专题2.6 圆的方程【七大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

专题2.6圆的方程【七大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1求圆的标准方程】 1【题型2求圆的一般方程】 2【题型3二元二次方程表示圆的条件】 3【题型4圆过定点问题】 3【题型5点与圆的位置关系】 4【题型6圆有关的轨迹问题】 5【题型7与圆有关的对称问题】 6【知识点1圆的方程】1．圆的定义圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.2．圆的标准方程(1)圆的标准方程：方程(r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.

(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.3．圆的一般方程(1)方程叫做圆的一般方程.

(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.下列情况比较适用圆的一般方程：

①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；

②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线方程，求待定系数D，E，F.【题型1求圆的标准方程】【例1】（2023·全国·高三专题练习）过A0,0，B1,1，C4,2三点的圆的一般方程是（

）A．x2+yC．x2+y【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高一校考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知P10,2、P24,4两点，若圆M以P1A．x-22C．x-12【变式1-2】（2023春·湖北襄阳·高二校考开学考试）过点A1,-1，B-1,1，且圆心在直线xA．x-12C．x-32【变式1-3】（2023秋·河北石家庄·高二校考期末）已知圆的圆心为(-2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是（A．x2+yC．x2+y【题型2求圆的一般方程】【例2】（2022秋·天津和平·高二校考阶段练习）已知圆C经过原点O(0,0)，A(4,3)，B(1,-3)三点，则圆CA．x2+yC．x2+y【变式2-1】（2022·全国·高二专题练习）与圆x2+y2-A．x2+yC．x2+y【变式2-2】（2023春·天津武清·高二校考开学考试）已知圆C经过两点A0,2，B4,6，且圆心C在直线l:2A．x2+yC．x2+y【变式2-3】（2022秋·全国·高二专题练习）已知A2,0,B3,3,A．x2+yC．x2+y【知识点2二元二次方程与圆的方程】1．二元二次方程与圆的方程(1)二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程，对比圆的一般方程，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.(2)二元二次方程表示圆的条件：二元二次方程表示圆的条件是【题型3二元二次方程表示圆的条件】【例3】（2023春·广东湛江·高二统考期末）已知x2+y2+2A．6，+∞ B．-6,+∞ C【变式3-1】（2023春·河南·高三阶段练习）“a<1”是“方程2x2+2yA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3-2】（2022秋·河南新乡·高二统考期中）方程y+1=-xA．圆x-22+C．圆x+22+y【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）若方程x2+y2+4A．14<m<1 B．m<14或【题型4圆过定点问题】【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知点A为直线2x+y-10=0上任意一点，O为坐标原点．则以OAA．10,0 B．0,10 C．2,4 D．4,2【变式4-1】（2022·高二课时练习）点Px,y是直线2x+y-5=0A．0,0和1,1 B．0,0和2,2 C．0,0和1,2 D．0,0和2,1【变式4-2】（2023春·上海普陀·高二校考阶段练习）对任意实数m，圆x2+y【变式4-3】（2022·全国·高二专题练习）已知二次函数f(x)=x2+2x+b(【知识点3点与圆的位置关系】1．点与圆的位置关系(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.(2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为.平面内一点.位置关系判断方法几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)点在圆上|MA|=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2点在圆内|MA|<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2点在圆外|MA|>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2【题型5点与圆的位置关系】【例5】（2023·江苏·高二假期作业）点P(1，3)与圆xA．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定【变式5-1】（2023·全国·高一专题练习）若点a,0在圆x2+y2A．-1,1 B．-∞,1 C．0,1【变式5-2】（2023·全国·高二专题练习）两个点M2,-4、N-2,1与圆CA．点M在圆C外，点N在圆C外B．点M在圆C内，点N在圆C内C．点M在圆C外，点N在圆C内D．点M在圆C内，点N在圆C外【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）若点P-1,2在圆C:x2A．-5,5 B．C．-∞,-15∪【知识点4轨迹方程】1．轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程.(1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法).(2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等.2.求轨迹方程的步骤：(1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；(2)列出关于x,y的方程；(3)把方程化为最简形式；(4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)；(5)作答.【题型6圆有关的轨迹问题】【例6】（2022秋·广西桂林·高二校考期中）当点P在圆x2+y2=1上运动时，它与定点QA．x+32+C．2x-3【变式6-1】（2022秋·北京大兴·高二统考期中）已知点M1-3,0和点M23,0，动点Mx,A．x2+yC．x2+y【变式6-2】（2022·全国·高二专题练习）已知点M(-2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是（A．x2+yC．x2+y【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，A(-4,0)，B(2,0)，点MA．(x+4)2C．x2+(【知识点5与圆有关的对称问题】1．与圆有关的对称问题(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.

(2)圆关于点对称

①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.

②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.

(3)圆关于直线对称

①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.

②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.【题型7与圆有关的对称问题】【例7】（2023秋·河南焦作·高二校考期末）圆C:(x-1)A．(x-2)C．x2+(【变式7-1】（202