2022年中考数学训练-（特殊）平行四边形相关计算（解析版）

2022年中考数学改革重点题型专练（重庆专用）

专练五、（特殊）平行四边形相关计算

1.如图，在正方形ABQ9中，AB=4,点。是对角线AC的中点，点。是线段OA上的动

点（点。不与点O,A重合），连接BQ,并延长交边于点E,过点。作FQL8Q交

CC于点凡分别连接8尸与EF,交对角线AC于点G.过点C作CH〃。尸交BE于

点、H,连接以下四个结论：①BQ=。/：②△OEF的周长为8；③SABQG=」SABEF；

2

④线段AH的最小值为2旄-2.其中正确结论的个数为（）

BC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】M：'：BQVFQ,

；./FQB=NBCD=90°,

.•.点8,点C,点凡点。四点共圆，

；.NQFB=N℃8=45°,NQBF=NQCF=45°,

：.NQBF=NQFB,

：.BQ=FQ,故①正确；

如图，延长D4至N使4N=CF,连接BN,

BC

"：CF=AN,NBAN=NBCF=90°,AB=BC,

:AABN妾ACBF(SAS),

:.BF=BN,NABN=4CBF,

\'ZQBF=45°,

AZABE+ZCBF=45°,

；NA8E+NA8N=45°,

:.NEBN=NEBF=45°,

又；BE=BE,BF=BN,

:.△BEFWABEN(SAS),

：.EF=EN,

：./XDEF的周长=DE+DF+EF=DE+DF+EN=DE+DF+AE+CF=AD+CD=8,故②正确；

'：CH//FQ,

：.NBHC=NBQF=90°,

...点，在以BC为边的圆上运动，

如图，以BC为直径作圆，取BC的中点P,连接4P,PH,

A_E________D

：.BP=2=HP,

•'-AP='福2+Bp2=。16+4=2遥,

在中，AH>AP-HP,

当点H在AP上时，AH有最小值为2巫-2,故④正确;

如图，连接EG,

A

B

•ND4C=NQ8尸=45°,

•点A,点8,点凡点E四点共圆,

.ZBAC=ZBEG=45°，

.NBEG=NEBF=45°,NEGB=90°,

・EG=BG,

♦BE=,

•NBEG=NBFQ=45°,

.点E,点凡点G,点。四点共圆,

.ZBQG=ZBFE,ZBGQ=ZBEF,

.△BQGsMFE,

S

ABQG=2_1

^ABFE2

'・S^BQG=工S八BEF；故③正确,

2

故选：D.

2.如图，矩形ABC。中，CD=4病，点E为BC边的中点，点尸在边A。上，将四边形

ECD尸沿着E尸翻折得到四边形ECiOi凡ECi交A。于点H,若CiH：HE=1：3且OiCi

的延长线恰好经过点A,则折痕EF的长为（)

C.D.976

【解答】解：如图所示，过E作£6,4D于6,则四边形A8EG是矩形,

设CiH=a(a>0),则EH=3a,CiH=4a=BE=AG,

设AH=x(x>a),则HG=4a-x,

VZAC}H=ZEGH=90°,ZAHC\=ZEHG,

!当即a=X,

GHEH4a-x3a

解得工1=3。或X2=〃(舍去)，

.\AH=3a,HG=4a-3a=at

为△E”G中，/7G2+EG2=/7E2,

.\tz2+(4^/21)2=(3。)2,

解得4=J森，

・・・HG=V^，HE=3yf^,

由题可得，ZCEF=ZHEF,NCEF=NHFE,

：.NHEF=NHFE,

:.HF=HE=3yT^,GF=2yf^,

RtZiEFG中'£F=VGF2+GE2=7(2A/42)2+(4V/21)

故选:A.

