二面角习题课课件

(习题课)二面角αβl湖南省临湘市一中李君英(习题课)二面角αβl湖南省临湘市一中李君英

从空间一直线出发的两个半一、二面角的定义二、二面角的平面角的平面角

一个平面垂直于二面角的棱，且与两个半平面的交线分别是射线OA、OB,垂足为O，则∠APB叫做二面角ABOβαlαβl平面所组成的图形叫做二面角1、定义从空间一直线出发的两个半一、二面角的定义二、二面角的例1如图P为二面角α–l–β内一点，PA⊥α于点A,PB⊥β于点B,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。

设l与平面PAB相交于点O

∵PA⊥α,PB⊥β

∴PA⊥l,PA⊥l∴l⊥平面PAB连结AO、BO,则∠AOB为二面角α–l–β的平面角又∵PA=5，PB=8，AB=7∴∠APB=60º∴∠AOB=120º

∴这二面角的度数为120º解：βαABPlO例1如图P为二面角α–l–β内一点，PA⊥α于点A,PB小结一一.求二面角大小的一般步骤①找(作)二面角的平面角②证明所作角为二面角的平面角③求二面角的平面角找证求二.依据定义求二面角的平面角PαβlABO小结一一.求二面角大小的一般步骤①找(作)二面角的平面角②证例2如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在α、β内引射线PM、PN，且∠MPN=60º

∠BPM=∠BPN=45º

，求此二面角的度数。βαABPMNCDO解：在PB上取不同于P

的一点O，在α内过O作OC⊥AB交PM于C，在β内作OD⊥AB交PN于D，连CD，可得∠COD是二面角α-AB-β的平面角设PO=a

，∵∠BPM=∠BPN=45º又∵∠MPN=60º∴CD=PC

a∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90º例2如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别在小结二三.双垂线法求二面角的平面角ABαβlP小结二三.双垂线法求二面角的平面角ABαβlPOABPC取AB

的中点为E，连PE，OE∵O为AC

中点，∠ABC=90º∴OE∥BC且

OEBC在Rt△POE中，OE

，PO

∴∴所求的二面角P-AB-C

的正切值为例3如图，Rt△ABC所在平面外一点P在面ABC上的射影是Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。∴∠PEO为二面角P-AB-C

的平面角在Rt△PBE中，BE

，PB=1，PEOE⊥AB

，因此

PE⊥ABE解：EOPOABPC取AB的中点为E，连PE，OE∵O为AC中点lPαβAB小结三四.三垂线法求二面角的平面角lPαβAB小结三四.三垂线法求二面角的平面角ABCOαβ三角形ABC在面β内的射影为BCO,三角形ABC的面积为S原，三角形BCO的面积为S射,则射影面积公式设θ为所求二面角的大小，S

为二面角的一个面内的平面图形的面积，S'为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则如图,已知二面角,设它的大小为lABCOαβ三角形ABC在面β内的射影为BCO,三角形ABABCDA1C1D1EB1M例4如图，设E为正方体的边CC1的中点，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成角的余弦值。G△AB1E在底面A1B1C1D1上的射影为△A1B1C1，故这两个平面所成二面角的余弦值为ABCDA1C1D1EB1M例4如图，设E为正方体的边CF小结四五.射影法求二面角的平面角设θ为所求二面角的大小，S原为二面角的一个面内的平面图形的面积，S射为该平面图形在另一个面内的射影所组成的平面图形的面积，则F小结四五.射影法求二面角的平面角设θ为所求二面角的大小，如图（2），设二面角的大小为利用向量法求二面角的平面角①方向向量法将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱的有向线段表示的向量）的夹角。DClBA如图（2），设二面角的大小为利用向量法求二面则二面角的大小

将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角l②法向量法如图，向量则二面角的大小将二面角转化例5如图,PA⊥平面ABC，求二面角的大小PABCABCDA1C1D1B1E例6如图，在长方体AC1中,

点E在棱AB上移动AD=AA1=1,AB=2,AE等于何值时，二面角的大小为例5如图,PA⊥平面ABC，求二面角1、如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是

练习2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？ABCP60º1、如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上任VABC3.空间四边形VABC的各边及对角线均相等，求二面角的大小4.如图，空间三条直线PA

、PB

、PC，∠APC=∠APB=60°，∠BPC=90°，求二面角B－PA－

C的大小.BCAPVABC3.空间四边形VABC的各边及对角线均相等，求二面角4.如图，在△ABC

中，AD⊥BC

于D，E

是线段AD上一点，且

AE=ED

，过E

作MN∥BC

，且MN

交

AB于M

，交AC于N

，以MN为棱将△AMN折成二面角A'－MN－D，

设此二面角为α（0<α<π），连结A'B

、A'D

、A'C

，求△A'MN

与△A'BC

所夹二面角的大小.ABCDENMA’MNEBDC4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E是线段A课堂小结一.求二面角的平面角的常用方法二.降维思想将空间角转化为平面角课堂小结一.求二面角的平面角的常用方法二.降维思想将空间角1.在三棱锥A—BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，AB﹦BC﹦BD﹦1，∠CBA﹦∠CBD﹦120。

，求二面角A—BD—C的大小。ADCB同学们思考以下问题:1.由已知条件怎样找垂线?2.通过垂线怎样找二面角的平面角.观察总结:图中的红色部分有什么特点?EG课后作业1.在三棱锥A—BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，ADC2.如图示,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,P是AD的中点.求二面角的大小.A1B1C1D1ABCDPFE分析:利用三垂线定理寻找二面角的平面角,关键是如何在一个半平面找一个点,向第二个半平面做垂线,往往要结合所给的几何体,找垂直关系。由于AB⊥平面AD1,BD1在平面AD1上的射影为AD1，过点P作PF⊥AD1于F,则PF⊥平面ABD1,过F作FE⊥BD1于E，连结PE，∠PEF即为二面角A_BD1_P的平面角。观察总结:计算在哪个图形中进行的?2.如图示,正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,P3.在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC,SA﹦SC﹦,M为AB的中点⑴证明AC⊥SB;⑵求二面角S—CM—A的大小.分析：１．证明线线垂直的思路如何？２．用三垂线定理（或逆）怎么作二面角的平面角？