包头九中高二下学期月月考数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年内蒙古包头九中高二（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题(每小题5分，共60分）：1．在用反证法证明“自然数a，b,c中恰有一个偶数"时的正确反设应为（）A．a，b,c都是奇数B．a，b,c都是奇数或至少有两个偶数C．a，b，c都是偶数D．a，b，c中至少有两个偶数2．有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为(）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误3．设(i是虚数单位）,则在复平面内,对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=(）A．2 B．﹣2 C．﹣ D．5．已知函数f(x)=ax3﹣x2+x﹣5在（﹣∞，+∞)上既有极大值，也有极小值,则实数a的取值范围为（)A．a＞ B．a≥ C．a＜且a≠0 D．a≤且a≠06．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为（）A．π B．π C．π D．π7．已知x，y满足不等式，设z=，则z的最大值与最小值的差为（）A．1 B．2 C．3 D．48．函数f(x）=xcosx的导函数f′（x）在区间上的图象大致是（）A． B． C． D．9．直线l过点（2，0）且与曲线相切，设其倾斜角为，则α=（)A．30° B．45° C．60° D．135°10．设n∈N＊,f（n）=1+++…+，计算知f(2）=，f（4)＞2,f（8）＞，f（16)＞3,f(32）＞,由此猜测（）A．f(2n）＞ B．f（n2）≥ C．f（2n）≥ D．以上都不对11．过原点的直线l与抛物线y=x2﹣2ax（a＞0）所围成的图形的面积为y=a3,则直线l的方程为（）A．y=ax B．y=ax或y=﹣6ax C．y=﹣ax D．y=ax或y=﹣5ax12．设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在(0，+∞)上f′(x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥,则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．二、填空题（每小题5分，共30分）：13．已知复数z满足z（1﹣i)=﹣1﹣i,则｜z+1|=．14．复数f（x)=,则dx=．15．f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内单调递增，则实数m取值范围为．16．已知函数f（x）=3x2+1，g（x）=x3﹣9x,．若函数f（x）+g（x）在区间上的最大值为28，则k的取值范围为．17．在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）"时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k（k+1）=由此得1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3)…n（n+1）=相加,得1×2+2×3+…+n（n+1）=n(n+1)(n+2）类比上述方法,请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”，其结果为．18．已知函数f（x）=xsinx，x∈R，f（﹣4），f（），f（﹣)的大小关系为．三、解答题（每小题12分，共60分）：19．当实数m为何值时,复数z=lg（m2﹣4m﹣11）+（m2﹣2m﹣8）i为:（1）实数；(2）纯虚数．20．已知函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1处取得极值0．（1）试确定a、b之值；（2）若方程f(x）=k有三个解,试确定k的取值范围．21．用数学归纳法证明：（n+1)（n+2）（n+3）…(n+n）=2n•1•3…(2n﹣1）（n∈N＊）．22．f(x)=ex﹣ax（a＞1）,试讨论f(x）在上的最大值．23．已知函数，a∈R(1)求函数f（x）的单调区间；（2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M(m,f（m))，对任意x∈上的图象大致是(）A． B． C． D．【考点】35:函数的图象与图象变化．【分析】判断一个函数在定区间上的图象形状，我们可以根据函数的解析式分析函数的性质，由函数f（x）=xcosx的解析式，我们求出导函数f′(x）的解析式，将x=0代入，判断是否经过原点，可以排除到两个答案，再利用导函数的最值,对剩余的两个答案进行判断，即可得到答案．