最小二乘法在摄影测量与遥感中的应用

最小二乘法在摄影测量与遥感中的应用最小二乘法在摄影测量与遥感中具有非常重要的应用，在此主要对最小二乘法在遥感图像的多项式纠正与遥感图像复原中的应用做简要的介绍。一、遥感图像的多项式纠正遥感图像的精纠正是指消除图像中的几何变形，产生一幅符合某种地图投影或图形表达要求的新图像的过程。它包括两个环节：一是像素坐标的变换，即将图像坐标转变为地图或地面坐标；二是对坐标变换后的像素亮度值进行重采样。遥感图像纠正主要处理过程如下：根据图像的成像方式确定影像坐标和地面坐标之间的数学模型。根据所采用的数学模型确定纠正公式。根据地面控制点和对应像点坐标进行平差计算变换参数，评定精度。对原始影像进行几何变换计算，像素亮度值重采样。目前的纠正方法有多项式法、共线方程法和随机场内插值法等。多项式纠正法是实践中经常使用的一种方法，因为它的原理比较直观，并且计算较为简单，特别是对地面相对平坦的情况，具有足够好的纠正精度。该方法的基本思想是回避成像的空间几何过程，而直接对影像变形的本身进行数学模拟。它认为遥感图像的总体变形可以看作是平移、缩放、旋转、仿射、偏扭、弯曲以及更高次的基本变形的综合作用结果，因而纠正前后影像相应点之间的坐标关系可以用一个适当的多项式来表达。该方法对各种类型传感器的纠正都是普遍适用的，也有不同程度的近似性。同时该方法不仅用于影像对地面(或地图)系统的纠正，还常用于不同类型影像之间的相互几何配准，以满足计算机分类、地物变化监测等处理的需要。当遥感影像的几何变形是由多种因素引起的，并且其变形规律难以用严格的数学表达式来描述时，通常选择一个适当的多项式来近似地描述纠正前后相应点的坐标关系，并利用控制点的图像坐标和参考坐标系中的理论坐标按最小二乘原理求解出多项式中的系数，然后以此多项式对图像进行几何校正。常用的多项式有一般多项式、勒让德多项式以及双变量分区插值多项式等。一般多项式纠正变换公式为：x=a+(aX+aY)+(aX2+aXY+aY2)+(aX3+aX2Y+aXY2+aY3)+…*0123456789卜y=b+(bX+bY)+(bX2+bXY+bY2)+(bX3+bX2Y+bXY2+bY3)+…一0123456789式中：X,y——某像素原始图像坐标；X,Y——同名像素的地面(或地图)坐标。多项式的项数(即系数个数)N与其阶数n有着固定的关系：1N二(n+1)(n+2)2多项式的系数a,b(i,j二0,1,2,•••,("-1))一般可由两种办法求得：ii可用预测的图像变形参数构成。利用已知控制点的坐标值按最小二乘法原理求解。根据纠正图像要求的不同选用不同的阶数,当选用一次项纠正时,可以纠正图像因平移、旋转、比例尺变化和仿射变形等引起的线性变形；当选用二次项纠正时,则在改正一次项各种变形的基础上,改正二次非线性变形。如选用三次向

纠正则改正更高次的非线性变形。对参加计算的同名点的要求（1）在影像上为明显的地物点，易于判读。（2）在影像上均匀分布。下面利用已知地面控制点求解多项式系数：（1）列误差方程式：二aa-lxax二aa-lXX1X-X・1±一一A其中，改正数向量为：ybyV=VV…}xx1x1V=VV…丄yy1y1系数矩阵为：所求的变换系数为：1a1ab1ooL_LLb====:abAA像点坐标为：2）构成法方程：(AtA)A=AtLax(AtA)A=AtLby3）计算多项式系数：a=(AtA)-1AtLaxA=(AtA)-1AtLby=±xx4）精度评定：=±xx8x8y式中：n——控制点个数；N系数个数；n-N多余观测。设定一个限差£作为评定精度的标准。若8>£，则说明存在粗差，精度不

