2022-2023学年河北省张家口市尚义县高一年级下册学期6月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年河北省张家口市尚义县高一下学期6月月考数学试题一、单选题1．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，分别求出，，然后利用乘法运算计算即可.【详解】因为，故，，故.故选：B.2．平面向量.若，则（

）A． B．0 C． D．【答案】D【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详解】，由得，解得，故选：D.3．下列说法中正确的是（

）A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体B．圆锥的顶点､圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形C．用一平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台D．过球上任意两点，有且仅有一个大圆【答案】B【分析】由几何体的结构特征逐项判断即可.【详解】以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误；因为圆锥的顶点与底面圆心连线垂直底面，所以圆锥的顶点､圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线可以构成直角三角形，故B正确；用一平行底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故错误；当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故D错误.故选：B.4．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】根据图形进行转化，结合异面直线夹角求法，运用余弦定理求解.【详解】取中点，连接，延长至点，使得，连接，则，所以四边形是平行四边形，所以，因为,，所以四边形是平行四边形，所以，所以，所以是异面直线与夹角或其补角，

设正方体棱长为1，则，在中，，在中，，在中，由余弦定理得，，所以异面直线与夹角的余弦值为.故选：D5．已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若是异面直线，，则与不一定平行【答案】C【分析】根据三棱柱中即可找反例判断AB,由线面垂直的性质可判断C，由线面平行的性质，结合直线反证法即可判断D.【详解】如图，在直三棱柱中，是锐角三角形，

对于，分别为，直线为直线，满足，而与不垂直，不正确；对于，平面与平面分别为，平面为平面，满足，而平面与不垂直，不正确；对于，由线面垂直的性质“垂直于同一个平面的两条直线平行”可知正确；对于，假若与不平行，则存在直线，使得，由于，同理可得，由平行线的传递性可知，这与是异面直线矛盾，故假设不成立，故，D不正确.故选：C.6．已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置的斜二测直观图为矩形，如图所示，若，则该直四棱柱的体积为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】求出四边形各边的长，即可求出该直四棱柱的体积.【详解】由题意，在斜二测直观图为矩形中，，∴，∴四边形中，在四边形中，，∴平行四边形的面积为：，∴该直四棱柱的体积为：.故选：B.7．在中，角的对边分别为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据边角转化，算出，然后根据正弦定理算出.【详解】因为，由正弦定理可得：，由，则，得到，即，又，则，因为，根据正弦定理，.故选：B8．在三棱锥中，底面，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用线面垂直的判定定理推得与平面所成角为，再利用余弦定理与勾股定理依次求得，从而得解.【详解】作于，连接，如图，

因为底面，底面，故，又，平面，故平面，所以与平面所成角为，在中，，由余弦定理得，故，则，又，即，解得，因为底面，底面，故，在中，，所以.故选：D.二、多选题9．过所在平面外一点，作，垂足为，连接，则正确的选项为（

）A．若，则是边的中点B．若到三边的距离相等，则是的内心C．若，则是的垂心D．若，则是的外心【答案】ABC【分析】应用直线与平面垂直的判定和性质，平面几何中三角形的内心、垂心和外心的知识即可求解．【详解】对于A选项，因为，，所以，所以，又因为，所以，所以，所以O为的外心，又因为，所以是边的中点，故A正确.

对于B选项，如图，在平面内，过点作，连接，由A同理可知，，则，所以是的内心，故B正确.

对于C选项，因为，面，，所以面，因为面，所以，因为，，所以，因为面，，所以面，因为面，所以，同理，，所以是的垂心，故C正确.

对于D选项，因为，，所以，又因为，面，，所以面，因为面，所以，同理，，所以是的垂心，故D错误.

故选：ABC10．内角的对边分别为，已知，则的值可以为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】利用二倍角公式及正弦定理将角化边，再结合已知条件求出，从而求出，再分和两种情况讨论，分别求出.【详解】因为，所以，由正弦定理可得，又，，所以，因为，所以，所以，又，所以或，当时，所以，当时，则，所以.故选：AB.11．在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（

）A．若，则一定是等边三角形B．若，则为等腰直角三角形C．若，则是等腰直角三角形D．若，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则【答案】AB【分析】利用正弦定理边化角分别对ABC中的等式进行化简，结合三角恒等变换知识可确定的形状，得到ABC正误；根据三角形解的个数可得，结合三角函数性质可确定D错误.【详解】对于A，由正弦定理得：，即，，，为等边三角形，A正确；对于B，由正弦定理得：，，，又，，，为等腰直角三角形，B正确；对于C，由正弦定理得：，即，，则，，又，，，即，为等腰三角形，C错误；对于D，要使满足条件的三角形有且仅有两个，则，即，，又，，，D错误.故选：AB.12．已知圆锥（为圆锥顶点，为底面圆心）轴截面是边长为4的等边三角形，则下面选项正确的是（