【解答】解:∵f（x）=xcosx，∴f‘（x）=xcosx=cosx﹣xsinx，∵f‘（0）=1，可排除C、D；又∵f‘（x）在x=0处取最大值；故排除B故选A9．直线l过点（2，0）且与曲线相切,设其倾斜角为，则α=（)A．30° B．45° C．60° D．135°【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标,求出函数的导数,利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式求出切线方程，代入点（2,0）,解方程即可得到结论．【解答】解:∵,∴函数的导数为y′=，设切点坐标为（x0，﹣）,∴切线方程为y+=(x﹣x0），∵切线l过点(2，0），∴解得x0=0,∴=1=tanα，∴α=45°．故选B．10．设n∈N*，f（n)=1+++…+，计算知f(2）=，f（4)＞2，f(8）＞，f（16)＞3，f（32)＞，由此猜测（)A．f（2n）＞ B．f（n2）≥ C．f(2n）≥ D．以上都不对【考点】F3：类比推理．【分析】本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的不等式f（2）=，f（4)＞2，f（8）＞，f（16）＞3，f（32)＞，分析不等式左边的自变量,及右边数的与项的关系，我们易得左边的自变量值为2n，右边的分母都为2，分子为n+2，由此归纳推理后，不难等到第n个不等式．【解答】解：由已知f（2）=f(21）=,f（4）=f（22)＞,f（8）=f（23）＞,f（16）=f(24）＞,f（32）=f（25)＞，…故猜测f（2n）≥．故选C11．过原点的直线l与抛物线y=x2﹣2ax(a＞0）所围成的图形的面积为y=a3，则直线l的方程为（）A．y=ax B．y=ax或y=﹣6ax C．y=﹣ax D．y=ax或y=﹣5ax【考点】K8:抛物线的简单性质;69：定积分的简单应用．【分析】设l的方程为：y=kx，将直线与抛物线方程联解，得到两交点的横坐标分别为0与2a+k．由此分2a+k≥0与2a+k＜0两种情况讨论，根据定积分计算公式与微积分的几何意义建立关于a、k的方程，解出k值即可得到所求直线l的方程．【解答】解:设l的方程为：y=kx，由，解得x=0或x=2a+k,（1)若2a+k≥0，则所围成图形的面积S=(kx﹣x2+2ax）dx=（kx2﹣x3+ax2）==a3，解得：k=a．∴所求直线l方程为:y=ax．(2）若2a+k＜0，则所围成图形的面积S=（kx﹣x2+2ax）dx=(kx2﹣x3+ax2）=﹣=a3，解之得k=﹣5a∴所求直线l方程为：y=﹣5ax．综上所述，直线l的方程为y=ax或y=﹣5ax，故选：D．12．设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2,若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造辅助函数，由f（x）是奇函数，g（﹣x)+g（x)=0,可知g（x）是奇函数，求导判断g（x）的单调性，,即g（1﹣m)≥g（m），解得m的取值范围．【解答】解：令，∵，∴函数g（x）为奇函数，∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′(x）﹣x2＜0，函数g(x)在x∈（0，+∞）为减函数,又由题可知，f（0)=0，g（0）=0，所以函数g（x）在R上为减函数，，即g（1﹣m）≥g（m)，∴1﹣m≤m，∴．故选B．二、填空题（每小题5分，共30分）:13．已知复数z满足z(1﹣i）=﹣1﹣i，则|z+1｜=．【考点】A8：复数求模．【分析】设出z=a+bi，求出a,b的值,从而求出｜z+1|的值即可．【解答】解：设z=a+bi，∵z（1﹣i)=﹣1﹣i，∴(a+bi）(1﹣i）=a+b+（b﹣a)i=﹣1﹣i，∴，解得：,∴z=﹣i，则|z+1|=|1﹣i|=，故答案为：．14．复数f（x)=，则dx=+ln2．【考点】67：定积分．【分析】利用定积分的可加性将所求写成两个定积分相加的形式，然后计算定积分．【解答】解:由已知==+ln2；故答案为:．15．f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内单调递增，则实数m取值范围为上的最大值为28,则k的取值范围为（﹣∞，3）．【考点】3H:函数的最值及其几何意义．【分析】根据导数判断出函数的单调性，求出极值，f（﹣3)=f（3）=28,f（1）=﹣4，f(2）=3,即可求解．