北京市延庆县名校2024届数学九上期末质量检测模拟试题含解析

北京市延庆县名校2024届数学九上期末质量检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．已知反比例函数的表达式为，它的图象在各自象限内具有y随x的增大而增大的特点，则k的取值范围是（）．A．k>-2 B． C． D．2．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线y＝上，如果x1＜x2，而且x1•x2＞0，则以下不等式一定成立的是（）A．y1+y2＞0 B．y1﹣y2＞0 C．y1•y2＜0 D．＜03．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定4．阅读理解：已知两点，则线段的中点的坐标公式为：，．如图，已知点为坐标原点，点，经过点，点为弦的中点．若点，则有满足等式：．设，则满足的等式是（）A． B．C． D．5．已知下列命题：①等弧所对的圆心角相等；②90°的圆周角所对的弦是直径；③关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则ac<0；④若二次函数y=的图象上有两点（－1，y1）、（2，y2），则>；其中真命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（）A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍C．△ABC放大后，周长是原来的4倍D．△ABC放大后，面积是原来的16倍7．下面四组线段中不能成比例线段的是（）A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、8．已知点A（-2，m），B（2，m），C（3，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（）A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝x2 D．y＝﹣x29．若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为()A．-2 B．1 C．2 D．010．某车间20名工人日加工零件数如表所示：日加工零件数45678人数26543这些工人日加工零件数的众数、中位数、平均数分别是（）A．5、6、5 B．5、5、6 C．6、5、6 D．5、6、611．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（）A．-1 B．-3 C．3 D．612．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．若是一元二次方程的两个实数根，则_______．14．计算：sin260°+cos260°﹣tan45°=________．15．如图，将一个含30°角的三角尺ABC放在直角坐标系中，使直角顶点C与原点O重合，顶点A，B分别在反比例函数y＝﹣和y＝的图象上，则k的值为___．16．如图所示，等腰三角形，，，…，（为正整数）的一直角边在轴上，双曲线经过所有三角形的斜边中点，，，…，，已知斜边，则点的坐标为_________．17．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＜0；④2a+b+c＞0；⑤>0；⑥2a+b=0；其中正确的结论的有_______．18．若代数式有意义，则的取值范围是____________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与BC边交于点E，⊙O过AB上一点D，且DE∥AO，CE是⊙O的直径．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．20．（8分）为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）：小华：7，8，7，8，9，9；小亮：5，8，7，8，1，1．（1）填写下表：平均数（环）中位数（环）方差（环2）小华8小亮83（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差．（填“变大”、“变小”、“不变”）21．（8分）游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段表示距离水面（x轴）高度为5m的平台（点P在y轴上）.滑道可以看作反比例函数图象的一部分，滑道可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B为二次函数的顶点，且点B到水面的距离，点B到y轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C时，与水面的距离，与点B的水平距离.（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；（2）求整条滑道的水平距离；（3）若小明站在平台上相距y轴的点M处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N距离平台，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p，若水流最终落在滑道上（包括B、D两点），直接写出p的取值范围.22．（10分）（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA=3，OB=4，OC=5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．求：①旋转角的度数；线段OD的长为．②求∠BDC的度数；（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC=90°？请给出证明．23．（10分）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，∠ACE的平分线CD交EF于点D，连接AD、AF．（1）求∠CFA度数；（2）求证：AD∥BC．24．（10分）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值.25．（12分）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．(1)求证：DC=BD(2)求证：DE为⊙O的切线26．如图，己知抛物线的图象与轴的一个交点为另一个交点为，且与轴交于点（1）求直线与抛物线的解析式；（2）若点是抛物线在轴下方图象上的－一动点，过点作轴交直线于点，当的值最大时，求的周长．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】先根据反比例数的图象在每一象限内y随x的增大而增大得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．【题目详解】解：∵反比例数的图象在每一象限内y随x的增大而增大，

