概率论与数理统计 总复习

2013级概率论与数理统计总复习一、单项选择题随机事件的关系与运算(互不相容、相互对立、相互独立、乘法公式、条件概率)设A,B为两个事件，且BuA，贝y()A.P(AUB)二P(A)+P(B)B.P(AAB)二1-P(A)C.P(AUB)=P(A)+P(B)D.P(B-A)=1已知事件A、B互不相容，P(A)>0、P(B)>0，则()A.P(AUB)二1b.P(AAB)二P(A)P(B)C.P(AAB)二0d.P(AAB)>0设事件A与事件B互斥，则()(A)P(AB)=0⑻P(AB)二P(A)P(B)(C)P(A)=1-P(B)(D)P(AUB)=1设A与B为对立事件，P(A)>0，P(B)>0.则下列结论错误的是()A.P(AB)二0B.P(AUB)二1C.P(AIB)二0D.P(BIA)二013已知P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=-，416则事件A、B、C全不发生的概率为()7319(A)7；(B)3；(C)1；(D)9.164416答案：BCDDA分布函数的性质a.设F(x)与F(x)分别为随机变量X与X的分布函数，为使1212F(x)=aF(x)-bF(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定12的各组数值中应取().222Aa=—,b=一一ba=—,b=—5533C.aC.a=2,b=3d.22b.设F1(x),F2(x)为分布函数，则当aJOa2：：'0均为常数，且a广a2=时,a1FJx)ia2F2(x)也为分布函数.A.0B.1C.-1D.2c.

设随机变量巴的分布函数为（0,0Ax2,Owx<1,1,1<x则系数A应满足的条件是.A.A>1B.A>0C.A<1D.0<A<1d.设随机变量X的分布函数为F(x)=F(x)=A--ex,x<031211AA二一一,B二一bA二一一,B=—333，3C.a=0,B=1D.以上都不对答案：ABDC常用分布（二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布与正态分布）取值的概率a.TOC\o"1-5"\h\z设电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布,则某分钟完全没有呼唤的概率为.A.1一B.e-4C.D.l-e-44!4!b.设随机变量匚服从参数上二2的指数分布,则PU>1H.A.1一B.C.e-2D.1一e-222c.设一批产品共N个:其中有M个次品.对这批产品逬行放回抽样’连续抽取科次.设被抽查的斤个产品中的次品数为兀则至多有一个次品的概率为（）A.(1一MN)+nMN-(1一MM)n-1B.n善+(MN)n-1-(1-MM)NNNNNN

A.C.MMMMMMC.+n・(1—)n-1D(1—)n+n・(1—)n-1NNNNNN答案：BCD正态分布的有关性质及取值概率设X〜N(—1,b2)且P(—3<X<—1)=0.4,则P(X马=A.0.1B.0.2C.0.3D.0.9b.若标准正态分布的函数Fo1(x),当x=a和x=—a时相等，且Fo](0.5)二0.6915,则Fo,1(a)的值是().(A)0.6915;(B)0.5;(C)0;(D)0.3930.c.设随机变量X与Y均服从正态分布，X〜N(R,22)，Y〜N(卩,52)，记p二P{X<r—2}，p二P{Y>r+5},12TOC\o"1-5"\h\z则()A.只对卩的个别值才有P=PB.对任何实数卩，都有p<p1212C.对任何实数卩，都有p二pD.对任何实数卩，都有p>p1212答案：ABC卩<卩对H:015•卩<卩对H:01a.设总体X〜N(2)，统计假设为H:0卩>卩，若用u-检验法，则在显著水平a下的拒绝域为()_0(B)X—u、(B)X—u、(B)>b<na(D)X—u(D)<b<na(A)>uSvna(C)x—卩匕(C)<uSnb・设总体X〜N(u,b2)，统计假设为H:u>U对H:001u<u，若用t—检验法，则在显著水平a下的拒绝域为()0(A)t<t(n—1)(B)t>t(n—1)aa(C)t>t(n—1)(D)t<t(n—1)1—a1—a_1“c.正态总体X〜N(UQ2)，X,X,,X为样本，X=_£X，12nnii=1假设检验H:b22(b为已知数)，H:b2>G2.在显著性00010Y(X—X)2i水平a下，则当占()时，拒绝H。TOC\o"1-5"\h\zb200(A)>t(n—1)(B)<t(n—1)aa2(C)<x2(n一1)(D)>x2(n一1)1—aa答案:BDD二、填空题随机事件的运算与表示a.设A,B,C表示3个随机事件，试以A,B,C的运算来表示下列事件:（1）｛A,B,C恰有1个发生｝表示为.（2）｛A,B,C不多于1个发生｝表示为.b.甲,乙,丙三个各自向同一目标射击一次,令:A]=｛甲击中目标｝,A2=｛乙击中目标｝,A3二｛丙击中目标｝又若目标至少被击中两次,则该目标被摧毁.设B=｛目标被摧毁｝,若用A1,A2,A3表示B,则有B=.答案：⑴填^BCU^-SCljJJc；⑵填ABC\JABCLABCLABC.丿1比U上沁U虫,坷山討』U虫1上討3U虫1虫2金U丿祖玄禺.2•计算概率（古一典概型，条件概率，全概率公式与贝叶斯公式）a.三个箱子,第一个箱子中有4个黑球,1个白球,第二个箱子中有3个黑球,3个白球,第三个箱子中有3个黑球,5个白球.现随机地取一个箱子,再从这个箱子中取出一个球,这个球为白球的概率为.已知取出的球是白球,此球属于第二个箱子的概率为.b.某厂生产的一种产品，分别由甲、乙、丙三个检验员负责检验，甲、乙、丙三人检验通过的产品数，分别占检验通过的产品总数的20％，30％和50％，已知甲、乙、丙三人误使次品通过的概率分别为0.15，0.05和0.11。（1）现在从检验通过的产品中任取一件，问它是次品的概率是多少？（2）从被检验通过的产品中任取一件，发现它是次品，这件产品由甲、乙、丙三人检验通过的概率各是多少？

