研究生矩阵理课后答案4,5章习题

习题4-1(1)4-1:求A=的满秩分解.解1:A=

C∴

A=BC,

B=(A5,A3,A1)=习题4-1(1)4-1:求A=的满秩分解.解2:A=

C∴

A=BC,B=(A1,A2,A3)=习题4-1(2)4-1(2):求A=的满秩分解.解:A=

C∴

A=BC,

B=(A1,A3)=习题4-2求A= 的奇异值分解.解:A的奇异值是:2,1;

=diag(

2,1)AA*的对应于特征值2,1的单位特征向量是(1/

2,1/

2,0)T,

(1,0,0)TA的奇异值分解是:习题4*1A与B酉等价

A与B奇异值相同AA*=UBVV*B*U*=UBB*U*必要性:A=UBVBB*∴AA*与BB*有相同的特征值集,得证A与B有相同的奇异值集.充分性:作A,B的奇异值分解1A=UDV*,B=U1DV

*,D=diag(

,0),其中, 是由它们的全部正奇异值组成的正对角矩阵.于是U*AV=D=U1*BV1

A=(UU1*)B(V1V*)因酉矩阵的乘积UU

*,V

V*

仍为酉矩阵,故上式1

1表明A酉等价于B.习题4*24*2:设ArC

mm,VUm

Un n使B=U*AV=diag(n,U,0),

=diag(b1,…,br),

(*)则|b1|,…,|br|为A的全部正奇异值.证:

U*AA*U=BB*=diag(

*,0)！写成

2不对=diag(|b1|2,…,|br|2,0,…,0)~

AA*∴|b1|,…,|br|为A的全部正奇异值.奇异值分解定理另一(更强)表述定理:令=diag(rC

mn的全部正奇异值;1,…,

r为A1,…,r),则有U

m,VUm

Un n使rU*AV=

=D反之,若有UUmm,VC

m

nUn(*)n使(*)成立,其中=diag(d1,…,dr),i,di>0,则d1,…,dr为A的全正奇异值.(奇异值分解的某种唯一性)证:

AA*=U

V*V

U*=UU*~

diag(d12,…,dr2,0,…,0)∴d1,…,dr为A的全部正奇异值.注:后半部等价于补充题4*2.4*3已知A奇异值求AT,A*,A-1的奇异值rC

m补充题4*3:

令

1,…,

r为A1,…,n的全部正奇r),则有U值;

=diag(A=Um,VUm

UnV*=Udiag(

,0)V*

(*)易见A*=Vdiag(AT=(Udiag(,0)U*,0)V*)T=(V*)Tdiag(

,0)UT∴

1,…,

r为A*,AT, 的全部正奇异值(利用奇值分解定理的更强表述).A-1=(U

V*)-1=V

-1U*=Vdiag(

-1,…,1-1)U*n∴

1-1,…,

n-1为A-1的全部正奇异值.习题#5-1(2)试证:

x,y

V,‖x

y‖

|‖x‖-‖y‖|.证：首先‖x‖=‖(x-y)+y‖

‖x-y‖+‖y‖‖x-y‖

‖x‖-‖y‖.其次‖x-y‖=‖-(y-x)‖=‖y-x‖‖y‖-‖x‖=-(‖x‖-‖y‖)∴

‖x-y‖

|‖x‖-‖y‖|.此外

‖x+y‖=‖x-(-y)‖|‖x‖-‖-y‖|=|‖x‖-‖y‖|∴

‖x

y‖

|‖x‖-‖y‖|.习题#5-2试证‖A‖=nmaxi,j|aij|是矩阵范数A=(aij)证:Cn

n非负性,齐次性显然三角不等式:‖A+B‖=nmaxi,j|aij+bij|nmaxi,j|aij|+nmaxi,j|bij|=‖A‖+‖B‖相容性:‖AB‖=nmaxi,j|ai1b1j+…+ainbnj|n2

maxi,t|ait|maxtj|btj|=nmaxi,j|aij|(nmaxi,j|bij|)=‖A‖‖B‖习题#5-3设‖‖是诱导范数detA

0Cn试证:

A

n,‖A-1‖

‖A‖-1和‖A-1‖-1=

minx

0(‖Ax‖/‖x‖).证:

1=‖E‖=‖AA-1‖

‖A‖‖A-1‖detA

0∴

‖A-1‖‖A-1‖=

maxx‖A‖>01/‖A‖=‖A‖-1.0(‖A-1x‖/‖x‖)=

maxy=

maxy0(‖y‖/‖Ay‖)

y=A-1x

0

x

00(1/(‖Ay‖/‖y‖))=

1/miny

0(‖Ay‖/‖y‖)∴

‖A-1‖-1=

minx

0(‖Ax‖/‖x‖).同一向量的三种范数之间的大小关系习题#5-4:对n维线性空间的任意向量x成立‖x‖

‖x‖2

‖x‖1n‖x‖2

n‖x‖1n‖x‖n2‖x‖

…证:‖x‖

=max{|x1|,…,|xn|}(n|x

|2)1/2=

‖x‖i=1

i

2((|x1|+…+|xn|)2)1/2

=

‖x‖1nmax{|x1|,…,|xn|}

=

n‖x‖习题#5-6A

n是正定矩阵,xCn

Cn证明:‖x‖=(x*Ax)1/2

是向量范数.解1:因A是正定Hermite矩阵A,故存在可逆矩阵B使得A=B*B.则x的上述表示式可写为:‖x‖=(x*Ax)1/2

=((Bx)*(Bx))1/2

=‖Bx‖2其中‖‖2

是向量2-范数.再注意可逆矩阵B的性质:x=0

Bx=0,即可直接推出非负性.‖kx‖=‖B(kx)‖2=|k|‖Bx‖2=|k|‖x‖推出齐次性;三角不等式则由下式推出:‖x+y‖=‖B(x+y)‖2

‖Bx‖2+‖By‖2#5-6A正定,定义x

Cn,‖x‖=(x*Ax)1/2试证:‖‖是一个向量范数.解2:验证矩阵范数3条公理成立.前两条显然成立.只须证三角不等式.‖x+y‖2=(x+y)*A(x+y)=(x*+y*)(Ax+Ay)=x*Ax+y*Ay+x*Ay+y*Ax=‖x‖2+‖y‖2+2Re(x*Ay)令B为A的正定Hermite平方根:A=BB,则x*Ay=x*BBy=(Bx)*(By)=(Bx,By)

标准内积由Cauchy-Schwarz不等式

|2Re(x*Ay)|2|x*Ay|∴

‖x+y‖22(Bx,Bx)1/2(By,By)1/2

=2‖x‖‖y‖(‖x‖+‖y‖)2,得证所需结论.习题#5-7试找一个收敛的2阶可逆方阵序列其极限矩阵不可逆解:下列矩阵序列满足所提条件:Ak的行列式都大于0,故可逆,但极限矩阵是行列式不为0的不可逆矩阵:习题#5-9

计算矩阵幂级数试计算幂级数:解1:利用Jordan标准形B=Pdiag(.5,-.3)P-1,P=解2:利用谱半径小于1的矩阵性质,(B)=0.5<1.k=1E+

Bk=(E-B)-1=k=1∴

答案是

Bk

=解3:

也可利用

(B)‖B‖1=‖B‖=0.9<1补充题5*1A=(i)试用归纳法证明:解:k=1时结论显然成立.设k时结论已成立,来证k+1时结论必成立.(ii):求

(Ak);‖Ak‖1;‖Ak‖解:

(Ak)=ak;‖Ak‖1=‖Ak‖=ak+kak-1补充题5*1已知A=(iii):求‖A‖2解:补充题5*2试证:若k=1Ak绝对收敛;且则解:k=1Bk绝对收敛.Ak绝对收敛蕴涵对任意i,j正项级数k=1收敛,从而由正项级数比较判别法,对任意i,j,正项级数收敛,从而得证矩阵级数k=1Bk绝对收敛.补充题5*3已知幂级数k=0Ak是否收敛?若收敛,又收敛于什么矩阵?解:所以,k=0Ak绝对收敛于下列矩阵:补充题5*4试证:矩阵幂级数Cn对一切A

n绝对收敛.解:因它所对应的数项幂级数的收敛半径是所以,对一切ACn

n绝对收敛.补充题5*5下列矩阵幂级数是否绝对收敛?(1):解:因A是上三角矩阵,不难看出它的特征值是1和2,从而其谱半径是:2>1=R.所以,此矩阵幂级数发散.(2):解:因‖A‖1=MAX{0.9,0.8,0