D,

3.如图，在边长为4的正方形A8CQ中，点E、点F分别是8C、AB上的点，连接OE、

DF、EF,满足NOEF=NDEC.若AF=1,则EF的长为（）

C-fD-y-V2

【解答】解：如图，在EF上截取EG=EC,连接。G,

:四边形ABCZ）是正方形，

.•./A=/C=90°,AB=BC^4,

在△£)(?£：和△OGE中，

'CE=GE

•ZDEC=ZDEG-

ED=ED

.,.△DCE经ADGE(SAS),

；.NDGE=/C=90°,DG=DC,

；NA=/C=90°,AB=BC=4,

：.ZDGF^ZA^90),,DG=DA,

在Rt/\DAF和RtADGF中，

[DF=DF,

IDA=DG'

ARtADAF^RtADGF(HL),

：.AF^GF=\,

,:EG=EC,

:*BE=BC-EC=4-EG,EF=EG+FG=EG+\,BF=AB-AF=4-1=3,

在RtZ\BEF中，根据勾股定理，得

BE2+BF2=EF2,

(4-EG)2+32=(£G+1)2,

解得EG=2A,

：.EF=EG+FG^2A+l^3A.

.♦.EF的长为3.4.

故选：B.

4.如图，在矩形ABC。中，ZABD=60°,BC=4Vs＞连接BC,将△BCD绕点。顺时针

旋转”（0。<n<90°）,得到△8CQ,连接BZT,CC,延长CC交BB吁点N,连接AB',

当NB4®=N3NC时，则△439的面积为（）

B

A.2739-673B.-21C5V1^-89

10~5~4

【解答】解：如图，设BD与CN交点为M,A8与B'。交点为。,

A------------，"

根据旋转可知：DC=DC,DB=DB',ZCDC'=NBDB'=n,

：.ZDCC'=NDC'C=A(180°-n)=90°-

22

同理：ZDBB'=NDB'8=90°-H,

.,.ADCC,S/\DBB，,

ZNMB=ZCMD,ZMBN=ZMCD,

:.丛BMNs^CDM,

：./BNM=ZCDM,

•.•四边形ABC。是矩形，

：.AB//CD,

：.ZCDM=ZABD=60°,

:.NBNM=/BAB'=60°,

VZAOB'=NBOD,ZB'AO=NDBO,

.♦.△AB。'S^BDO,

z

.A0=B0

,,B0DO

在矩形A8C£>中，ZABD=60°,4O=BC=4«,

：.AB=J^AD=4,

：.BD=2AB^S,

设AO=JGB'0=y,

则5O=4-x,00=8-y,

••x•一_一y,

4-x8-y

.•.y=2x,

在RtZ\ADO中，根据勾股定理，得

AO2+AD2^OD2,

；.7+48=(8-2A-)2,

化简得,3X2-32x+16=0,

解得彳=竺心属或也亘(舍去),

33

如图，过点。作O〃_LAB'于点H,

在RtAHB'。中，根据勾股定理，得

OB'2=夕H2+OH2

=(AB'-AH)2+(AOsin600)2

=AB'2-2AB'•AH+AH2+AO2sin260°

=AB'2-2AB'M0.cos60+A02»cos260°+AO2sin260°

=A8'2+AO2-2AB'•AO-COS600,

解得AB'=2tM=2万-6，

2

的面积=AAB'・A8・sin60°=^^B'=2739-673.

2

故选：A.

5.如图，在边长为1的正方形4BC£>中，E、尸是AD边上的两个动点，且AE=F£>,连接

BE、CF、BD,CF与BD交于点、G,连接4G交BE于点”，连接。H,下列结论正确的

个数是()

®AG±BE；②HD平分NEHG；③△ABGs/\FQG；®SAHDG：SAHBG=tan/ZMG；⑤

线段DH的最小值是近二1：⑥当E、F重合时，延长AG交CZ)于M,则tan/EBM=3.

24

A.5个B.4个C.3个D.2个

【解答】解：...四边形A8C7)是正方形，

：.AB=CD,NBA£>=NA£>C=90°,NADB=NCDB=45°,

在△ABE和△QCF中，

'AB=CD

<ZBAD=ZADC>

AE=DF

A^ABE^/\DCF(SAS),

NABE=ZDCF,

在△ADG和△COG中，

'AD=CD

,ZADB=ZCDB)

DG=DG

:AADG迫/\CDG(SAS),

NDAG=ZDCF,

：./ABE=ADAG,

"：ZDAG+ZBAH=90°,

AZABE+ZBAH=90°,

:./AHB=90°,

：.AG1BE,故①正确；

同法可证：4AGB咨ACGB,

■:DF//CB,

：./\CBG^/\FDG,

:.XABGsXFDG,故③正确；

,:S&HDG：SAHBG=DG：BG-DF-.BC=DF：CD=tanZFCD,

又,：/DAG=NFCD,

.**S^HDG：S^HBG=tanZFCD=tanZG,故④正确;