【解答】解：令F（x）=f（x）+g(x）=x3﹣9x+3x2+1，F′（x）=3x2+6x﹣9=0，x=1，x=﹣3，F′(x)=3x2+6x﹣9＞0，x＞1或x＜﹣3，F′（x)=3x2+6x﹣9＜0，﹣3＜x＜1，x（﹣∞，﹣3）﹣3（﹣3，1）1(1,+∞）F′（x）+0﹣0+F（x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增F(﹣3）=28，F（1）=﹣4，F(2）=3，f(3）=28∵在区间上的最大值为28,∴k＜3．故答案为：(﹣∞,3）．17．在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k（k+1）=由此得1×2=（1×2×3﹣0×1×2），2×3=（2×3×4﹣1×2×3）…n(n+1)=相加，得1×2+2×3+…+n（n+1)=n（n+1）(n+2)类比上述方法，请你计算“1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）”，其结果为n（n+1）（n+2)（n+3）．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】本题考查的知识点是类比推理，是要根据已知中给出的在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）”时化简思路，对1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2)的计算结果进行化简，处理的方法就是类比，将n（n+1）（n+2)进行合理的分解．【解答】解：∵n(n+1）（n+2）=∴1×2×3=（1×2×3×4﹣0×1×2×3）2×3×4=(2×3×4×5﹣1×2×3×4）…n（n+1）（n+2)=∴1×2×3+2×3×4+…+n(n+1）（n+2）=上的最大值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出原函数的导函数，得到导函数的零点lna，再由函数M（a）=a﹣lna的单调性可得lna＜a，说明当x∈(0，lna）时，f′（x）＜0,f（x)在(0，lna)上单调递减，当x∈（lna,a）时，f′（x)＞0，f（x)在（lna，a）上单调递增，可得f（x)在上的最大值为max｛f(0），f（a)｝，由h(a)=f（a）﹣f(0)=ea﹣a2﹣1（a＞1），利用导数得到f(a）＞f（0)，从而得到f（x）在上的最大值为f(a）．【解答】解：∵f（x）=ex﹣ax，∴f′（x）=ex﹣a,令f′(x)=0，得x=lna＞0，当a＞1时，设M（a）=a﹣lna，∵M′（a)=1﹣=＞0，∴M（a)在（1，+∞）上单调递增,且M(1）=1，∴M（a）=a﹣lna＞0在(1，+∞)上恒成立,即a＞lna，∴当x∈（0，lna）时，f′（x）＜0，f（x）在(0,lna）上单调递减，当x∈(lna，a）时，f′（x）＞0，f（x）在（lna,a）上单调递增，∴f（x)在上的最大值为max｛f（0)，f（a）}，∵f(0）=1，f（a）=ea﹣a2，不妨设h(a）=f（a）﹣f（0)=ea﹣a2﹣1(a＞1),∴h′(a)=ea﹣2a，令φ(a)=h′（a)=ea﹣2a，则φ′(a)=ea﹣2＞0（a＞1），∴φ(a）=h′(a）＞φ（1)=e﹣2＞0，∴h（a）=f（a）﹣f（0）=ea﹣a2﹣1（a＞1）单调递增，则h(a)＞h（1）=e﹣2＞0，即f（a）＞f（0）,∴f（x）在上的最大值为f（a）=ea﹣a2．23．已知函数，a∈R（1）求函数f（x)的单调区间；(2）已知点P（0，1）和函数f（x）图象上动点M（m，f（m)），对任意x∈,直线PM倾斜角都是钝角，所以问题转化为导数值小于0恒成立的问题，对于导函数小于0在区间上恒成立，则问题转化为函数的最值问题，即函数f′（x)＜0恒成立，通过化简最终转化为f（m）＜1在区间上恒成立，再通过研究f（x）在上的单调性求最值，结合（Ⅰ)的结果即可解决问题．注意分类讨论的标准的确定．【解答】解：函数f(x）的定义域为（0，+∞），f′(x）=ax﹣=，(1)当a＜0时，f′（x）＜0，故函数f（x)在（0，+∞）上单调递减；当a=0时，f′（x）=﹣＜0，故函数f（x）在(0，+∞）上单调递减；当a＞0时，令f′（x）=0,结合x＞0,解得x=，当x∈(0,）时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0,）上单调递减；当x∈（,+∞）时，f′（x）＞0,所以函数f（x）在（，+∞）上单调递增；综上所述：当a≤0时，f′(x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时,函数f(x）在(0，)上单调递减,在（,+∞）上单调递增．（2)因为对任意m∈，直线PM的倾斜角都是钝角，所以对任意m∈，直线PM的斜率小于0，即＜0,所以f(m）＜1，即f(x）在区间上的最大值小于1．又因为f′（x)=ax﹣=，令g（x)=ax2﹣2，x∈，①当a