2022-2023学年河北省唐山市高二期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省唐山市高二期末考试数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先得到，从而求出交集.【详解】集合，集合，所以.故选：A.2．若，则（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用导数的定义和导数公式进行计算.【详解】由题意可知，，.故选：D.3．已知p：q：，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据与的互相推出情况判断出属于何种条件.【详解】当时，，所以，所以充分性满足，当时，取，此时不满足，所以必要性不满足，所以是的充分不必要条件，故选：A.4．已知函数为R上的奇函数，当时，，则等于（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【分析】根据以及可求出结果.【详解】因为函数为R上的奇函数，当时，，所以．而，∴．故选：C．5．五一放假期间，4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，若2名女生相邻且农场主站在中间，则不同的站法有（

）A．240种 B．192种 C．144种 D．48种【答案】B【分析】农场主站在中间，先考虑女生所站位置，采用捆绑法，再考虑男生的位置，利用排列知识进行求解.【详解】2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成：第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种；第二步：相邻女生排在一起有种；第三步：4名男生排在剩下的位置有种.因此2名女生相邻且农场主站在中间共有种站法.故选：B.6．甲、乙两个箱子里各装有6个大小形状都相同的球，其中甲箱中有4个红球和2个白球，乙箱中有3个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出1个球放人乙箱中，再从乙箱中随机取出1个球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式进行求解.【详解】设事件表示从甲箱中随机取出一个红球，事件表示从甲箱中随机取出一个白球，事件表示从乙箱中随机取出一个红球，则，所以.故选：B.7．已知函数，设，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的奇偶性、单调性比较大小.【详解】因为的定义域为，且，所以为偶函数，，又当时，单调递减，由以及，可得，即．故选:D．8．已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】利用等差数列的前项和公式，计算得到，再根据条件即可得到答案.【详解】因为等差数列和等差数列的前项和分别为和，所以，又，所以，因此要为整数，当且仅当是正整数，又，则是36的大于1的约数，又36的非1的正约数有2，3，4，6，9，12，18，36，共8个，则的值有1，2，3，5，8，11，17，35，共8个，所以使得为整数的正整数的个数为8.故选：C.二、多选题9．已知随机变量，且，则下列说法中正确的是（

）A．B．C．D．【答案】AC【分析】根据正态分布的对称性逐一判断即可.【详解】由，则，由，所以，故A正确，B错误；由，所以，所以，故C正确；由上可知，，故D错误.故选：AC.10．已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】“有界函数”值域需要有界，化简各函数，并求出函数的值域，然后进行判断.【详解】对于A，，由于，所以，所以，故不存在正数M，使得成立.对于B，令，则，，所以，故存在正数1，使得成立.对于C，令，则，易得.所以，即，故存在正数5，使得成立.对于D，令，则，，则，易得，所以，故存在正数，使得成立.故选：BCD.11．若，则下列说法中正确的有（