可取，应对每个控制点上的平差残余误差V,V进行比较检查，视最大者为粗差，xiyi将其剔除或重新选点后再进行平差，直至满足5<£为止。二、遥感图像的复原在遥感图像的获取、传输以及记录保存过程中，由于各种因素，如成像设备与目标物体的相对运动，大气的湍流效应，光学系统的相差，成像系统的非线性畸变，环境的随机噪声等原因都会使图像产生一定程度的退化，遥感图像退化的典型表现是图像出现模糊、失真，出现附加噪声等。由于遥感图像的退化，使得最终获取的遥感图像不再是原始图像，图像效果明显变差。为此，要较好地显示原始遥感图像，必须对退化后的遥感图像进行处理，恢复出真实的原始遥感图像，这一过程就称为遥感图像复原。遥感图像复原的过程是首先利用退化现象的某种先验知识，建立退化现象的数学模型，然后再根据退化模型进行反向的推演运算，以恢复原始的遥感景物图像。遥感图像复原处理的关键问题就是在于建立退化模型。在用数学方法描述静止的、单色的、平面的图像时，其数学表达式就简化为I=f(x,y)，原图像f(x,y)由于通过了一个系统H及受外来噪声n(x,y)影响而使其退化为图像g(x,y)。图像复原可以看成是一个估计过程，如果已经给出了退化图像g(x,y)，并估计出系统参数H，且假设已知n(x,y)的统计特性，则可近似地恢复真实图像f(x,y)。假设图像函数f(x,y)和点扩散函数h(x,y)的大小分别为AxB、CxD，首f(x,y)=eff(x,y)=ef(x,y)00<x<A—1,0<y<B—1A<x<M—1,B<y<N—1h(x,eh(x,eh(x,00<x<C—1,0<y<D—1C<x<M—1,D<y<N—1经过这样的延拓后，f(x,y)和h(x,y)分别成为二维周期函数。它们在x和y方ee向上的周期分别为M和N。可见，二维退化模型是一个二维卷积形式，即1)(x,y)=££nif(m,n)h(x-m,y-n)1)eem=0n=0式中，x=0,1,2,…,M—1;y=0,1,2,…,N—1;卷积函数g(x,y)也是周期函数，其周期与f(x,y)和h(x,y)一样。为避免重叠，同样要按以下规则延拓ee所以式(1)的模型也可以用以下矩阵来表示[g]=[H]f]其中，[H]、[f]都是MxN维的列向量。这些列向量是由MxN维的函数矩阵「f(x,y)]和「h(x,y)1的各行堆积而成的。ee在加性噪声n(x,y)的影响下，离散退化模型可写为2)g(x,y)=燈N-1f(m,n)h(x-m,y-n)+n(x,y)eeeem=0n=02)1.图像的非约束复原由式(2)可知，其噪声项为n二g-Hf在对n不了解的情况下，希望找到一个f的估计值f，使得Hf在最小二乘意义上最接近g，使n的范数最小，即制|2二nrn二g-明2二g-Hf/制|2二nrn二这样，图像复原问题就转变为求J(f)=||g-Hf的极小值问题，而不受任何其他条件的约束，这种复原称为非约束复原。为此，只需要求其对f的微分就可以得到复原公式，即简化为f=(HtHLHTg令M=N，则H为一方阵，并且假设H-1存在，于是可求得:f二H-1(Ht)-iHTg二H-ig即为所求得的非约束复原公式。2.图像的约束复原在最小二乘复原处理中，为了在数学上更容易处理，并且适用于遥感领域，

常常对/附加不同的约束条件。此时，求解方程J(f)=||g-Hf就需要使用拉格

函数服从约束条件”-=iini2的最小化问题。寻找一个最优估计f，使下述准则函数为最小，即朗日乘数法，令Q为函数服从约束条件”-=iini2的最小化问题。寻找一个最优估计f，使下述准则函数为最小，即L+/g-nf\-mi2空=2Q©-次空=2Q©-次H(g-然后求解f为:HtH+-HtH+-QtQ[九)-1丿HTg即是所要求的约束复原公式。最小二乘法原理在求解图像复原公式