数学人教B版选修1-2课堂探究2.2.1综合法与分析法

课堂探究探究一应用综合法证明命题1．综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性．用综合法证明题的逻辑关系是：AB1B2…BnB(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达是“∵，∴”或“”．2．综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就是保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性．【典型例题1】设数列{an}满足a1＝0，且eq\f(1,1－an＋1)－eq\f(1,1－an)＝1.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(1－\r(an＋1),\r(n))，记Sn＝b1＋b2＋…＋bn，证明：Sn＜1.思路分析：(1)构造数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－an)))，证明其是等差数列．(2)对bn进行拆分，这样便于求出Sn，最后再与1进行比较．(1)解：由题设eq\f(1,1－an＋1)－eq\f(1,1－an)＝1，知eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－an)))是公差为1的等差数列．又eq\f(1,1－a1)＝1，故eq\f(1,1－an)＝n.所以an＝1－eq\f(1,n).(2)证明：由(1)得bn＝eq\f(1－\r(an＋1),\r(n))＝eq\f(\r(n＋1)－\r(n),\r(n＋1)·\r(n))＝eq\f(1,\r(n))－eq\f(1,\r(n＋1))，Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(2))－eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))－eq\f(1,\r(n＋1))＝1－eq\f(1,\r(n＋1))＜1.探究二用分析法证明命题1．分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知．2．用分析法证“若P，则Q”这个命题的模式是：为了证明命题Q为真，则只需证明命题P1为真，从而有……这只需证明命题P2为真，从而有…………这只需证明命题P为真．而已知P为真，故Q必为真．3．用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则极易出错．【典型例题2】设a，b为实数，求证：eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)．思路分析：对a＋b≤0时的情形单独证明，再用分析法证明a＋b＞0时的情形，注意均值不等式的正确使用．证明：当a＋b≤0时，∵eq\r(a2＋b2)≥0，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．当a＋b＞0时，用分析法证明如下：要证eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)，只需证(eq\r(a2＋b2))2≥eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)(a＋b)))2，即证a2＋b2≥eq\f(1,2)(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴eq\r(a2＋b2)≥eq\f(\r(2),2)(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．探究三分析法与综合法的综合应用在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用，根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P，若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立．一般情况下，用分析法寻找思路，用综合法完成证明．【典型例题3】在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝4∶2∶1，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,c).分析：已知条件是角的关系，求证的结论是边的关系，很难直接建立二者的关系，可结合正(余)弦定理进行证明．证明：设∠C＝α，则∠B＝2α，∠A＝4α，且α＋2α＋4α＝7α＝π.欲证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,c).可证：bc＋ac＝ab，即ab－bc＝ac.因而只需证：a－c＝eq\f(ac,b).下面我们考虑找出线段ac的关系来，可在BC上取一点D，使AD=AB(如图)．由角的关系并注意到7α=π，可有DC=AD=AB=c，故BD=ac.因而只需证BD=即可．在△ABD中，由正弦定理，得=，从而BD=.又7α=π，故sin3α=sin4α，故BD==2ccos2α.故只需证cos2α=即可．由于要证的结论中含有a，b，需考虑△ABC，由正弦定理，有=，由于sin4α=2sin2αcos2α.故有cos2α=，所以有+=.点评本题将分析法与综合法交错使用，我们也可以只用综合法将证明过程叙述出来，那样会更简洁，但必须在分析之后．探究四易错辨析易错点1：忽视不等式性质的使用前提而致误【典型例题4】求证：eq\r(2)－eq\r(5)＜eq\r(3)－eq\r(6).错误证法：要证eq\r(2)－eq\r(5)＜eq\r(3)－eq\r(6)，需证(eq\r(2)－eq\r(5))2＜(eq\r(3)－eq\r(6))2，需证7－2eq\r(10)＜9－2eq\r(18)，需证－2eq\r(10)＜2－2eq\r(18)，需证eq\r(18)－eq\r(10)＜1，需证28－2eq\r(180)＜1，需证27＜2eq\r(180)，需证729＜720，这与事实不相符，故原不等式不成立．错因分析：a＜ba2＜b2的前提是：a，b都是大于0的实数．由于没注意到这一点，从而造成逻辑上的错误．正确证法：要证eq\r(2)－eq\r(5)＜eq\r(3)－eq\r(6)，需证eq\r(2)＋eq\r(6)＜eq\r(3)＋eq\r(5)，需证8＋2eq\r(12)＜8＋2eq\r(15)，需证eq\r(12)＜eq\r(15)，即证12＜15，这是事实，故原不等式成立．易错点2：证明不等式却误用了结论本身而致误【典型例题5】求证：eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6).错误证法：eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)，并且eq\r(2)＋eq\r(10)和2eq\r(6)都是正数，所以(eq\r(2)＋eq\r(10))2＜(2eq\r(6))2，即12＋4eq\r(5)＜24，eq\r(5)＜3，所以5＜9.因为5＜9成立，所以不等式eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)成立．错因分析：把eq\r(2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)看成了条件去推理，不符合分析法的要求．正确证法：因为eq\r(2)＋eq\r(10)和2eq\r(6)都是正数，所以要证eq\