山西省运城市稷山县稷山中学2023-2024学年高一上学期学科素养数学试题

2023级新高一学生学科素养测试卷（数学）试卷说明：1.试卷分值：100分；建议时长：90分钟；2.请将答案正确填写到相应的答题区域。一、单选题（本题共6小题，共30分）1.化简二次根式的结果为（）A. B. C. D.2.下面命题正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则3.将下列多项式因式分解，结果中不含因式的是（）A. B.C. D.4.如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（）5.如图，在中，，于点，下列结论错误的有（）个①图中只有两对相似三角形；②；③若，，则.个 个 个 个6.下列结论正确的是（）A.设，则的最小值是B.当时，的最小值是2C.当时，D.当时，的最小值是1二、多选题（本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）7.已知一元二次方程的两个根为1，4，且，那么满足的的取值有（）A. B. C. D.8.给出下列命题，其中正确的是（）A.三角形的重心到顶点与到对边中点的距离之比为1：2B.等腰三角形的内心、重心和外心同在底边的高线上C.已知的三边之比为3：4：5，且其外接圆半径，则的面积为48D.中，若，为的内心，则三、填空题（本题共4小题，共20分）9.有下列各组关系或说法：①；②；③；④；⑤集合是由所有平行四边形构成的集合，则某个正方形是集合的元素.其中正确的个数是________.10.若，，，则________.11.下面关于集合的表示正确的序号是________.①；②；③；④.12.已知，是一元二次方程的两个实数根，若，满足，则________.四、解答题（本题共3小题，共40分）13.（12分）解下列各题：（1）计算：；（2）因式分解：；（3）计算：；（4）计算：.14.（12分）已知集合，.（1）当时，求集合；（2）若，满足：①，②，从①②中任选一个作为条件，求实数的取值范围.15.（16分）某企业参加国际商品展览会，向主办方申请了400平方米的矩形展位，展位由展示区（图中阴影部分）和过道（图中空白部分）两部分组成，其中展示区左右两侧过道宽度都为2米，前方过道宽度为4米.后期将对展位进行装修，其中展示区的装修费为100元/平方米，过道的装修费为200元/平方米.记展位靠墙的一边边长为米，整个展位的装修总费用为元.（1）请写出装修总费用关于边长的表达式；（2）如何设计展位的边长使得装修总费用最低？并求出最低费用.参考答案一、单选题（本题共6小题，共30分）1.【答案】A【解析】解：∵，∴，∴，故选：A.2.【答案】D【解析】对于选项A：当，时，满足，但，故选项A错误；对于选项B：当，时，满足，但，故选项B错误；对于选项C：当，，，时，满足，，但，故选项C错误；对于选项D：∵，∴.由于，则，即，故选项D正确.综上可得，故选D.3.【答案】C【解析】解：A.原式，不符合题意；B.原式，不符合题意；C.原式，符合题意；D.原式，不符合题意.故选：C.4.【答案】C【解析】，则图中阴影部分表示的集合为，所以的真子集为，，，，，，，共7个.故选C.5.【答案】A【解析】由图可得，故①错误；由，得，故②正确；由射影定理得，，解得，在中，，故③正确；故选A.6.【答案】C【解析】对于选项A：∵不是定值，∴不是的最小值，故选项A错误；对于选项B：当时，由基本不等式可得，等号成立的条件为，即.但，故取不到等号，故2不是的最小值，故选项B错误；对于选项C：当时，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；对于选项D：当，即时，，由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立.此时，即当时，有最大值1，故选项D错误.综上可得，故选C.二、多选题（本题共2小题，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）7.【答案】AB【解析】本题考查了一元二次不等式及方程根的关系，属于基础题.根据一元二次不等式解法直接求解即可.∵一元二次方程的两个根为1，4，且，∴由得或，故选AB.8.【答案】BD【解析】对A，重心到顶点与对边中点的距离之比为2：1，故A错误；对B，等腰三角形底边中线，底边高，顶角角平分线，三线合一，故等腰三角形的内心，重心和外心同在底边的高线上，故B正确；对C，设三边长为、、，则这个三角形为直角三角形，则外接圆半径，故，，故C错误；对D，内心是三条角平分线的交点，内心到三边的距离相等，因此，故D正确.所以答案为BD.三、填空题（本题共4小题，共20分）9.【答案】2【解析】表示正整数集，故①错误；表示有理数集，故②正确，③错误；表示实数集，为实数，故④错误；所有正方形都是平行四边形，因此某一个特殊的正方形可以作为集合𝐸的元素，故⑤正确.10.【答案】【解析】解：根据三数和平方公式，得.11.【答案】③④【解析】∵集合中的元素具有无序性，∴，∴①不成立；∵是点集，而不是点集，∴②不成立；∵与都表示大于1的实数组成的集合，∴③成立；∵与都表示奇数组成的集合，∴④成立.故答案为：③④.12.【答案】【解析】∵一元二次方程有两个实数根，，∴，即.由一元二次方程根与系数关系，可得，，则，同号.①当，都为负数时，可得解得∴，即，此时，方程无解；②当，都为正数时，可得解得∴，即，解得（舍去）或.综上可得.四、解答题（本题共3小题，共40分）13.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）；（2）原式；（3）；（4）因为所以或或解得或或，综上可得，即原不等式的解集为.14.【答案】（1）；（2）若选①，则或；若选②，则或【解析】（1）当时，集合，则.（2）若选择条件①，当时，，解得，满足题意；当时，结合，可得或解得或.综上的取值范围是或；若选择条件②，则集合是集合的子集，当时，，解得，满足题意；当时，有解得.综上的取值范围是或.15.【答案】（1），；（2）当展位区域是边长为20米的正方形区域