∴＜0，解得k＜-1．

故选：C．【题目点拨】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键2、B【分析】根据题意可得x1＜x2，且x1、x2同号，根据反比例函数的图象与性质可得y1＞y2，即可求解．【题目详解】反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小，而x1＜x2，且x1、x2同号，所以y1＞y2，即y1﹣y2＞0，故选：B．【题目点拨】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．3、B【解题分析】试题分析：先求出△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.考点：一元二次方程根的判别式．4、D【解题分析】根据中点坐标公式求得点的坐标，然后代入满足的等式进行求解即可.【题目详解】∵点，点，点为弦的中点，∴，，∴，又满足等式：，∴，故选D．【题目点拨】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式．5、B【分析】利用圆周角定理、一元二次方程根的判别式及二次函数的增减性分别判断正误后即可得到正确的选项．【题目详解】解：①等弧所对的圆心角也相等，正确，是真命题；②90°的圆周角所对的弦是直径，正确，是真命题；③关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则b2－ac＞0，但不能够说明ac<0，所以原命题错误，是假命题；④若二次函数的图象上有两点（－1，y1）（2，y2），则y1＞y2，不确定，因为a的正负性不确定，所以原命题错误，是假命题；其中真命题的个数是2，故选：B．【题目点拨】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆周角定理、一元二次方程根的判别式及二次函数的增减性，难度不大．6、A【解题分析】试题分析：用一个4倍放大镜照△ABC，放大后与原三角形相似且相似比为1：4，相似三角形对应角相等，对应边的比等于相似比、对应周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，故A选项错误．故选A．考点：相似三角形的性质．7、B【分析】根据成比例线段的概念，对选项进行一一分析，即可得出答案．【题目详解】A．2×6=3×4，能成比例；B．4×10≠5×6，不能成比例；C．1×=×，能成比例；D．2×=×，能成比例．故选B．【题目点拨】本题考查了成比例线段的概念．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．8、D【分析】可以采用排除法得出答案，由点A（-2，m），B（2，m）关于y轴对称，于是排除选项A、B；再根据B（2，m），C（3，m﹣n）（n＞0）的特点和二次函数的性质，可知抛物线在对称轴的右侧呈下降趋势，所以抛物线的开口向下，即a<0.【题目详解】解：∵A（-2，m），B（2，m）关于y轴对称，且在同一个函数的图像上，

而，的图象关于原点对称，∴选项A、B错误，只能选C、D，，

；

∵，在同一个函数的图像上，而y＝x2在y轴右侧呈上升趋势，∴选项C错误，而D选项符合题意.故选：D．【题目点拨】本题考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，熟悉各个函数的图象和性质是解题的基础，发现点的坐标关系是解题的关键.9、C【分析】根据方程的解的定义，把x=1代入方程，即可得到关于a的方程，再求解即可．【题目详解】解：根据题意得：1-3+a=0

解得：a=1．

故选C．【题目点拨】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0.10、D【题目详解】5出现了6次，出现的次数最多，则众数是5；把这些数从小到大排列，中位数是第10，11个数的平均数，则中位数是（6＋6）÷2＝6；平均数是：（4×2＋5×6＋6×5＋7×4＋8×3）÷20＝6；故答案选D．11、C【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求解即可．【题目详解】∵关于的方程有两个相等的实数根，