取AB的中点。，连接OD、OH,

：.AO=OH=^X\=X,

22_

由勾股定理得，°0=后奇=与，

"：OH+DH>OD,

，。、D、〃三点共线时，DH最小,

，。”最小=1二1.故⑤正确：

2

如图，当E、尸重合时，则点E是A。的中点，设EC与8M的交于点N,

D

M

C

'JAD//BC,

:ADEGSABCG,

•DEDG=1

""BC"BG~2

,JAB//CD,

-DMDG=1

"AB'BG~2

，£>M=LB=-1,

22

：.CM=^=DE,

2

又，：BC=CD,ZBCM=ZCDE=90°,

...△£>CE丝△CBM(SAS),

:.NCBM=NDCE,BM=CE,

；NDCE+NBCE=90°,

:.NBCE+NCBM=90°,

：.ZCNB=90°,

:.CE=S,

2

•；S&BCM=LXBCXCM=LXBMXCN,

22

CN=®,

5

：.EN=3^,

10

VtanZCBM=里皿”，

BNBC2

:.BN=Z氐

5

/.tanZEBM=^-=—,故⑥正确；

BN4

无法证明Z)H平分NEHG,故②错误，

故选：A.

6.如图，在正方形ABC。中，对角线AC,BO相交于点。，点E在。C边上，且CE=2£)E,

连接AE交BD于点G,过点。作OFLAE,连接。F并延长，交。C于点尸，过点。作

OQLOP分别交AE、AO于点N、H,交BA的延长线于点Q,现给出下列结论：①NAFO

=45°；②OG=OG；®DP1=NH*OH-,④sin/AQO=返；其中正确的结论有()

5

o

A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④

【解答】解：•・•四边形A8CQ是正方形，

：.AO=DO=CO=BO,ACLBD,

VZAOD=ZNOF=90°,

・・・ZAON=ZDOF,

•・・NOAO+NA£>O=900=ZOAF+ZDAF+ZADO,

VDF±AE,

・・・ZDAF+ZADF=90°=ZDAF+ZADO+ZODF,

：.ZOAF=ZODF,

：.^XANO^/XDFO(ASA),

：・ON=OF,

：.ZAFO=45°,故①正确;

如图，过点。作OKLAE于K,

,:CE=2DE,

：.AD=3DEf

•・,tanNOAE=迺=^L△,

ADAF3

：.AF=3DF,

,?/\ANO^/\DFO,

：.AN=DF,

；.NF=2DF,

•：ON=OF,NNOF=90°,

0K=KN=KF=UN,

2

：.DF=OK,

又,：NOGK=NDGF,NOKG=/DFG=90°,

:.△0KG92DFGCAAS),

：.GO=DG,故②正确；

@VZDAO=ZODC=45°,OA=OD,ZAOH=ZDOP,

.•.△AO”丝△OOP(ASA),

：.AH=DP,

,:NANH=NFNO=45°=ZHAO,NAHN=NAHO,

：.XAHNs△OHA,

.AHHN

HOAH

：.AH1=HO'HN,

：.DP2=NH'OH,故③正确；

■:NNAO+NAON=NANQ=45°,ZAQO+ZAON^ZBAO=45Q,

ZNAO=ZAQO,

'：OG=GD,

：.AO=2OG,

.•.4G=VAO2刈G2=A/^°G,

.".sinZNAO=sinZAQO=^-—^-^-,故④正确，

AG5

故选：D.

7.如图，边长为4的正方形ABC。中，对角线AC,BO交于点O,E在BD上,连接CE,

作EFVCE交AB于点F,连接CF交BD于点H,则下列结论：®EF=EC-,②Cp=CG

•CA；③BE*DH=16；④若8尸=1,则。E=3加,正确的是()

AD

D.①②③④

【解答】解：如图，连接AE,

：.AD=CD,ZADB=ZCDB=ZBAC=ZDAC=45°,

又・：DE=DE,

:./XADE丝4CDE(SAS),

：.AE=EC,ZDAE=ZDCE.

