概率的乘法公式

1.5概率的乘法公式1.5.1条件概率【问题1】3张奖券中只有一张能抽奖，现分别由3名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到奖券的概率是否比其他同学小？若抽到中奖券的概率用“Y”表示，没有抽到的用“Y”表示，用n(A)表示事件A中基本事件的个数，那么所有可能抽取情况为0={YYY,YYY,YYY},用B表示最后一名同学抽到中奖奖券的事件，则B={YYY}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为p(B)=【问题2】如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？因为已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么所有可能的抽取情况变为A_耐'YYy}，由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为豔_2，不妨记为P(B|A).显然，知道第一名同学的抽取结果，即知道了事件A的发生，会影响事件B发生的概率，从而导致了P(B)丰P(BIA).【问题3】对于上面的事件A和B，计算P(BIA)的一般想法是什么？既然已经知道了事件A的必然发生，所以只需局限在A发生的范围内考虑问题，在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，即AB发生，对于古典概型，由于组成事件A的各个基本事件发生的概率相等，因此其条件概率为P(BIA)_n(AB).①为了把条件概率推广到一般情形，我们对上述公式作如下变形：

P(B1A)-n(AB)_m(AB)/n(⑵—P(AB)n(A)m(A)/n(Q)P(A)P(BP(BIA)=P(AB)P(A)这一式子已经不涉及古典概型，可以将它作为条件概率的推广定义.一般地，设A,B为两个事件，且p(A)>0，称P(BIA)=P(AB)②P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(conditionalprobability).一般地，把P(BIA)读作A发生的条件下B的概率。条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0<P(BIA)<1.如果B和C是两个互斥事件，则P(BuCIA)=P(BIA)+P(CIA).例1．在5道题中有3道理课题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题，求：第1次抽到理科题的概率；第1次和第2次都抽到理科题的概率；在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率。【答案】设第1次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题为事件B,则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.从5道题中不放回的依次抽取2道的事件数为n(Q)=A2=20.5根据分步乘法计数原理,n根据分步乘法计数原理,n(A)=AixAi=12，于是34P(A)P(A)=n(A)n(Q)i220(2)因为n(AB)=A2=6，所以344P(AB)二籍=20=10-（3）解法1由（1）（2）可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为3P(P(B|A)=P(A)P(AB)_I^_1解法2因为n(AB)=6,n(A)=12，所以P(P(BIA)=n(AB)n(A)—122提升：在实际应用中，解法2是一种重要的求条件概率的方法。例2.一个家庭有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？【答案】一个家庭的两个小孩只有4中可能：｛两个都是男孩｝,｛第一个是男孩，第二个是女孩｝,｛第一个是女孩，第二个是男孩｝｛两个都是女孩｝由题目假定可知这4个基本事件发生是等可能的，根据题意，设基本事件空间为Q,A=“其中一个是女孩”，B=“其中一个是男孩”。则Q=｛（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）｝A=｛（男，女），（女，男），（女，女）｝B=｛（男，男），（男，女），（女，男）｝问题是求在A发生的情况下，事件B发生的概率，即求P（BIA）・法一：由上面分析可知n（A）二3，n（AnB）二2.由公式①可得2P（BIA）二3因此所求的条件概率为2。332法二：由上面分析可知P（A）二，P（AnB）=.44由公式②可得2p（B1A）=3=3.因此所求的条件概率为2。3例3.已知有10只产品，其中6只只正品，4只次品，不放回的抽取两次已知第一次抽到的是次品，问第二次抽到正品的概率；已知第一次抽到的是正品，问第二次仍然抽到正品的概率；二次都抽到正品的概率;已知其中一次抽到的是正品，问另一次也抽到正品的概率；【答案】根据题意得：设正品编号为Z,Z,Z,Z,Z,Z，次品编号为C,C,C,C，基本事件空间是TOC\o"1-5"\h\z234561234ZZ,ZZ,ZZ,ZZ,ZZ,ZC,ZC,ZC,ZC,121314151611121314ZZ,ZZ,ZZ,ZZ,ZZ,ZC,ZC,ZC,ZC,12324252621222324ZZ,ZZ，…,ZZ,ZZ,ZC,ZC,ZC,ZC,5152565151525354ZZ,,ZC,ZC,ZC,ZC,6161626364CZ,CZ,CZ,CC,CC,CC,111216121314CZ,CZ,CZ,CC,CC,CC,12226212324CZ,CZ,CZ,CC,CC,CCZ,CZ,CZ,CC,CC,CC，其中共有90个基本事件，设事件A(i=1,2)表示第i次抽到正品，事件B(i=1,2)表示第iii次抽到次品，则(1)p(1)p(7B)=罟=鵲=34=31(2)(3)P(A|A)=P(A1cA2)=摯0=30=5；(2)(3)21P(A)54/905491P(AcA)=30=-;1/903(4)P((AcA)1(AuA))=P(A1CA2)=30/90=30=A.(4)1/12p(AuA)78/90781312例4.一张储蓄卡的密码共有6为数字，每位数字都可以从0~9中任选一个。某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字。求任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；如果他记得密码的最后一位数字是偶数，不超过2次就按对的概率；【答案】设第i次按对密码为事件A(i=1,2)，则A=Au(AA)表示不超过2次就按i112