∴，

解得：．故选：C．【题目点拨】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12、B【分析】求出△ABC的三边长，再分别求出选项A、B、C、D中各三角形的三边长，根据三组对应边的比相等判定两个三角形相似，由此得到答案.【题目详解】如图，，AC=2，,A、三边依次为：，，1，∵，∴A选项中的三角形与不相似；B、三边依次为：、、1，∵，∴B选项中的三角形与相似；C、三边依次为：3、、，∵，∴C选项中的三角形与不相似；D、三边依次为：、、2，∵，∴D选项中的三角形与不相似；故选：B.【题目点拨】此题考查网格中三角形相似的判定，勾股定理，需根据勾股定理分别求每个三角形的边长，判断对应边的比是否相等是解题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、1【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出，即可求得答案．【题目详解】∵是一元二次方程的两个实数根，∴，，∴，故答案为：1.【题目点拨】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，方程的两个根为，则，.14、0【分析】将特殊角的三角函数值代入求解.【题目详解】.故答案为.【题目点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.15、1．【分析】过A作AE⊥y轴于E过B作BF⊥y轴于F，通过△AOE∽△BOF，得到，设，于是得到AE=-m，，从而得到，，于是求得结果．【题目详解】解：过作轴于过作轴于，，，，，，，，设，，，，，，．故答案为1．【题目点拨】此题考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于作辅助线和利用三角函数进行解答.16、【分析】先求出双曲线的解析式，设=2，=2，分别求出和的值，从中找到规律表示出的值，据此可求得点的坐标.【题目详解】解：∵，是等腰三角形，∴==4，∴的坐标是（-4，4），∴的坐标是（-2，2），∴双曲线解析式为，设=2，则=2，∴的坐标是（-4-2，2），∴的坐标是（-4-，），∴（-4-）=-4，∴=（负值舍去），∴=，设=2，则=2，同理可求得=，∴=，……，依此类推=，∴==，∴=+++……+=4+++……+=∴的坐标是（，），故答案是：（，）.【题目点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了等腰直角三角形的性质．17、①④⑤⑥【分析】①由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据对称轴位置确定b的符号，可对①作判断；②令x＝－1，则y＝a－b＋c，根据图像可得：a－b＋c＜1，进而可对②作判断；③根据对称性可得：当x＝2时，y＞1，可对③对作判断；④根据2a＋b＝1和c＞1可对④作判断；⑤根据图像与x轴有两个交点可对⑤作判断；⑥根据对称轴为：x＝1可得：a＝－b，进而可对⑥判作断．【题目详解】解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a＜1．∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b＞1；∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞1，∴abc＜1；故①正确；②∵令x＝－1，则y＝a－b＋c＜1，∴a＋c＜b，故②错误；③根据抛物线的对称性知，当x＝2时，y＞1，即4a＋2b＋c＞1；故③错误；④∵对称轴方程x＝－＝1，∴b＝－2a，∴2a＋b＝1，∵c＞1，∴2a＋b＋c＞1，故④正确；⑤∵抛物线与x轴有两个交点，∴ax2＋bx＋c＝1由两个不相等的实数根，∴＞1，故⑤正确．⑥由④可知：2a＋b＝1，故⑥正确．综上所述，其中正确的结论的有：①④⑤⑥．故答案为：①④⑤⑥．【题目点拨】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，二次函数最值的熟练运用．18、x≥1且x≠1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求解．【题目详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：x-1≥0且x-1≠0，

解得：x≥1且x≠1．

故答案为：x≥1且x≠1．【题目点拨】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数，难度不大.三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）AC＝1【分析】（1）要证AB切线，连接半径OD，证∠ADO＝90°即可，由∠ACB＝90°，由OD＝OE，DE∥OA，可得∠AOD＝∠AOC，证△AOD≌△AOC（SAS）即可，（2）AB是⊙O的切线，∠BDO＝90°，由勾股定理求BE，BC＝BE+EC可求，利用AD，AC是⊙O的切线长，设AD＝AC＝x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2构造方程求AC即可．【题目详解】（1）证明：连接OD，∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∵DE∥OA，∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，∴∠AOD＝∠AOC，∵AC是切线，∴∠ACB＝90°，在△AOD和△AOC中，∴△AOD≌△AOC（SAS），∴∠ADO＝∠ACB＝90°，∵OD是半径，∴AB是⊙O的切线；（2）解：∵AB是⊙O的切线，∴∠BDO＝90°，∴BD2+OD2＝OB2，∴42+32＝（3+BE）2，∴BE＝2，∴BC＝BE+EC＝8，∵AD，AC是⊙O的切线，∴AD＝AC，设AD＝AC＝x，在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴（4+x）2＝x2+82，解得：x＝1，∴AC＝1．【题目点拨】本题考查AB切线与切线长问题，掌握连接半径OD，证∠ADO＝90°是证切线常用方法，利用△AOD≌△AOC（SAS）来实现目标，先在Rt△BOD，用勾股定理求BE，再利用AD，AC是⊙O的切线长，在Rt△ABC中，用勾股定理构造方程求AC是解题关键．20、（1）8，8，；（2）选择小华参赛．（3）变小【分析】（1）根据方差、平均数和中位数的定义求解；