；・NEAF=NBCE,

VZABC+ZFEC+ZEFB+ZBCE=360°,

AZBCE+ZEFB=180°,

XVZAFE+ZBFE=180°,

I.NAFE=ZBCE=NEAF,

：.AE=EFf

：・EF=EC,故①正确；

•：EF=EC,NFEC=90°,

：.ZEFC=ZECF=45°,

：.ZFAC=ZEFC=45°,

又•:NACF=/FCG,

:ZCGsRACF,

・CFCA

**CG=CF，

,.CF2=CG・C4,故②正确；

/ZECH^ZCDB,/EHC=ZDHC,

,.△ECHsACDH,

-CH_EC；

'DH'CD'

•CHDH

*EC"CD，

:NECH=NDBC,NBEC=NCEH,

,.△ECHs/\EBC,

.•-C-H-=-E-C-,

BCBE

.•CH,二BC.,

ECBE

.•-D-H-二B..C,

CDBE

•.BC・CQ=Q”/E=16,故③正确；

.”尸=1,AB=4,

\AF=3,AC=4&,

：ZECF=ZACD=451,,

\ZACF=ZDCE,

又,.•/E4C=NC£)E=45°,

△AFCSXDEC,

AFAFC

D3E

区

DE

.•.OE=2返，故④正确，

2

故选：D.

8.如图，在矩形ABC。中，NBA。的平分线交BC于点E.OH_LAE于点H,

连接8H并延长交C。于点F,连接DE交BF于点O,下列结论：®AD=AE；②/AM

=NCED；③OE=OD；@BH=HF；®BC-CF=2HE,其中正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【解答】解：①平分NBA。，

AZBAE=ZDAE=^ZBAD=45°,

2

,JAD//BC,

：.ZDAE=ZAEB=45°,

；.NAEB=NBAE=45°,

：.AB=BE,

：.AE=y/2AB,

,:AD=4^B,

.'.AD=AE,故①正确；

②在AABE和△4"。中，

，ZBAE=ZDAE

<ZABE=ZAHD)

AE=AD

.♦.△ABE丝△AH£>(AAS),

：.BE=DH,

:.AB=BE=AH=HD,

：.ZADE^ZAED^1.(180°-45°)=67.5°,

2

AZC£D=180°-45°-67.5°=67.5°,

AZAED^ZCED,故②正确；

'：AB=AH,

'：AAHB=k(180°-45°)=67.5°,(对顶角相等)，

2

：.NOHE=675°=ZAED,

：.OE=OH,

；NDHO=90°-67.5°=22.5°,40DH=675°-45°=22.5°,

：.ZDHO=ZODH,

：.OH=OD,

：.OE=OD=OH,故③正确；

:NEBH=90°-67.5°=22.5°,

：.ZEBH=ZOHD,

在△BE”和△4£>/中，

'/EBH=/0HD=22.5°

■BE=DH，

ZAEB=ZHDF=45°

:.丛BEH沿丛HDF(ASA),

：.BH=HF,HE=DF,故④正确；

HE=AE-AH=BC-CD,

：.BC-CF=BC-(CD-DF)=BC-(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故

⑤正确；

故选：D.

9.如图，正方形ABCQ中，点E为对角线AC上一点，交边A8于F,连接。尸交

线段AC于点H,延长。E交边BC于点Q,连接0F.下列结论：®DE=EF；②若AB

=6,CQ=3,则AF=2；③/AF£>=/£>FQ；④若AH=2,CE=4,则A8=3扬VI5；

其中正确的有()个.

C.3个D.4个

【解答】解：如图，连接BE,

•.•四边形ABC。为正方形，

：.CB=CD,NBCE=NDCE=45°,

在△BEC和△DEC中，

'DC=BC

<ZDCE=ZBCE)

CE=CE

:ADCEmABCE(SAS),

:.DE=BE,NCDE=NCBE,

：.ZADE=NABE,

VZDAB=90°,NDEF=90°,

：.ZAD£+ZAF£=180°,

VZAFE+ZEFB^\SQ0,

ZADE=NEFB,

：.NABE=NEFB,

：.EF=BE,

：.DE=EF,故①正确；

VZD£F=90°,DE=EF,

：.NEDF=NDFE=45°,

如图：延长BC到G,使CG=AF,连接QG,

在△4OF和△C£>G中，

'AD=CD

<ZDAF=ZDCG)