）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】利用换元法令，将方程转化为关于的多项式，然后利用赋值法进行求解即可.【详解】令，则，令，可得，即，故A正确；令，可得，故B正确；由题可知，故C正确；由，对等式两边同时求导可得：，令，可得，故D错误.故选：ABC.12．若，则下列结论中正确的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】分别构造函数，，，利用导数讨论其单调性，由单调性比较可判断ABC；构造函数，利用二次导数讨论单调性，然后由单调性可判断D.【详解】令，则在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以，即，所以，故A正确；设，则在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以，即，所以，故B正确；令，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以，即，即，即，所以，故C错误；令，则，令，所以在上恒成立，所以在上单调递减，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以，即，所以，故D正确.故选：ABD.【点睛】此类问题主要方法：先同构函数，再由导数导数讨论其单调性，然后利用单调性比较可得.三、填空题13．命题“，”的否定是．【答案】，【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.【详解】解：因为命题“，”为全称量词命题，所以该命题的否定为“，”．故答案为：，14．某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：售价88.599.510销售量1615131110根据表中数据得到关于的回归直线方程是，当售价为11.5元时，预测销售量为件.【答案】5【分析】根据回归方程过样本中心点，求得，然后可得预测值.【详解】由题意可知，故回归直线过点，所以，解得，所以关于的回归直线方程是，当时，，即售价为11.5元时，预测销售量为5件.故答案为：515．若直线与曲线相切于点，则.【答案】【分析】利用切点在曲线上和在切线上，以及切点处的导数等于切线斜率可解.【详解】将代入，得，所以，可得又在直线上，所以，解得.故答案为：.16．一个笔袋内装有10支同型号签字笔，其中黑色签字笔有7支，蓝色签字笔有3支，若从笔袋内每次随机取出1支笔，取后不放回，取到蓝色签字笔就停止，最多取5次，记取出的签字笔个数为X，则．【答案】【分析】根据X的可能取值是1，2，3，4，5，求得其相应的概率，再利用期望公式求解.【详解】解：X的可能取值是1，2，3，4，5，则，，，，，所以．故答案为：四、解答题17．某工厂生产某产品的成本（万元）与销售额（万元）的几组对应数据如下表所示：成本（万元）1020304050销售额（万元）4070110130150(1)根据以往经验可知，成本（万元）与销售额（万元）之间具有线性相关关系，求销售额关于成本的经验回归方程；(2)根据（1）中经验回归方程，预测当销售额为200万元时，成本为多少万元？（结果保留一位小数）参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，其中为样本的平均值.参考数据：.【答案】(1)(2)65.7万元【分析】（1）先求出样本中心点的坐标，利用公式求出再求出的值即可；（2）令，求得的值即可.【详解】（1），所以，所以回归方程为（2）由（1）知，令，得（万元），即预测当销售额为200万元时，成本大约为65.7万元.18．设函数.(1)若关于的不等式的解集为，求的解集；(2)若时，，求的最小值.【答案】(1)(2)9【分析】（1）根据不等式的解集得到方程的根，代入求出，从而解不等式求出解集；（2）先得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】（1）由题知的两个根分别是，3，则，解得故，，解得.所求解集为.（2）时，，即，所以有，那么，当且仅当，即时，取等号.故的最小值为9.19．已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定的递推公式，结合“”求解作答.（2）由（1）的结论，利用错位相减法求和作答.【详解】（1）在数列中，，当时，，两式相减得，即，而，有，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，所以的通项公式是.（2）由（1）知，则，于是，两式相减得，所以.20．随着互联网发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动.某学校从全体学生中随机抽取了400人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如下表所示：男女合计了解150240不了解90合计(1)根据所提供的数据，完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关？(2)对了解“网络安全宣传倡议”的人按性别用比例分配的分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为抽取的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】(1)列联表见解析，有关(2)分布列见解析，【分析】（1）完成列联表，利用公式求解，即可得出结论.（2）利用超几何分布求解对应概率，得出分布列，即可得出结果.【详解】（1）根据题意，得到列联表为：男女合计了解15090240不了解7090160合计220180400零假设为：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关联.根据列联表中数据，可以求得：，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关.（2）从男生中抽取：（人），从女生中抽取：（人）.的所有可能取值为，，，，，，的分布列为：所以.21．高二年级上学期共进行5次月考，每次月考成绩互不影响.记语文和英语为文科科目，记数学和物理为理科科目，其余科目暂不参与评估.每次月考中，文科科目与理科科目总数不少于3门成绩优秀，将获得“优学达人”称号，某学生在高二上学期的月考中，从文科科目和理科科目中各随机抽取5次成绩，其中4次文科科目和3次理科科目成绩优秀.(1)从文理科各抽取的5次成绩中，分别随机抽取2次文科科目和2次理科科目成绩，求至少有3次成绩优秀的概率；(2)经过该学生寒假期间的自主学习，每次月考文科科目和理科科目每门成绩优秀的概率分别为，，且，高二下学期共进行5次月考，设该学生在这5次月考中获得“优学达人”称号的次数为，求的数学期望的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）分三种情况：1次文科科目和2次理科科目成绩优秀，2次文科科目和1次理科科目成绩优秀，2次文科科目和2次理科科目成绩优秀，分别求出各种情况的概率，再利互斥事件有一个发生的概率公式即可求出结果；（2）先求出自主学习后该同学每次月考获得“优学达人”的概率，并求出其范围，根据条件知学生获得“优学达人”称号的次数，再利用二项分布的均值公式即可求出结果.【详解】（1）由题可知，所有可能的情况有：①1次文科科目和2次理科科目成绩优秀的概率为，②2次文科科目和1次理科科目成绩优秀的概率为，③2次文科科目和2次理科科目成绩优秀的概率为，故所求的概率为.（2）由已知可得，自主学习后该同学每次月考获得“优学达人”的概率为，因为，且，所以，即，所以，所以，所以.令，则在上单调递减，所以，因为该学生获得“优学达人”称号的次数，所以，即的数学期望的取值范围是.22．设函数，，.(1)求在上的单调区间；(2)若在y轴右侧，函数图象恒不在函数的图象下方，求实数a的取值范围；(3)证明：当时，.【答案】(1)答案见解析(2)a≤1(3)证明见解析【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间；（2）设函数，求得，令，求得，分和，两种情况讨论，求解函数的单调，进而求得的取值范围.（3）取，由（2）知，令，，令，化简得到，进而证得结论.【详解】（1）解：由函数，可得，当，即时，，此时函数在上单调递增；当，即时，令，解得；令，解得，函数在上单调递增，在上单调递减，综上，当时，函数单调递增区间为；当时，单调递增区间为，递减区间为.（2）解：设函数，则，令，则，当，即时，，即，即，所以成立，此时符合题意；当，即时，令，解得，所以在区间上单调递减，