玻璃杯成箱出售,每箱20只,各箱次品数为0,1,2只的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯,售货员随机取出一箱,顾客开箱后随机取4只进行检查,若无次品,购买,否则退回,求:顾客买下该箱玻璃杯的概率卅;在顾客买下的一箱中，确实没有次品的概率”.答案：答设A厂｛取自第i只箱子｝,i=1,2,3;B=｛取出的球是白球｝.由全概率公式111315-_十-T—■35363853120P(B)=fP111315-_十-T—■35363853120-=1i1由页贝斯公式13P(A2|B)P(A2)P(BIAP(A2|B)P(A2)P(BIA2)P(B)答案b.设A=｛从检验通过的产品中任取一件发现是次品｝B=｛所取产品为经甲检验过的产品｝B=｛所取产品为经乙检验过的产品｝，2B3=｛所取产品为经丙检验过的产品｝,1)根据已知条件P(B)二20%，P(B)二30%，P(B)=50%，P(P(AIB)二0.15，P(AIB)二0.05，P(AIB)=0.11，

123所以，由全概率公式就可求出事件A的概率P(A)二P(B)P(AB)+P(B)P(AB)+P(B)P(A|B)1122313112=20%x0.15+30%x0.05+50%x0.11=0.03+0.015+0.055=0.1。2)这实际上就是要求在已知事件A发生的条件下，事件B1，B2,B3发生的条件概率。由条件概率公式可以得到P(BJA)=需==叮=0-30P(B|A)==P(B2)P(aB2)=30%x005=0.15,P(A)P(A)2」P(AP(A)P(A)P(b|A)=P(AB)P(b)p(a\b)313P(A)P(A)50%x0.11—0.550.1答案c：解设A广“每箱中有/只次品”(i=0,1,2),B=“顾客买下所检查的一箱”，则P(A0)=0.8,P(A丿=P(A2)=0丄TOC\o"1-5"\h\zC44C412P(BIA0)=1,P(BIA严才岭P(BIA丿二才弋01C452C4192020于是，a=P(B)=丈P(A.)P(BIA.)_iii=012=0.8/10.1汽4i0.1x12=0.943.19P=P(A0IB)=PAB2P=P(A0IB)=PAB2P(B)PA0)PB1A0)P(B)08电0.943二0.85.随机变量的数学期望与方差的性质a.设X与Y是随机变量，且E(X)二E(Y)二1D(X)二D(Y)二4，E(XY)二2，则D2X-3Y曲二b.设随机变量X,X,X相互独立，其中X在［0，6］上服从均匀1231分布，X?服从正态分布N(0，22),X3服从参数为九=3的泊松分布，记Y—X—2X+3X，则E(Y)=123c.设随机变量(X,Y)服从正态分布N(0,0,1,1,0)，则TOC\o"1-5"\h\zD(3X-2Y=_)。答案：401213切比雪夫不等式a.设陆机变址X的数学期矍£(X}=0.方亞D{X)=4.则由辺比当夫不等式可蚓概举P(|.Yi>4)彷于零于.设随机变量X的EX=卩，DX-b2，用切比雪夫不等式估计P{IX—卩l<3b}设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式P{lX+Yl<6}811答案：0.25,>9,»125.