,AF=CG

A/\ADF^/\CDG(SAS),

:"AFD=NG,NADF=NCDG,DF=DG,

VAADF+ACDQ=^°-ZFDQ=45Q,

Z.ZCDG+ZCDQ=45°=ZGDQ,

：.ZGDQ^ZFDQ,

又'：DG=DF,DQ=DQ,

：.^QDF^/\QDG(SAS),

：.FQ=QG,ZG=ZDFQ,

.,.ZDFA=ZDFQ,故③正确；

；AB=6,CQ=3,

：.BQ=3,FB=6-AF,FQ=QG=3+A凡

,.•F02=FB2+8Q2,

(3+AF)2=9+(6-AF)2,

；.AF=2,故②正确；

如图：将△€!)£•绕点A顺时针旋转90°得到△ADM,连接

：./\CDE^/\ADM,

：.AM=CE^4,NOCE=ND4M=45°,ZADM^ZCDE,DM=DE,

：.AMAH=90°,ZADM+ZADH^ZCDE+ZADH^45Q=NMDH,

又,：DH=DH,

：./^DMH^/\DEH(SAS),

：.EH=MH,

MH=JM+AH2=.16+4=2爬,

:.EH=MH=2娓,

：.AC=AH+EH+EC=6+2-^,

；./18=_^=3,+近5，故④正确；

&

故选：D.

10.如图，正方形ABCQ边长为3,连接BD点E、尸分别是A。、CQ上的一点，AE=DF

=1.连接AF、BE交于点G,AF与BO交于点P.点M是2C上一点，ZMAF=45°,

连接AM交8E于点将AM绕点M旋转90°交4尸的延长线于点N,连接CN.下列

s

结论：①AG=GH；②NMCN=135°；③④tan/CNM=工；⑤连接CP,

SABMH32

△CNP的面积是9.其中，正确结论的个数是（）

A.5B.4C.3D.2

【解答】解："：AD=AB,/BAC=NAQF=90°,DF=AE,

：.(SAS),

：.ZDAF=ZABE,BE=AF,

VZMAF=45°,

：.ZDAF+ZBAM=45°,

AZABE+ZBAM=45°=NAHG,

：.ZAHG=ZMAF=45°,

：.AG=GHfNAG〃=90°,故①正确；

如图，连接AC,MF,过点A作AQ〃3£交C3的延长线于Q,

・・•四边形A3。是正方形，

AZACB=ZACD=45°,AB=BC=3f

・・・AC=3&,

・・,将AM绕点M旋转90°交AF的延长线于点M

.♦・AM=MN,NAMN=90°,

：・4MAN=NMNA=45。,

:・/MNA=/MCA=45°,

・,•点A,点M,点C,点N四点共圆，

AZAMN=ZACN=90°,

；.NMCN=135°,故②正确；

\'AQ//BE,AE//BC,

，四边形AEB。是平行四边形，NQAF=NBAD=90°,

：.AE=BQ=\,ZBAQ=ZDAF,AQ=BE=AF,

,：ZFAM=45°,

：.ZDAF+ZBAM=45Q,

N8AQ+NBAM=45°=ZQAM,

：.ZQAM=ZMAF,

又AQ=AF,

.'.△AQM丝△4FM(SAS),

：.QM=MF,

'：MF2^CF2+MC2,

(1+BM)2=(3-1)2+(3-BM)2,

:.BM=W,

2

VAD//BC,

二二AEHs丛MBH,

S

.AAEH(AE)2=生

SABHMBM9

工设S&BHM=9a,

"：tanZDAF=^L=^^1,

ADAG3

:.AG=3EG=GH,

•^S^AGH=3cb

故③正确；

SABHM3

・・,点A,点M,点C,点N四点共圆，

.・・/MNC=NM4C,

・.,NMAC+NCAN=45°,ZCAN+ZDAF=45°,

*.ZDAF=ZMAC=/MNC,

••,tanNCNAfntanNOAFnllL。，故④错误；

AD3

9

：AB=BCfZABP=ZCBP=45°,BP=BP,

•••△ABP咨/\CBP(SAS),

:・AP=CP,

：.ZPAC=ZPCA9

VZACN=90°,

：.ZPAC+ZANC=90Q=/PCA+/PCN,

:・/PCN=/PNC,

:・PC=PN=AP,

•.•/CAN+NZM尸=45°=ZDAF+ZBAM,

，/CAN=/BAM,

tanZCAN=tanZBAM,

.BMCN

"AB'AC"

3_

.~2CN

:.CN=&M，

2

，SAACN=」XAC><CN=a,

22

,:AP=PN,

'.S^CPN——,故⑤正确；

4

故选：B.

