误差理论与数据处理版(误差的合成与分配),机械

第3章

误差的合成与分配第一节函数误差

任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素共同作用的结果。如何正确地分析和综合这些误差因素，并正确地表述这些误差的综合影响，这就是误差合成要研究的基本内容。前面所讨论的主要是直接测量的误差计算，但在有些情况下，由于被测对象的特点，不能进行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度，需要采用间接测量。间接测量

通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量。

函数误差

间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误差计算，也有称之为误差合成。一、函数系统误差计算第一节函数误差间接测量的数学模型

与被测量有函数关系的各个直接测量值

y

间接测量值求上述函数y

的全微分，其表达式为：若已知各个直接测量值的系统误差Δx1,Δx2,…,Δxn,由于这些误差皆较小,可用来近似代替上式中相应微分量dx1,dx2,…,dxn,则有

和的量纲或单位不相同，则起到误差单位换算的作用

和的量纲或单位相同，则起到误差放大或缩小的作用由y的全微分，函数系统误差的计算公式

为各个直接测量值的误差传递系数,也称灵敏系数

第一节函数误差几种简单函数的系统误差

1、线性函数2、三角函数形式

系统误差公式当

当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和

第一节函数误差【例3-1】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm，弦长l=500mm。已知，弓高的系统误差

h=-0.1mm

,弦长的系统误差

l=1mm.试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果.【解】建立间接测量大工件直径的函数模型,用勾股定理有

不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值第一节函数误差直径的系统误差:

修正后的测量结果:

误差传递系数为:

第一节函数误差根据和求得已知h=-0.1mm,

l=1mm,代入则得

计算结果说明,

l和

h的对D的综合影响是使得间接测量的D值1300mm大于应有值,故消除

l和

h的影响二、函数随机误差计算第一节函数误差数学模型

变量中只有随机误差泰勒展开，并取其一阶项作为近似值函数的一般形式

得到

即：可得：第一节函数误差随机误差可用表征其取值分散程度的标准差来评定，对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。因此，函数随机误差计算，重点研究函数y的标准差与各直接测量值x1,x2,…,xn的标准差之间的关系。函数的一般形式

为求得函数的标准差公式，设对各个测量值皆进行了N次等精度测量，其相应的随机误差为将右侧方程组中的每个方程两边平方,可得第一节函数误差可得函数标准差将方程组两边相加可得将上式等号两边除以N,根据函数标准差计算公式

或

第i个直接测得量的标准差

第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数

第i个测量值和第j个测量值之间的协方差

第i个直接测得量xi的误差传递系数

第一节函数误差Kij或相互独立的函数标准差计算

若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项

令第一节函数误差则

当各个测量值的随机误差都为正态分布时,标准差用极限误差代替(不至于混淆时,用δ代替δlim),可得函数的极限误差公式

第i个直接测得量的极限误差

Kij=±三角形式的函数随机误差公式1）正弦函数形式为:

函数随机误差公式为：

第一节函数误差2）余弦函数形式为:

函数随机误差公式为：

三角函数标准差计算

3）正切函数形式为:

函数随机误差公式为：

4）余弦函数形式为:

函数随机误差公式为：

第一节函数误差例3-2

对例3-1用弓高弦长法间接测量大直径D若已知根据前面推导,求得直径的极限误差为则所求直径D的最后结果为+相关系数对函数误差的影响

反映了各随机误差分量(直接测量值)相互间的线性关联对函数总误差的影响,-1≤ρij≤1

函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传播关系函数随机误差公式当相关系数时(误差分量间线性无关)当相关系数时(误差分量间完全正相关)2、相关系数估计第一节函数误差Kij相关系数的确定可判断的情形

断定两分量之间没有相互依赖关系的影响

当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈无规律正负交替变化，反之亦然

两分量属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量

虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关

1、直接判断法第一节函数误差可判断或的情形

两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然两分量属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关

第一节函数误差2、试样观察法和简略计算法

（1）观察法用多组测量的两误差对应值(ξi,ηi)作图，将它与标准图形相比，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。第一节函数误差（2）简单计算法将多组测量的对应值(ξi

,ηi

)在坐标上作图，然后作平行于纵轴的直线A将点阵左右均分，再作平行于横轴的直线B将点阵上下均分，于是将点阵分为四部分，设各部分的点数分别为n1,n2,n3,n4,则可证明相关系数为n2n3n4n10

其中，（3）直接计算法按相关系数定义（4）理论计算法有些误差间的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求出。第二节随机误差的合成

