数学北师大版选修2-3学案第二章3条件概率与独立事件

§3条件概率与独立事件学习目标重点难点1.在具体情境中，了解条件概率的概念并能解决一些简单的实际问题．2．能说出相互独立事件的意义，理解独立事件同时发生的概率乘法公式.重点：条件概率、独立事件的概念．难点：条件概率、独立事件的概率计算.1．条件概率(1)求已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)，P(A|B)＝eq\f(P(A∩B),P(B))(其中，A∩B也可写成AB)．(2)A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A)).预习交流1任意向区间(0,1)上投掷一个点，用x表示该点的坐标，设事件A＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))))，B＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)<x<1))))，你能求出P(B|A)吗？提示：P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2)＝0.5.2．独立事件一般地，对两个事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称A，B相互独立．可以证明，如果A，B相互独立，则A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与B，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也相互独立．预习交流2若事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)，与P(AB)＝P(A|B)·P(B)矛盾吗？提示：不矛盾，若事件A与B相互独立，则P(A|B)＝P(A)．1．条件概率盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个．求：(1)取两次，两次都取得一等品的概率；(2)取两次，第二次取得一等品的概率；(3)取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率．思路分析：由于是不放回地从中取产品，所以第二次抽取受到第一次的影响，因而是条件概率，应用条件概率中的乘法公式求解．解：记Ai为第i次取到一等品，其中i＝1,2.(1)取两次，两次都取得一等品的概率，则P(A1A2)＝P(A1)·P(A2|A1)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,4)＝eq\f(3,10).(2)取两次，第二次取得一等品的概率，即第一次有可能取到一等品，也可能取到二等品，则P(A2)＝P(eq\x\to(A1)A2)＋P(A1A2)＝eq\f(2,5)×eq\f(3,4)＋eq\f(3,5)×eq\f(2,4)＝eq\f(3,5).(3)取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为P(eq\x\to(A1)|A2)＝eq\f(P(\x\to(A1)A2),P(A2))＝eq\f(\f(2,5)×\f(3,4),\f(3,5))＝eq\f(1,2).甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问(1)乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？(2)甲地为雨天时，乙地为雨天的概率为多少？解：设A＝“甲地为雨天”，B＝“乙地为雨天”，则根据题意有：P(A)＝0.20，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，因此，(1)P(A|B)＝eq\f(P(AB),P(B))＝eq\f(,)≈0.67；(2)P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(,)＝0.60.即：乙地为雨天时，甲地为雨天的概率约为0.67，甲地为雨天时，乙地为雨天的概率为0.60.条件概率的判断：当题目中出现“在……前提下(条件)”等字眼时，一般为条件概率；题目中没有出现上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，一般也认为是条件概率．2．独立事件一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，讨论A与B的独立性．(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．思路分析：(1)先写出家庭中有两个小孩的所有可能情形，需注意基本事件(男，女)，(女，男)是不同的，然后分别求出A，B所含的基本事件数，由于生男生女具有等可能性，故可借助古典概型来求P(A)，P(B)及P(AB)的概率，最后分析P(AB)是否等于P(A)P(B)，(2)同(1)．解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知每个基本事件概率都为eq\f(1,4).∵A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，∴P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(1,2).∴P(A)P(B)＝eq\f(3,8)≠P(AB)．∴事件A，B不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩，女孩的所有可能情况为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，由等可能性知这8个基本事件的概率均为eq\f(1,8)，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．于是P(A)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3,8)，显然有P(AB)＝eq\f(3,8)＝P(A)P(B)成立，从而事件A与B是相互独立的．设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、，甲、，乙、，求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少？解：记“机器甲需要照顾”为事件A，“机器乙需要照顾”为事件B，“机器丙需要照顾”为事件C．由题意知，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响．因此，A，B，C是相互独立事件．由题意知P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125.解得P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5.∴甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5.由定义知若P(AB)＝P(A)·P(B)，则A，B独立，即如果A，B同时成立时的概率等于事件A的概率与事件B的概率的积，则可得出事件A和事件B为相互独立事件．1．把一枚硬币抛掷两次，事件A＝“第一次出现正面”，事件B＝“第二次出现反面”，则P(B|A)＝()．A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4) C．eq\f(1,3) D．1答案：A解析：P(B)＝P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,4)，∴P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2).2．在10支铅笔中，有8支正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是()．A．eq\f(1,5) B．eq\f(8,45) C．eq\f(8,9) D．eq\f(4,5)答案：C解析：记事件A，B分别表示“第一次、第二次抽得正品”，则eq\x\to(A)B表示“第一次抽得次品，第二次抽得正品”．∴P(B|eq\x\to(A))＝eq\f(P(\x\to(A)B),P(\x\to(A)))＝eq\f(\f(2×8,10×9),\f(2×9,10×9))＝eq\f(8,9).3．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p1，乙解决这个问题的概率为p2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是()．A．p1p2 B．p1(1－p2)＋p2(1－p1)C．1－p1p2 D．1－(1－p1)(1－p2)答案：B解析：甲解决问题乙没有解决问题的概率为p1(1－p2)，乙解决问题而甲没有解决问题的概率是p2(1－p1)，故恰有1人解决问题的概率为p1(1－p2)＋p2(1－p1)．4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为__________．答案：eq\f(5,12)解析：记两个零件中恰有一个一等品的事件为A，则P(A)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(5,12).5．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取