正态总体N（卩Q2）参数估计量的无偏性设X,X是来自总体X~Ng,®）的样本，若CX—2X是卩1212的一个无偏估计，则常数C=.设X,X,X是来自正态总体X~N（卩,1）的样本，则当a二时,123___卩=1X+1X+aX是总体均值卩的无偏估计.31223设X，…,X为来自总体N（p,o2）的一个样本，1nc*（X一X）2为b2的无偏估计，则常数c=.i+1ii=1答案：3，1/6，1/2（n—1）三、计算题求二维离散型随机变量的概率分布a.设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为Y123X111a6122111666311b126试求：(1)常数a,b;(2)概率P(2<X兰2,0vYE3：164164c.设二维离散型随机变量的联合分布如下表:X一二123411/4001/1621/161/401/4丁30.、1/161/160b.b.设二维离散型随机变量（X,Y）的概率分布如右图，试求：（1）分别关于X、Y的边缘概率分布,并判断X与Y的独立性；（2）在X=1的条件下Y的条件分布律；（3）随机变量Z=2X+Y2的概率分布。12-212120-102112121230121212试求：P-<Xv：:Y<4[^2答案:b解】(1b解】(1)X—301pi-111623Y—2—10p-j111442因为P{X=1,Y=-2}丰P{X=1}P{Y=-2}，所以X与Y不独立。2)Y=yj—2—10P{Y=y1X=1}013j443)Z=2X+Y26520123461122312P1201212121212120解P{1二X二2,3乞Y二4}=P{X=1,Y=3}P{X=1,Y=4}-P{X=2,Y=3}—P{X=2,Y=4}=0丄-卜0=0丄-卜0—=516已知连续型密度函数，求：随机变量函数的概率密度2-5:3，4，5，6a.设X与X分别服从(--,-)与(0,兀)上的均匀分布，求随机变1222量函数Y二sinX与Y二sinX的概率密度x>x>0,其他.设随机变量X的概率密度为:f(x)=的概率密度c.设随机变量X~N(0,1)，求Y=|X的概率密度答案：b.当y<0时，F(y)=P(Y<y)=P(X2<y)=0；Y当y>0时，F(y)=P(X2<y)=P(-汀<X<杼)=F(“)-F(-訂)YXX.于是，随机变量Y的概率密度f(y):f(y):占f'~)+占f(*~”丨0y>0,其他.0,y>0,其他.已知二维连续型随机变量的联合密度函数(含待定常数)，求：待定常数,边缘概率密度与独立性判断，条件密度a.设二维随机变量忆,n)的联合概率密度为Ae-xAe-x-y00<y<x其他1)求常数A；2)求边缘密度住2)求边缘密度住(x)和呛)，并且问g与耳是否相互独立?求申(xIy)9(yIx)gm诞P{m<11g>1}b.

设二维连续型随机变量(二小的联合概率密度为{Ae~(2x十3y),X>0,y>00,x<0,y<0试求⑴系数A的值；D{(x,y)|x0,y0,2x3y6}(的概率0是否独立？(43)求求P{n2的联合分布函数•C.设二维随机变量(X,Y)的密度函数为:f(x,y)f(x,y)=Ax2y002y2x21