）A．圆锥的高为B．圆锥的侧面积为C．圆锥的内切球表面积为D．若为的中点，则沿圆锥的侧面由点到点的最短路程是【答案】BC【分析】根据轴截面可得圆锥的母线和底面圆半径，进而可求解圆锥的高，即可求解A，由侧面积公式可求解B，由相切，结合相似可求解C,由弧长公式以及勾股定理可判断D.【详解】对于，圆锥轴截面是边长为4的等边三角形，可得圆锥的底面圆的半径为，高，所以错误；对于中，母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积为，所以B正确；对于，设圆锥的内切球球心为，半径为，如图所示，

由与相似，可得，即，解得，即圆锥的内切球的表面积为，所以正确；对于，如图所示，设圆锥侧面展开图圆心角为，由弧长等于底面圆的周长，可得，可得，

在直角中，，可得，即若为的中点，则沿圆锥的侧面由点到点的最短路程是，所以不正确.故选：BC.三、填空题13．已知复数满足，则.【答案】【分析】根据的两个方程，消去即可.【详解】由题意得，所以.故答案为：14．已知，则向量在方向上的投影向量坐标为.【答案】【分析】根据投影向量的定义结合数量积的运算，即可求得答案.【详解】因为，所以在方向上的投影向量坐标为，故答案为：15．已知一个直角三角形的两直角边长分别是3，4，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体的表面积为.【答案】【分析】由题意可知，所围成的旋转体是两个圆锥的组合体，由圆锥的侧面积公式求解即可.【详解】一个直角的两直角边长分别是，所以，斜边长为，以这个直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个圆锥的组合体，如图所示，

，故旋转体的表面积为故答案为：16．已知经过圆锥的顶点与底面圆心的截面是边长为的等边三角形，一个圆柱的下底面在该圆锥的底面上，上底面圆周在该圆锥的侧面上，则该内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为.【答案】/【分析】设内接圆柱的底面半径为，结合圆锥轴截面可用表示出内接圆柱的高，代入圆柱侧面积公式中，结合基本不等式可确定最大值，并确定此时圆柱的高.【详解】作出圆锥的轴截面，如图所示，

圆锥轴截面是边长为的等边三角形，圆锥的底面圆的半径，高，设内接圆柱的底面半径为，在中，，，，，内接圆柱的侧面积（当且仅当，即时取等号），此时，当圆锥的内接圆柱的侧面积最大时，该圆柱的高为.故答案为：.四、解答题17．已知复数，其中.(1)若，求实数的值；(2)若且是纯虚数，求.【答案】(1)1(2)【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；（2）根据复数代数形式的除法运算化简，根据复数的类型得到方程（不等式）组，求出的值，即可得到，再根据复数的乘方的性质计算可得.【详解】（1）复数，则，又，因此，解得，所以实数的值是1.（2）复数，则，因为是纯虚数，于是，解得，因此，又，则，即有，所以.18．在直四棱柱中，分别是的中点.

(1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离；(3)是否在平面上，回答是与否，不需要说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)(3)否【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可完成证明；（2）因为，利用等体积转化可求得点到平面的距离；（3）利用平面的性质即可.【详解】（1）连结交于点，连结，因为点分别是的中点，所以，且，所以，即四边形是平行四边形，所以，且平面平面，所以平面.

（2）因为，则，所以，所以，因为，且，所以平面，因为，所以点到平面的距离为，设点到平面的距离为，根据等体积转化可知，即，解得：，所以点到平面的距离为.（3）若假设在平面上，即四点共面.因为平面平面,平面平面,平面平面,则,但是不平行于，显然矛盾，所以假设错误，即不在平面上.所以答案为：否.19．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设.

(1)用向量与表示向量；(2)若，求证：三点共线.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；（2）利用向量的线性运算及向量共线的充要条件即可求解.【详解】（1）是的中点，；.（2），与平行，又与有公共点，三点共线.20．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点为上一点.

(1)若点为中点，求证：平面；(2)若，平面平面，求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；（2）由面面垂直的判定定理与性质定理证明即可.【详解】（1）连接交于，连接，如图所示；因为为的中点，是的中点，则平面平面，所以平面

（2）在中，，所以，所以，所以；因为四边形是平行四边形，所以，所以；又因为平面平面，且平面平面平面，所以平面；因为平面，所以平面平面.21．已知的内角的对边分别为，.(1)求；(2)求面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出，即可得解；（2）由余弦定理及基本不等式求出的最大值，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）因为，由正弦定理得，根据余弦定理可知，所以，又，得，因为，所以.（2）因为，，由余弦定理，即，由于，所以，即（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），所以时的面积最大，最大值为.22．如图1所示，在梯形中，，分别延长两腰交于点，点为线段上一点，将沿折起到的位置，使，如图2所示.

(1)求证：平面；(2)若，二面角的平面角为