2022-2023学年湖南省张家界市高一年级下册学期期末联考数学试题【含答案】

2022-2023学年湖南省张家界市高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为，故，故故选：C.2．运动员甲​次射击成绩（单位:环）如下:​，则下列关于这组数据说法不正确的是（

）A．众数为​和​ B．平均数为​C．中位数为​ D．方差为​【答案】C【分析】根据众数，平均数，中位数和方差的定义，即可判断选项.【详解】由题意，这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次，故众数为7和9，A正确；计算平均数为​，故B正确；将10次射击成绩从小到大排列为:​，则中位数为​，故C错误；方差为​，故D正确.故选：C3．目前，甲型流感病毒在国内传播，据某市卫健委通报，该市流行的甲型流感病毒，以甲型亚型病毒为主，假如该市某小区共有100名感染者，其中有10名年轻人，60名老年人，30名儿童，现用分层抽样的方法从中随机抽取20人进行检测，则做检测的老年人人数为（

）A．6 B．10 C．12 D．16【答案】C【分析】利用分层抽样比例求解.【详解】解：老年人做检测的人数为.故选：.4．已知某圆锥的母线长为4，高为，则圆锥的全面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由勾股定理得出，进而由面积公式得出全面积.【详解】由题意可知，该圆锥的底面半径为，则圆锥的全面积为.故选：B5．某校从高一新生中随机抽取了一个容量为10的身高样本，数据（单位：cm）从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，若样本数据的第60百分位数是170，则x=（

）A．169 B．170 C．171 D．172【答案】C【分析】根据百分位数的定义求第60百分位数，由条件列方程可得.【详解】因为样本容量为10，且样本数据从小到大排序如下：158，165，165，167，168，169，x，172，173，175，又，所以第60百分位数为，由已知，所以，故选：C.6．已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出向量，夹角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可.【详解】设向量，的夹角为，因为，所以，所以，所以在上的投影向量为：.故选：C.7．张益唐是当代著名华人数学家，他在数论研究方面取得了巨大成就，曾经在《数学年刊》发表《质数间的有界间隔》，证明了存在无穷多对质数间隙都小于7000万．2013年张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述，存在无穷多个素数p，使得是素数，素数对称为孪生素数，在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】运用列举法解决古典概型即可.【详解】不超过12的素数有2、3、5、7、11共5个，在其中任取两个数的基本事件为、、、、、、、、、共10个，其中是孪生素数的基本事件为、共2个，所以在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率为.故选：B.8．三棱锥中，平面，，．过点分别作，交于点，记三棱锥的外接球表面积为，三棱锥的外接球表面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中点，的中点，连，，，，证明是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径；是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径，设，求出，根据球的表面积公式可求出结果.【详解】取的中点，的中点，连，，，，因为平面，平面，所以，，，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，在直角三角形中，是斜边的中点，所以，在直角三角形中，是斜边的中点，所以，所以是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径.因为，是斜边的中点，所以，因为，是斜边的中点，所以，所以是三棱锥的外接球的球心，为该球的直径.设，则，则，，所以.故选：B.二、多选题9．已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（

）A． B．的虚部是C．是纯虚数 D．在复平面上对应点在第四象限【答案】ACD【分析】由复数的模、复数的定义、复数的几何意义判断各选项．【详解】则，A正确；的虚部是，B错误；是纯虚数，C正确；对应点的坐标是，在第四象限，D正确．故选：ACD．10．有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，其中为非零常数，则两组样本数据的样本（

）A．平均数相同 B．中位数相同C．标准差相同 D．极差相同【答案】CD【分析】根据数字特征的概念和公式逐一计算可得.【详解】对于A，原样本数据的平均数，新样本数据的平均数（），所以A错误；对于B,不妨设原样本数据,中位数为或,则新样本数据,中位数为或,B错误;对于C，原样本数据的方差，新样本数据的方差为,所以,C正确；对于D，不妨设样本数据中，分别为最小值和最大值，极差为，则新样本数据，，…，中，分别为最小值和最大值，极差为，所以D正确.故选：CD.11．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则【答案】BD【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误；对B：若，，则，故选项B正确；对C：若，，则或与相交，故选项C正确；对D：若，，，则，故选项D正确.故选：BD.12．随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数.设事件“第一次为偶数”，“第二次为偶数”，“两次点数之和为偶数”，则（