11.如图，正方形A8CQ的边长为4,点E在边AB上，BE=1,ND4M=45°,点尸在射

线4M上，且AF=J5，过点F作A。的平行线交34的延长线于点”，CF与相交

于点G,连接EC、EG,EF.下列结论：①NEFG=45°:②△AEG的周长为8：(§)△

CEGsAAFG；④aCEG的面积为6.8.其中正确的个数是()

H

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：如图，在正方形ABC。中，AQ〃3C,AB=8C=A£>=4,NB=/BAD=90°,

：.ZHAD=90°,

・：HF〃AD,

：.ZH=90°,

VZHAF=90°-NZMM=45°,

AZAFH=ZHAF=45°.

•:AF=啦,

：・AH=HF=l=BE.

：.EH=AE+AH=AB-BE+AH=4=BC,

:•△EHFQACBE(SAS),

：・EF=EC,NHEF=NBCE,

•；NBCE+NBEC=90°,

：.HEF+ZBEC=90°,

AZFEC=90°,

•••△CEb是等腰直角三角形，

：.ZEFG=45°,故①正确；

在RtZXCBE中，BE=T,3c=4,

：.EC2=BE2+BC2=17,

'CF=7CE2+EF2=

过点尸作尸QJ_8C于。，交A。于P,

AZAPF=90°=N.H=/HAD,

,•四边形APF”是矩形,

,:AH=HF,

矩形A//FP是正方形，

：.AP=PF=AH=\,

同理：四边形ABQP是矩形,

：.PQ=AB=4,BQ=AP=\,FQ=FP+PQ=5,CQ=BC~BQ=3,

■:AD//BC,

：./\FPG^/\FQC,

.FPPG

"FQ=CQ

•.•1—二PG，,

53

：.PG=^-,

5

：.AG=AP+PG=^-,

5

在Rt^EAG中，根据勾股定理得，EG=^22=1L

AG+AE5

Z./XAEG的周长=AG+EG+4E=g+H+3=8,故②正确;

55

;FG=

----,

5

..AF^l2_572EC_V17_572

*AG__88GC8

5-5~

.AFEC

•------H.......

AGGC

又；/£4G=NECF=45°,

：.4CEGs丛AFG,故③正确；

VSEFC=AEC2=H,电」，

A22GC4

；.SACEG=—X2Z_=6.8,故④正确;

1+42

故选：D.

H

n

BQC

12.如图，菱形ABC。中，NBA£）=60°,4c与BO交于点O,E为CD延长线上的一点，

且CD=DE,连结BE,分别交AC,于点F、G,连结OG,则下列结论：®OG=1AB-,

2

②SMCD=6SABOF；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④S四边彩OOGF>S/\ABF.其

中正确的结论是（）

BA

/w

cDE

A.①②B.①②③C.①③④D.②③④

【解答】解：①,・,四边形ABCD是菱形，

：.AB//CDfAB=CD,BO=OD,

:・/ABG=/GED,NBAG=NGDE,

*：CD=DE,

；・AB=DE,

：./\ABG^/\DEG(A4S),

:・BG=GE,

・・・OG=LB,・••①正确；

2

②由①知△A8Gg△DEG,

：.AG=GD,

・・•四边形ABC。是菱形，

：.AB=AD,AO_L5。，

:/BAD=60°,

：.AB=BD=AD,BG±AD,

:.NFBO=30°,ZAB0=6Q°,NBAO=30°,

,00,0B，愿

"BO"0A^3-，

.,SAB0F:SAA0B=）多

,**S>ACD=S2ABC=2SMBO,

•.♦SABOFqSAlCD'♦,•②正确

③由①知△ABG^4DEG,

：.AB=DE,

,JAB//DE,

四边形ABQE是平行四边形，

由②知：AB=BD,

二四边形A8OE是菱形，.•.③正确.

@'：BO=DO,AG=DG,

.•./」，OG//AB,

AB2

：./\OGF^^ABF,

.OF0G1

"AF"AB

:.S&AFG=?SdOFG，

S^AOG=SAAFG+SAOFG，

=，

**•SAQPQ^^AA0GSgOG：S△。郎=1：4,SAFOG：S^FAB=1：4,

3

••SAFAB=4SAF0G=ySAA0G，

*：AG=GD,

••S^AOGSAGOD,

•WXJF=SAG0D+SA0FG=SAA0G+ySAA0G至SzkAOG，

•,•5Wi!iKODGF=S^FAB,④不正确.

