分子和分母,就可将分式中的四个常数化为三个常数.所以,上式中实际上只有三个独立的常数.因此,只需给定三个条件,就能决定一个分式线性映射.33定理6.2

对于扩充

z平面上任意三个不同的点以及扩充

w平面上任意三个不同的点，存在唯一的分式线性函数，把依次分别映射成证明：(1)先考虑已给各点都是有限点的情形。设所求分式线性函数是34（定理6.2的证明）那么，由得同理，有：35（定理6.2的证明）因此，有由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。(2)其次，如果已给各点除外都是有限点。则所求分式线性函数有下列的形式：36（定理6.2的证明）那么，由同理有由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。37注解与推论：注解：和分别称为及的交比，分别记为

在分式线性函数所确定的映射下，交比不变。即设一个分式线性函数把扩充

z平面上任意不同四点映射成扩充

w平面上四点，那么382014年11月17日星期一39

现在研究,在给定两个圆周C与C’,在圆周上分别取定三个点,必能找到一个分式线性映射将C映射成C’.但是这个映射会将C内部映射成什么呢?

如果在C内任取一点z0,而点z0的象在C’的内部,则C的内部就映射成C’的内部;如果z0的象在C’的外部,则C的内部就映射成C’的外部.

或者在C上取定三点z1,z2,z3,它们在C’的象分别为w1,w2,w3.如果C依z1

z2

z3的绕向与C’依w1

w2

w3的绕向相同,则C的内部就映射成C’的内部,否则映射成C’的外部。40z1z2zz3w1w2w3w1w2w3ww41

现讨论在z平面内两个圆包围的区域的映射情况.根据前面的讨论可知:

(I)当二圆周上没有点映射成无穷远点时,这二圆周

的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域;

(II)当二圆周上有一个点映射成无穷远点时,这二圆

周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所

围成的区域;

(III)当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时,这

二圆周的弧所围成的区域映射成角形区域.42定理6.3扩充z平面上任何圆，可以用一个分式线性函数映射成扩充

w平面上任何圆。证明：设C是z平面上的一个圆，C'是w平面上的一个圆，在C和C'上分别取三个不同的点由定理6.2，存在一个分式线性函数，把映射成，从而把圆C映射成圆C‘。43

引理

z1,z2是关于圆周C的一对对称点的充要条件是经过z1,z2的任何圆周G都与C正交.CRz0z1z2z'G5.保对称点性44而及都是有限的情形。证明：如果C是直线（半径为无穷大的圆）；或者C是半径为有限的圆，及之中有一个是无穷远点，则结论显然。现在考虑圆C为（必要性）设及关于圆C的对称，那么通过及的直线（半径为无穷大的圆）显然和圆C直交。....45作过及的任何圆（半径为有限）G

。过作圆G的切线，设其切点是z‘。由切割线定理，于是从而这说明，从而上述C‘的切线恰好是圆C的半径，因此C与C’正交。（充分性）过及作一个圆（半径为有限）G

，与C交于一点z’。由于圆C与G正交，G在z‘的切线通过圆C的心。....46显然，及在这切线的同一侧。又过及作一直线L，由于L与C正交，它通过圆心。于是及在通过的一条射线上。我们有因此，及是关于圆C的对称点。....47即分式线性映射具有保对称性.定理6.448证分式线性映射[证毕]49例1求将分别变为的分式线性变换.解所求的分式线性变换为即整理得50例6.2考虑如果分式线性函数的映照结果为圆那么映照前z平面上的图形是什么呢？显然，该映照把z1及z2映照成为关于圆的对称点0及∞，且把扩充z平面上的曲线映照成为，则由定理6.1知曲线C:表示z平面上的一个圆，z1及z2是关于圆C的两个对称点。解51解由定理6.4,例2求线性变换变为上半平面,使将圆盘即52由线性变换的保交比性,所求的线性变换为即整理后得53本次练习6.1.16.2.1～26.2.4～5546.3分式线性函数的应用

由于线性变换具有共形性,保交比性,保圆(圆周)性和保对称点性,它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中,起着重要的作用,下面介绍一些类型.例6.355证要把Im(z)=0映照为w平面的实轴Im(w)=0。因而，z平面实轴上的三点x1,x2,x3必与w平面实轴上的三点u1,u2,u3相对应：即欲求分式线性函数满足保交比性。即解得56事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当z为实数时即实轴变为实轴是同向的,或从而57例7解故58即故解该方程组得故所的线性变换为59例6.4解由线线变换的保对称性,60由例6.2可知这个变换应具有形式,故可令从而所求的变换为由于上式把扩充平面z平面保形映照为扩充w平面，所以它把Im(z)>0保形映照成61注1确定上式变换的k,只需再给一对边界对应点.注262求把上半平面保形映照为单位圆内的分式线性函数w=f(z)，使f(i)=0，argf’(i)=π/2。例6.5解由例6.4，所求分式线性函数可设为则从而令得于是所求分式线性函数为63例6.6解由线性变换的保对称性,因此所求变换具有形式64利用单位圆周变为单位圆周的条件知,因此令从而所求的变换为提示65注1确定上式变换的k,只需再给一对边界对应点.注266例6.7解由例6.6，所求函数形如由得从而67由条件得和故所求分式线性函数为68例6.869解作线线变换复合上述两个变换得整理得70即由得从而所求的变换为故716.4指数函数与幂函数所确定的映照6.4.1指数函数所确定的映照72001)002)730000特殊地:74由指数函数w=ez所构成的映射的特点是:把水平的带形域0<Im(z)<a(a

p)映射成角形域0<argw<a.例6.9求把带形域0<Im(z)<p映射成单位圆|w|<1的一个映射.z=ez75例1求映射把如图所示的半带状域映成上半单位圆.1-11-1762014年11月19日星期三77O(z)ab(w)Opi(z)Ow=ezO(s)b-a例2求把带形域a<Re(z)<b映射成上半平面Im(w)>0