（2）根据方差的意义求解；

（3）根据方差公式求解．【题目详解】（1）解：小华射击命中的平均数:=8,小华射击命中的方差:,小亮射击命中的中位数:；（2）解：∵小华＝小亮，S2小华＜S2小亮∴选小华参赛更好，因为两人的平均成绩相同，但小华的方差较小，说明小华的成绩更稳定，所以选择小华参赛．（3）解：小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差变小.【题目点拨】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数和众数．21、（1），；（2）7m；（3）.【分析】（1）在题中，BE=2，B到y轴的距离是5，即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已告知，则可求出比例系数k；（2）根据B，C的坐标求出二次函数解析式，得到点D坐标，即OD长度再减去AP长度，可得滑道ABCD的水平距离；（3）由题意可知点N为抛物线的顶点，设水流所成抛物线的表达式为，通过计算水流分别落到点B和点D可以得出p的取值范围.【题目详解】解：（1）∵，点B到y轴的距离是5，∴点B的坐标为.设反比例函数的关系式为，则，解得.∴反比例函数的关系式为.∵当时，，即点A的坐标为，∴自变量x的取值范围为；（2）由题意可知，二次函数图象的顶点为，点C坐标为.设二次函数的关系式为，则，解得.∴二次函数的关系式为.当时，解得（舍去），∴点D的坐标为，则.∴整条滑道的水平距离为：；（3）p的取值范围为.由题意可知，点N坐标为（，即，为抛物线的顶点.设水流所成抛物线的表达式为.当水流落在点时，由，解得；当水流落在点时，由，解得.∴p的取值范围为.【题目点拨】此题主要考查了反比例函数和二次函数的基本性质和概念，以及用待定系数法求函数的解析式，难度较大．错因分析较难题.失分原因是（1）没有掌握利用待定系数法求反比例函数解析式；（2）没有掌握二次函数的基本性质，利用二次函数的性质求得点D的坐标；（3）没有掌握利用顶点式求二次函数的解析式，根据B，D两点的坐标进而求得p的取值范围.22、（1）①，4；②；（2），证明见解析．【分析】（1）①根据等边三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝60°，再根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝60°，于是可确定旋转角的度数为60°；由旋转的性质得BO＝BD，加上∠OBD＝60°，则可判断△OBD为等边三角形，所以OD＝OB＝4；②由△BOD为等边三角形得到∠BDO＝60°，再利用旋转的性质得CD＝AO＝3，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°，所以∠BDC＝∠BDO＋∠ODC＝150°；（2）根据旋转的性质得∠OBD＝∠ABC＝90°，BO＝BD，CD＝AO，则可判断△OBD为等腰直角三角形，则OD＝OB，然后根据勾股定理的逆定理，当CD2＋OD2＝OC2时，△OCD为直角三角形，∠ODC＝90°．【题目详解】解：（1）①∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，∴∠OBD＝∠ABC＝60°，∴旋转角的度数为60°；∵旋转至，∴，，，∴为等边三角形∴，，故答案为：60°；4②在中，，，，∵∴∴为直角三角形，，∴（2）时，，理由如下：∵绕点顺时针旋转后得到，∴，，，∴为等腰直角三角形，∴∵当时，为直角三角形，，∴，即∴当满足时，．【题目点拨】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判断与性质和勾股定理的逆定理．23、（1）75°（2）见解析【解题分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ACB＝60°，BC＝AC，由旋转的性质可得CF＝BC，∠BCF＝90°，由等腰三角形的性质可求解；（2）由“SAS”可证△ECD≌△ACD，可得∠DAC＝∠E＝60°＝∠ACB，即可证AD∥BC．【题目详解】