综上所述①②③正确.

故选：B.

B

13.如图，分别以直角△ABC的斜边AB,直角边AC为边向△ABC外作等边△AB。和等边

△ACE,F为A8的中点，OE与A3交于点G,EF与AC交于点H,ZACB=90°,Z

BAC=30°,给出如下结论：

①EF_L4C；②四边形AOFE为菱形；

③4O=4AG；@4FH=BD；其中正确结论的是（）

【解答】解：:△ACE是等边三角形,

：.ZEAC=60°,AE=AC,

VZBAC=30°,

：.ZEAF=ZACB=90°,AB=2BC,

♦.•尸为AB的中点，

：.AB=2AF,

：.BC=AF,

在△ABC和△EEI中，

，AC=AE

<ZACB=ZEAF»

BC=FA

AAABC^AEM(SAS),

：.FE=AB,/AEF=NBAC=30°,

ZAWE=180°-ZEAC-ZAEF=180°-60°-30°=90°,

：.EF±AC,故①正确，

'：EF±AC,ZACB=90Q,

：.FH//BC,

是A8的中点，

是aABC的中位线，

：.FH=1.BC,

2

'：BC=1AB,AB=BD,

2

：.BD=4FH,故④正确；

'：AD=BD,BF=AF,

:.NDFB=90°,ZBDF=30°,

VZFAE=90",

：.NDFB=NEAF,

,：EFA.AC,

：.ZAEF=30°,

；.NBDF=NFEA,

在△。8尸和△EE4中，

，ZBDF=ZFEA

<NDFB=EAF，

BF=FA

：.^DBF^/\EFA(AAS),

：.AE=DF,

'：FE=AB=AD,

：.四边形ADFE为平行四边形，

'：AB>AC,

：.AD>AE,

四边形ADFE不是菱形，故②错误;

，：AG=1AF,

2

:.AG=1AB,

4

'：AD=AB,

则AQ=4AG,故③正确，

故选：C.

14.如图，菱形ABC。的边长为4,E、尸分别是A8、AD.上的点，连接CE、CF、EF,

AC与EF相交于点G,若BE=AF=1,NBA£>=120°,则FG的长为（)

A.2ZI3B.返C.1D.3

424

【解答】解：过点E作EM〃8C交AC于M,ENLBC于N,如图所示：

•菱形ABC。的边长为4,/54。=120°,

：.AB=BC=4,ZBAC=ZFAC=^ZBAD=60°,AD//BC,

2

/\ABC是等边三角形，

：.ZB=ZACB=60°,BC=ACf

•:EM〃BC,

：.EM//AD,ZAEM=ZB=60°=/BAC,

，△AEM是等边三角形，

：.AM=AE=AB-BE=4-1=3,

,:ND,

：.AAGF^AMGE,

・FG_AF_1

EGEM3

：.FG=^EF,

4

在△8CE和△AC尸中，

，BC=AC

<ZB=ZFAC«

BE=AF

.•.△BCE丝△ACF(SAS),

：.CE=CF,ZBCE^ZACF,

：.ZACF+ZACE=ZACF+ZACE=ZACB=60a,

...△CEF是等边三角形，

；.EF=CE,

,:ENLBC,ZB=60°,

:.NBEN=30",

；.BN=LBE=L,

22

.*.EN=/BN=返，CN=BC-BN=4-1=1,

222

EF=CE=VEN2-K;N2^

:.FG=LEF="^,

44

故选：A.

