专题3.1 椭圆及其标准方程【六大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

专题3.1椭圆及其标准方程【六大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1椭圆的定义】 1【题型2曲线方程与椭圆】 2【题型3椭圆方程的求解】 3【题型4动点轨迹方程的求法】 3【题型5椭圆中的焦点三角形问题】 5【题型6椭圆中的最值问题】 5【知识点1椭圆的定义】1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.【题型1椭圆的定义】【例1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）F1，F2为椭圆x249+y29=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|=5，则|PA．9 B．4 C．2 D．1【变式1-1】（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）若椭圆x29+y2=1上一点A到焦点F1的距离为2A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x29+y25=1，F1,F2分别是椭圆C的焦点，过点FA．2 B．4 C．6 D．8【变式1-3】（2023秋·河北邢台·高二校考期末）设P为椭圆C：x225+y29=1上一点，F1，A．32 B．52 C．72【知识点2椭圆的标准方程】1．椭圆的标准方程椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：椭圆在坐标

系中的位置标准方程焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系2．椭圆方程的求解(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.【题型2曲线方程与椭圆】【例2】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）“1<k<5”是方程“x2k-A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）方程x2+ky2A．k>0 B．1<k<2 C．k【变式2-2】（2023秋·全国·高二期末）若方程x2a2+y2a+6=1A．a>3 B．C．a>3或a<-2 D．-【变式2-3】（2022·高二单元测试）若方程x29-k+yA．k∈1,9 B．椭圆CC．若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈1,5 D．若椭圆C的焦点在x【题型3椭圆方程的求解】【例3】（2023春·河北承德·高二校考开学考试）焦点坐标为0,-4，（0，4），且长半轴a=6的椭圆方程为（

A．x236+C．x236+【变式3-1】（2023秋·江苏·高二统考期末）已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0A．x24+C．x23+【变式3-2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设椭圆x2a2+y2b2=1(A．x216+y212=1 B．【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的焦点为F1(0,-2)，F2(0,2)．过点F2的直线与C交于A，B两点．若△ABFA．x29+y25=1 B．【题型4动点轨迹方程的求法】【例4】（2023秋·广东广州·高二校考期末）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（

）A．x29+C．x24+【变式4-1】（2023·高二课时练习）在△ABC中，已知A-1,0,C1,0，若a>A．x24+C．x24+【变式4-2】（2022秋·山西运城·高二校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：x-22+y2=20（圆心为A），点B-2,0，点Р在圆A上运动，设线段PBA．x25-C．x25+【变式4-3】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）已知圆C:(x-1)2+y2=16，F(-1,0)为圆内一点，将圆折起使得圆周过点A．x24+y23=1 B．【知识点3椭圆的焦点三角形】1．椭圆的焦点三角形(1)焦点三角形的概念

设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦点三角形，如图所示.(2)焦点三角形的常用公式

①焦点三角形的周长L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③设，，则.【题型5椭圆中的焦点三角形问题】【例5】（2023春·新疆阿勒泰·高二统考期末）已知△PQF的顶点P,Q在椭圆x216+y212A．12 B．43 C．16 D．【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）已知△ABC的顶点B､C在椭圆x23+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BCA．2 B．2C．4 D．4【变式5-2】（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）在椭圆x24+y22=1上有一点P，F1､A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆x29+y24=1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1、A．6 B．12 C．2 D．2【题型6椭圆中的最值问题】【例6】（2023·高二课时练习）已知椭圆C:x225+y29=1的左右焦点分别为【变式6-1】（2023·高二课时练习）已知P是椭圆x24+y2【变式6-2】