）A． B．与对立C．与相互独立 D．【答案】ACD【分析】利用古典概型求出，即可判断A；根据对立事件的定义即可判断B；根据相互独立事件的定义即可判断C；根据事件表示第一次或第二次为偶数，求出此事件的对立事件的概率即可求出，即可判断D.【详解】由题意可得，，所以，故A正确；因为事件，可以同时发生，故两事件不是对立事件，故B错误；因为事件，互不影响，所以，为相互独立事件，则，因为事件表示第一次为偶数且第二次为偶数，所以，又，所以与相互独立，故C正确；事件表示第一次或第二次为偶数，它的对立事件为第一次和第二次都是奇数，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题13．如图所示，在正方体中，异面直线与所成的角为．【答案】//【分析】利用几何法求解异面直线所成的角，通过做辅助线，将异面直线所成的角转化到同一平面内两直线所成的角进行求解.【详解】如图，连接，由正方体的性质可知，且，故异面直线与所成的角即为与所成的角.在中，均为面对角线，∴，为等边三角形，所以，即为异面直线与所成的角.故答案为：.14．已知向量，若，则实数.【答案】2或【分析】根据向量平行的坐标表示可得.【详解】因为，且，所以，即，解得或.故答案为：2或15．甲、乙两名乒乓球运动员进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，如果比赛采用“三局两胜”制（先胜两局者获胜）．若第一局甲胜，则本次比赛甲获胜的概率为．【答案】/【分析】已知第一局甲胜，所以甲再胜一局即可获胜，分第二局甲胜和第二局乙胜第三局甲胜两类情况，把两类情况的概率加一起即可.【详解】当第二局甲胜时，，当第二局乙胜，第三局甲胜时，，所以本次比赛甲获胜的概率为：，故答案为：.四、双空题16．在中，为的外心，则.若，则的值为.【答案】/【分析】由余弦定理求得，利用正弦定理求得外接圆的半径为，结合，再由外心是三边中垂线的交点，结合向量数量积的几何意义，列出方程组，求得，即可求解.【详解】在中，因为，由余弦定理得，所以，设的外接圆的半径为，可得，所以，如图所示，因为外心是三边中垂线的交点，则有，即，又因为，可得，所以，解得，所以.故答案为：，.

五、解答题17．已知复数为虚数单位，且为纯虚数.(1)求实数的值；(2)若复数，求的模.【答案】(1)2(2)2【分析】（1）由复数的四则运算结合纯虚数的定义求解即可；（2）由四则运算结合模长公式求解即可.【详解】（1）由，得，为纯虚数又；（2），.18．已知向量满足与的夹角为，当实数为何值时，(1)；(2).【答案】(1)(2)或.【分析】（1）由，结合数量积运算求解即可；（2）由模长公式结合数量积运算得出.【详解】（1）解：由题意得：当时，，则，即解得：；（2），解得：或.19．某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲､乙､丙三人现有的水平，第一次选拔，甲､乙､丙三人合格的概率依次为；第二次选拔，甲､乙､丙三人合格的概率依次为.(1)求第一次选拔后甲､乙两人中只有甲合格的概率；(2)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率.【答案】(1)0.2(2)【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式可得；（2）由互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式可得.【详解】（1）分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件，设表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，则.（2）分别设甲、乙、丙经过前后两次选拔后合格为事件A，B，C，事件表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格，则，所以.20．随着互联网的发展，移动支付（又称手机支付）越来越普遍，某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15-65岁的人群随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，回答“会”的共有个人，把这个人按照年龄分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，第一组的频数为20.（1）求和的值，并根据频率分布直方图估计这组数据的众数；（2）从第1，3，4组中用分层抽样的方法抽取6人，求第1，3，4组抽取的人数；（3）在（2）抽取的6人中再随机抽取2人，求所抽取的2人来自同一个组的概率.【答案】（1），，众数为30；（2）见解析；（3）.【分析】（1）根据频率、频数和样本容量的关系和第一组的频数可得，然后根据所有小长方形的面积和为1求出．（2）先求出抽样比例，然后根据分层抽样的步骤进行求解即可．（3）列举得到相应的事件的个数，再根据古典概型概率公式求解．【详解】（1）由题意可知，，由，解得，由频率分布直方图可估计这组数据的众数为．（2）第1，3，4组频率之比为0.020：0.030：0.010=2：3：1则从第1组抽取的人数为，从第3组抽取的人数为，从第4组抽取的人数为．（2）设第1组抽取的2人为，第3组抽取的3人为，第4组抽取的1人为，则从这6人中随机抽取2人有如下种情形：，共有15个基本事件，其中符合“抽取的2人来自同一个组”的基本事件有共4个基本事件，所以抽取的2人来自同一个组的概率为．【点睛】提取频率分布直方图中的数据(1)组距、频率：频率分布直方图中每个矩形的宽表示组距，高表示，面积表示该组数据的频率，各个矩形的面积之和为1；(2)众数：最高小长方形底边中点的横坐标；(3)中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；(4)平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和；(5)参数：若纵轴上存在参数，则根据所有小长方形的面积之和为1，列方程即可求得参数值．21．如图，在矩形中，，沿对角线把折起，使移到，且在面内的射影恰好落在上.

(1)求证：；(2)求与平面所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据已知，先证平面，然后由线面垂直的性质可证；（2）先证，然后由等体积法求点A到平面的距离，即可求得所求.【详解】（1）证明：由已知易得：平面，又，平面，平面，平面；（2）由（1）知：，又，平面，平面，又平面，在Rt中，，设点A到平面的距离为，由，得，即，得：，与平面所成的角的正