任何测量结果中包含的测量误差都是测量过程中各个环节一系列误差因素作用的结果.误差合成就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上,正确地表述这些误差的综合影响。标准差合成极限误差合成随机误差具有随机性,用标准差或极限误差表征其取值的分散程度。解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响。随机误差的合成形式包括：一、标准差合成合成标准差表达式:

q个单项随机误差，标准差

误差传递系数

由间接测量的显函数模型求得

根据实际经验给出

知道影响测量结果的误差因素而不知道每个和第二节随机误差的合成当误差传播系数、且各相关系数均可视为0的情形

第二节随机误差的合成若各个误差互不相关，即相关系数

则合成标准差

用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差，均可计算出总的标准差视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分量

二、极限误差合成

单项极限误差:

σi

单项随机误差的标准差

ti

单项极限误差的置信系数合成极限误差:

σ

合成标准差

t合成极限误差的置信系数第二节随机误差的合成合成极限误差计算公式根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成各个置信系数ti

、t

不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关对于相同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同第二节随机误差的合成

ij

为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。应用极限误差合成公式时，应注意：

当各个单项随机误差均服从正态分布时，各单项误差的数目q

较多、各项误差大小相近时，此时合成的总误差接近于正态分布合成极限误差：若和各单项误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，而且他们之间常是线性无关或近似线性无关，所以上式是较为广泛使用的极限误差合成公式第二节随机误差的合成时：此时若时：=±第三节系统误差合成一、已定系统误差的合成系统误差的分类：1）已定系统误差2）未定系统误差定义：误差大小和方向均已确切掌握了的系统误差表示符号：

合成方法：按照代数和法进行合成

i为第i个系统误差，ai

为其传递系数系统误差可以在测量过程中消除，也可在合成后在测量结果中消除二、未定系统误差的合成

第三节系统误差合成（一）未定系统误差的特征及其评定定义：误差大小和方向未能确切掌握，或者不须花费过多精力去掌握，而只能或者只需估计出其不致超过某一范围

e的系统误差特征：1）

在测量条件不变时为一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而单项系统误差在重复测量中不具有低偿性2）随机性。当测量条件改变时，未定系统误差的取值在某极限范围内具有随机性，且服从一定的概率分布，具有随机误差的特性。表示符号：

极限误差：e标准差：u1、标准差合成第三节系统误差合成（二）未定系统误差的合成

未定系统误差的取值具有一定的随机性，服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，它们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似，因而未定系统误差的合成，可以采用随机误差的合成公式，这就给测量结果的处理带来很大方便。

同随机误差的合成时情形类似，未定系统误差合成时既可以按照标准差形式合成，也可以按照极限误差的形式合成。

若测量过程中有s个单项未定系统误差，它们的标准差分别为u1，u2，……，us，其相应的误差传递系数为a1，a2，……，as

，则合成后未定系统误差的总标准差u为:则由各单项未定系统误差标准差得到的合成未定系统误差极限误差为：式中，

ij

为第i个和第j个误差项的相关系数第三节系统误差合成当

ij=0时2、极限误差的合成因为各个单项未定系统误差的极限误差为:若总的未定系统误差极限误差表示为：则有：第三节系统误差合成或者，由各单项未定系统误差极限误差得到的合成未定系统误差极限误差为：

当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且相互间独立无关，即，则上式可简化为：第四节系统误差与随机误差的合成一、按极限误差合成

不同性质误差的合成可按照两种形式进行合成：按极限误差形式合成、按标准差形式合成。

测量过程中，假定有r

个单项已定系统误差，s

个单项未定系统误差，q

个单项随机误差。它们的误差值或极限误差分别为：1、单次测量情况

若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的极限误差为：式中，R为各个误差之间的协方差之和。

当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总的极限误差可简化为：第四节系统误差与随机误差的合成

一般情况下，已定系统误差经修正后，测量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根值，即：2、n

次重复测量情况

当每项误差都进行n次重复测量时，由于随机误差间具有抵偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n。总极限误差变为：第四节系统误差与随机误差的合成二、按标准差合成

测量过程中，假定有s

个单项未定系统误差，q

个单项随机误差，它们的标准差分别为：1、单次测量情况若各个误差的传递系数取1，则测量结果总的标准差为：式中，R为各个误差之间的协方差之和。

若用标准差来表示系统误差和随机误差的合成公式，类似前述可只考虑未定系统误差与随机误差的合成。

当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，测量结果总标准差为：2、n

次重复测量情况

当每项误差都进行n次重复测量时，由于随机误差间具有抵偿性、系统误差（包括未定系统误差）不存在低偿性，总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数n。第四节系统误差与随机误差的合成总标准差变为：【例】在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度共2次，测得结果分别为，，已知工件的高度为，求测量结果及其极限误差。第四节系统误差与随机误差的合成序号123456误差因素极限误差随机误差未定系统误差备注阿贝误差光学刻尺刻度误差温度误差读数误差瞄准误差光学刻尺检定误差－－－－±0.8±1－－±0.5±0.35±1.25±1加修正值时不计入总误差不加修正值时不计入总误差根据工具显微镜的工作原理和结构可知，测量过程中主要的误差见表。【解】两次测量结果的平均值为:

根据万能工具显微镜光学刻线尺的刻度误差表，查得在50mm附近范围内的误差修正值

L0=-0.0008mm

，此项误差为已定系统误差，应予修正。则测量结果为：第四节系统误差与随机误差的合成

在万能工具显微镜上用影像法测量平面工件尺寸时，其主要误差分析如下：1、随机误差由读数误差和工件瞄准引起，其极限误差分别为

1）读数误差：

2）瞄准误差：第四节系统误差与随机误差的合成2、未定系统误差由阿贝误差等引起，其极限误差分别为

1）阿贝误差：

2）光学刻尺刻度误差：

3）温度误差：

4）光学刻度尺的检定误差：第四节系统误差与随机误差的合成3、计算测量值及其误差计算测量值的误差时有两种方法：方法1当未修正光学刻尺刻度误差时测量结果可表示为：

方法2当已修正光学刻尺刻度误差时

=±=±=±=±=±=±【例】用TC328B型天平，配用三等标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量,求测量结果的标准差.第四节系统误差与随机误差的合成(1)随机误差:

天平示值变动性所引起的误差为随机误差。多次重复称量同一球的质量的天平标准差为(2)未定系统误差:

标准砝码误差和天平示值误差，在给定条件下为确定值，但又不知道具体误差数值，而只知道误差范围（或标准差），故这两项误差均属未定系统误差。①砝码误差:

天平称量时所用的标准砝码有三个，即的一个，2g

的两个，标准差分别为:故三个砝码组合使用时，质量的标准差为

根据TC328B型天平的称重方法，其测量结果的主要误差如下：②天平示值误差该项标准差为:第四节系统误差与随机误差的合成

三项误差互不相关，且各个误差传播系数均为1，因此误差合成后可得到测量结果的总标准差为最后测量结果应表示为（１倍标准差）：

第五节误差分配误差分配

根据给定测量结果允许的总误差，合理确定各个单项误差。

同前误差合成类似，在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待。假设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，有：

若已经给定，如何确定Di或相应的

i,使其满足式中，称为部分误差，或局部误差

对于函数的已定系统误差,可用修正方法来消除,故不考虑各个测量值已定系统误差的影响.仅研究随机误差和未定系统误差的分配问题。一、按等影响原则分配误差

等影响原则：各分项误差对函数误差的影响相等，即由此可得：

或用极限误差表示：

函数的总极限误差

各单项误差的极限误差

第五节误差分配

进行误差分配时，一般应按照下述步骤：二、按可能性调整误差

(1)对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本为代价。按等影响原则分配误差的不合理性(2)当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。

在等影响原则分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。第五节误差分配

测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径D

及高度

h，根据函数式三、验算调整后的总误差

误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项误差，合成后与要求的总误差再比较，直到满足要求为止。第五节误差分配【例】求得体积V，若要求测量体积的相对误差为1％，已知直径和高度的公称值分别为，试确定直径D及高度h的测量精度。【解】计算体积体积的绝对误差:一、按等影响分配原则分配误差得到测量直径D

与高度h的极限误差:第五节误差分配用这两种量具测量的体积极限误差为

因为

查资料，可用分度值为0.1mm的游标卡尺测高h=50mm,在50mm测量范围内的极限误差为±0.150mm，用0.02mm的游标卡尺测直径D=20mm,在20mm范围内的极限误差为±0.04mm。第五节误差分配二、调整后的测量极限误差

显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。若改用分度值为0.05mm的游标卡尺来测量直径和高度,在20mm测量范围内的极限误差为±0.08mm.此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分得到补偿。调整后的实际测量极限误差为

因为

调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。微小误差

测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响小到一定程度，则计算总误差时对它可以忽略不计。这种误差就是微小误差。若已知测量结果的标准差：

若将其中的部分误差取出后，则得

如果，则称为微小误差。

第六节微小误差取舍准则对一般精度的测量,测量误差的有效数字取一位：

某项部分误差舍去后，满足：

或则对测量结果的误差计算没有影响。

对比较精密的测量,测量误差的有效数字取二位：

或

对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍去准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果的十分之一到三分之一。

第六节微小误差取舍准则某项部分误差舍去后，满足：

应用：

计算总误差或进行误差分配时，若发现有微小误差，可不考虑该项误差对总误差的影响。选择高一级精度的标准器具时，其误差一般应为被检器具允许误差的1/10～3/10。则对测量结果的误差计算没有影响。

最佳测量方案的确定：

当测量结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，才能使测量结果的误差最小。

研究间接测量中使函数误差为最小的最佳测量方案。函数的标准差为：