15.如图，在菱形ABC。中，AB=BD,E,F分别是A8,AO上的点（不与端点重合），且

AE^DF,连接8尸，OE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.下列结论：①DE=BF；

②NBGE=60°；③CGLBQ；④若AF=2OF,则BG=6GF.其中正确结论的序号是（）

A.①②B.①②④C.②③④D.①③④

【解答】解：①二•四边形A8CO是菱形,

：.AD=AB,

又AB=BD,

：.AD=AB=BD,

...△A8O是等边三角形,

；.N4=408=60°,

在△AEC与△OFB中，

AD=BD

-ZA=ZBDF>

AE=DF

:./XAED空丛DFB(SAS),

:.DE=BF,

•••①符合题意；

②由①得△AEQ也△£>月%

ZADE=NDBF,

「△ABD是等边三角形，

：.ZADB=60°,

，NBGE=ZBDE+ZDBF=ZBDE+ZADE=NA£>B=60°,

②符合题意；

③当点E,尸分别是AB,A£)中点时，

由(1)知，AABD,△BDC为等边三角形，

•.•点E,F分别是AB,AD中点，

:.NBDE=NDBG=30°,

:.DG=BG,

在△GOC和△BGC中，

'DG=BG

<DC=BC>

GC=GC

.♦.△GOC四△BGC(SSS),

:.NDCG=NBCG,

：.CH±BD,

即CGLBD,

③不符合题意；

④过点尸作交力日于P点，如图，

"：AF=2DF,

・FP：AE=DF：DA=\：3,

•：AE=DFfAB=AD,

：.BE=2AE,

：.FP：BE=FP：2AE=1：6,

9

\FP//AEf

:・PF〃BE,

：.FG：BG=FP：BE=\：6,

即BG=6GF,故本选项符合题意；

所以，正确的结论是①②④，

故选：B.

16.如图，点E是正方形A8CD对角线8。上一点，连接AE,过点E作族_L4E,交线段

BC于点F,交线段AC于点M,连接AF交线段8。于点”给出下列四个结论，①

=EF；®V2DE=CF；③S&AEM=S&MCF；④BE=DE+«Bi口；正确的结论有（）

H

.4B

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【解答】解：过点E作PQ〃CO,交AD于P,BC于Q,

则四边形。PQC为矩形，

:.PQ=CD=AD,PD=CQ,/E。尸=NM4=90°,

：.APAE+^PEA=9Qa,

\"EFLAE,

：.ZA£F=90°,

：.ZPEA+ZFEQ^9O0,

:.NME=ZFEQ,

'：ZPDE=45°,NDPE=9U°,

：.PD=PE,

：.AD-PD=PQ-PE,

：.AP=EQ,

：./\PAE^/\QEF(ASA),

AQF=PE=-PD=CQ=1.CF,AE=EF,故①正确;

2

:NPDE=45°,NDPE=9Q°,

DE=V2/>£=—CF,

2

：.CF=yf2DE,故②正确；

过点F作FK〃尸Q,

•：CQ=QF,

:.EK=DE,

VZ/fFB=90°,NKBF=45°,

：.BK=42BF,

：.BE=EK+BK=DE+最BF,故④正确,

③无法证明，

17.在矩形ABC。中，M为8C中点，连结AM,将△ACM沿AM翻折至△AEM,连结CE,

BE,延长AM交EC于F,若45=①，AQ=10,则BE=8.

【解答】解：•••四边形ABC。是矩形,

：.AD=BC^\O,AB=CZ)=m,ZABC=ZD=90",

4

是BC的中点，

：.CM=BM=^BC=5,

2

由折叠性质可知，△ACM也△4EM,

：.CM=EM,AE=AC,

:.BM=EM=CM,

NMBE=NMEB,NMEC=ZMCE,

VZMBE+ZMEB+ZMEC+ZMCE^180c,

；.2NMEB+2NMEC=180°,

ZMEB+ZMEC=NBEC=90°,

：AE=AC,CM=EM,

垂直平分CE,

：.EN=CF,ZMNC=90°,

是BC中点，

：.BE=2MF,

在RtAABM中，

4M=〃B2+BM=J(*2+52=叠,

在RtzXAC尸中，CF2=AC2-AF2,

在Rt^MCF中，CF2=CM2-MF2,

.,.AC2-AF2=CM2-MF2,

'：AC2^AD2+CD2,

：.AD2+CD2-AF2=CM2-MF2,

设MF=x,

则1()2+(号)2.(与+乂)2=52-x2,

解得x=4,

.•.MF=4,

:.BE=2MF=8,

故答案为：8.

18.如图，平行四边形A3CD的对角线交于点O,NA8C=120°,AB=6,BC=13,将4

B0C沿直线8。翻折得到△BOF,B尸交于点E,贝ijSABED=_2迎

—40—

【解答】解：由折叠的性质可知，NCBO=/OBE,

:平行四边