对密码.(1)因为事件A与事件AA互斥，由概率的加法公式得112P(A)=P(A)+P(AA)TOC\o"1-5"\h\z11219x11—+——1010x95(2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(A|B)—P(A|B)+P(AA|B)11214x12——+—・55x45习题1.5.1(A)】下列式子成立的是(B.0<P(B|A)<1A.P(AB.0<P(B|A)<1C.PC.P(AB)二P(A)•P(B|A)D.P(AcB|A)二P(B)【答案】C2.在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在【答案】C2.在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率为()【答案】59123.已知P(B|A)—3，P(A)—5，则P(AB)等于(B.—10A.56【答案】AC-124.抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之和大于20的概率是(A.14d.5【答案】5.一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是()5321A.-B.3C.2D.-6433【答案】C根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为？，下雨的概率为11，既吹东风3030又下雨的概率为38-，则在吹东风的条件下下雨的概率为()A.911B.-11A.911B.-11c.2D.【答案】D某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲打错，由乙答，答对的概率为TOC\o"1-5"\h\z0.5,则问题由乙答对的概率为.【答案】Aio&100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为.【答案】9599从1〜100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为.【答案】3350把一枚硬币任意掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，求P(B|A).【答案】12盒中有25个球，其中10个白的、5个黄的、10个黑的，从盒子中任意取出一个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率.【答案】131号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从二号箱随机取出一球，问：从1号箱取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？从2号箱取出红球的概率是多少？【答案】⑴4⑵499某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人。从该班任选一个作学生代表.

(1)求选到的是第一组的学生的概率；(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率.【答案】⑴丄⑵亘430【习题1.5.1(B)】P(A)二5P(A)二5，贝yP(AB)=(1.已知P(BIA)=-，10A.12【答案】A.12【答案】DB.D.350由“0”、“1”组成的三维数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，贝P(A|B)=()A.B.C.1A.B.C.1D.【答案】A3-【答案】A3-某地区气象台统计，该地区下雨的概率是£2刮三级风的概率为-，即刮风又下雨的151概率为1o，则在下雨天里，刮风的概率为(A.8225B.-A.8225B.-C.D.【答案】C一个口袋中装有2个白球和3个黑球，贝先摸出一个白球后放回，在摸出一个白球的概率是()A.B.1C.A.B.1C.D.【答案】C把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数TOC\o"1-5"\h\z点的概率为()111A.1B.C.D.-234【答案】B设某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4。现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是.【答案】12—个口袋内装有2个白球，3个黑球，贝V：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率?先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率？TOC\o"1-5"\h\z【答案】⑴2⑵丄54&某种元件用满6000小时未坏的概率是3，用满10000小时未坏的概率是1，现有一个42此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能用到10000小时的概率.【答案】23某个班级共有学生40人，其中团员15人，全班分成四个小组，第一组有学生10人，其中团员4人。如果要在班内任选一人当学生代表.求这个代表恰好在第一小组内的概率求这个代表恰好是团员代表的概率求这个代表恰好是第一小组内团员的概率现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率【答案】⑴丄⑵3(3)2⑷±48515市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品合格率是95%，乙厂合格率是80%，求市场上灯泡的合格率是多少？市场上合格品中甲厂站百分之几？(保留两位有