其他(1)求A.(2)求(X,Y)分别关于X和Y的边缘密度函数f(X)X和f(y)；(3)判断X与Y是否相互独立Y解a:(1)因为e-ydydx001=J+sJ+s申(x,y)dxdy=卜订XAe-x-ye-ydydx0000-s-s00=AJ+s=AJ+se-x(1-e-x)dx=AJ+s(e-x-e-2x)dx=A(-e-x00e-2x+—2)+s=2A?所以A=2，即有申(x,y)=2e-x-所以A=2，即有申(x,y)=2e-x-y00<y<x其他2)绻(x)=g(x，y)dy=-sx2e-x-ydy[00x>0x202e-x(1-e-x)0x>0x20/、J+8/xa[J+s2e-x-ydx申(y)=J申(x,y)dx=<y0-s「0因为y>0y202e-2y0y>0y20役(x)役(x)®Jy)2e-x(1-e-x)2e-2y=4e-x-2y(1-e-x)0其他卩=总卩=总2e-2e-x-y00<y<x其他所以g与耳不相互独立。2e-1-2e-2(3)2e-1-e-2解b：由I寸冷(x,y)dxdy=卜卜Ae-(2x+3y)dxdy=1,得A=6.—8—800fg(x)=I+89(x.y)dy=I+86e-(2x+3y)dy=2e-x，x>0；g-80f(y)=I+89(x,y)dx=I+86e-(2x+3y)dx=3e-y，y>0."-80⑶由于9(x,y)=f(x)f(y),可知g与n独立gn(4)P{n<214}=P{n<2}=123e-ydy=3(1-e-2)0【解】A=10⑵fx(x)=1I⑵fx(x)=1Ix10x2ydy00Ix10x2ydxy00<x<1=15x40<x<1其他"t00<y<1=<¥(y-y4)其他］0其他0<y<1其他J、(3)因为f(x,y)丰f(x)f(y)，所以X与Y不独立。XY总体参数的矩估计与极大似然估计(一个参数)。x〉1设总体X的概率密度函数为：f(x)=<x0+1，其中0〉1、0其他为未知参数，又X,X，…,X为来自X的容量为n的样本，试求12n未知参数0的(1)矩估计量；极大似然估计量。设总体x的概率密度函数为：f(x,e)=卜心0-10<x<】，又〔0其他X,X,...,X为来自X的容量为n的样本，试求未知参数0的12n(1)矩估计量；(2)极大似然估计量。a.解：2）似然函数L2）似然函数L(B)=Pn(xx・・・x)p+112nInL(P)=nInP-(P+1)£Inxii=1求导数dlnL(P求导数dlnL(P)

dxnn十ln兀令其为零’解得:ii=1n为lnxii=1n所以P的最大似然估计量P二艺lnXii=1b.解:b.解:EX=j1空。x9dx=e+1(EXe=U-EX2)似然函数l(e)=Hf(x,e)=n岳x咯-1=e；frixii(i,i=1i=1i=1lnL(e)=lnL(e)=；lne+i=1lnxidLndLn11ae=2e+工lnx=0ii=1n=()2才lnxii=1四、综合应用题1.二项分布、正态分布与中心极限定理的应用。某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。（1）试写出随机变量X的概率分布；（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值。①（1.5、=0.9332,①（2）=0.9772,①（2.5）=0.9938,①（3）=0.9987）某车间有同型号车床200台,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工序等常需停工。假设每台车床的开工率为0.6开、关是相互独立的，且在开工时需电力15千瓦，问应供应多少千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?a.【解】（1）设在抽查的100个索赔户中，被盗户数为X，则X可以看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此X—b（100,0.2），故X的概率分布为：P{X=i}=Cix0.2ixO.8ioo-i（i=0,1,2,,100）100（2）被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14<X<30}的概率，由中心极限定理得P{14<XP{14<X<30}u①'30-100x0.2i；100x0.2x0.8-①丿I14-100x0.2'<100x0.2x0.8丿=①(2.5)—①(-1.5)=①(2.5)+①(1.5)—1=0.927b.解用X表示在某时刻开工的车床数,根据题设条件可知：X~B（200,0.6）.假设需要M千瓦的电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产，故应有P{15X<M}=0.999。又P{15X<M}=P{XP{15X<M}=P{X<M15}u①|M/15-200x0.6&200x0.6x(1-0.6)“W/15-120<48由已知①(3.01)=0.9990，欲使P{15X<M}=0.999，只要M/15-120解得M=15x（120+3.01x阿）=2112.81。因此应供应2112.81千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产。单正态总体参数的区间估计及单侧置信上（下）限设某批电子管的使用寿命服从正态分布,从中抽出容量为10的样本，测得使用寿命的标准差s=45（小时）.求这批电子管使用寿命的均方差的置信水平为95%的单侧置信下限.某种油漆的干燥时间（小时）服从正态分布N（"2），从中抽取一个容量为9的子样，测得X=6（小时），s2=0.33（小时2）。（1）若已知b=0.6（小时），求卩的置信度为0.95的置信区间；（2）若已知b=0.5（小时），求卩的置信度为0.95的单侧置信下限；（3）若b未知，求卩的置信度为0.90的置信区间。（4）若b未知，求卩的置信度为0.90的单侧置信上限。答案：a.74.035由于方差已知’故在由于方差已知’故在H0成立时’选取统计量由于方差已知’故在由于方差已知’故在H0成立时’选取统计量012012双正态总体参数的双侧假设检验（方差与均值）a.从某锌矿的东西两支矿脉中，各容量为9和8的样本分析后，计算其样本含锌量的平均值与方差分别为：东支：x=0.230,s2=0.1337,n=9；11西支：y-0.269,s2=0.1736,n=8。12假定东西两支矿脉的含锌量都服从正态分布。对a二0.05，问能否认为