线性相关与线性无关

§9 线性相关与线性无关教学要求:掌握线性相关与线性无关的定义，并能够判断向量组的线性相关性知识要点：一、 定义与例子：定义9.1对向量组卸％…，验，如果存在一组不全为零的数心心…,乓，使得妬斶+為碣~\虬验=0,那么，称向量组做世，…，验线性相关.如果这样的険个数不存在，即上述向量等式仅当俎=禺=--•=%=0时才能成立，就称向量组斶心'…心线性无关.含零向量的向量组0%屯'…％—定线性相关，因为10+0碍+0说H—■+ ?其中，1,0,0,…,0不全为零.只有一个向量①组成的向量组线性无关的充分必要条件是氐H0，线性相关的充分必要条件是◎二0.考虑齐次线性方程组a11x1+a]2x2H 耳=0旳1疋1+旳2卞2 a2wXm=°理內+吒毛+--+吗然％=0 （*）它可以写成盈=0，或兀两+花碍 卜x后眾=0其中

fa\叫’园二〔两,碣,….監），碍二ct.1昭丿，丿二12…皿X二由此可见，向量组咚世,线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组（*）有非零解.也就是说，向量组两6…心线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组（*）只有零解.例1向量组(2例1向量组(2、是线性无关的.解：设有兀內使即解：设有兀內使即得齐次线性方程组1\X1\X2)17解此方程组得兀二花=0,所以向量组簸碍线性无关.例2设向量组还44线性无关，又设*=斶+禺，煜=屯+碣,虑二屯+斶,证明向量组傢臥爲也线性无关.证明：设有花民池使隔+爲）斶+（爲+怠）禺+他+俎）碍二0因为咚屯©线性无关，故有k\+爲=0弋対+召=0应+血=0此线性方程组只有零解尙=焉=怠=0,也即向量组傢禺爲线性无关.定理9.1向量组心线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余朋-1个向量线性表示.证明：必要性设沐禺「：验线性相关，即存在一组不全为零的数g…息，使得俎还+卷屯+…+©%=0.不妨设俎H0,则有场=（一?）屯+…+（-字）验即％可以由其余卿T个向量屯4,…心线性表示.其实，在向量等式俎还+卷屯+…+©%=°中，任何一个系数丘i工°的向量塀都可以由其余酬T个向量线性表示•充分性设向量组说®…耳中有一个向量能由其余聊T个向量线性表示•不妨设场=地岂+…+俎毎，则〔―1）斶+见屯+…+心毎=0，因为〔-1）禹…无不全为零，所以卸备…心线性相关.二、向量组线性相关和线性无关判别定理：设矩阵川的列向量组为吐斶4,…心,矩阵月的列向量组为氏傢禺…‘炕，其中矩阵月是通过对矩阵川做行初等变换后得到的.我们有以下定理：定理9.2向量组山与向量组£有相同的线性相关性.证明：记山=（筑屯'…'验）‘0=（忌禺'…‘炕）.那么，当且仅当齐次线性方程组亦=0有非零解时向量组貝线性相关.当且仅当齐次线性方程组^X=0有非零解时向量组貝线性相关.由于齐次线性方程组磁=0或者只是对调了心二0的第七个方程与第/个方程的位置，或者只是用非零数久承曲=0的第疋个方程，或者只是把抠=0的第/个方程的兄倍加到第疋个方程上去，这连个方程组一定是同解的，所以，对应的向量组川与月有相同的线性相关性.定理9.3如果向量组碍4,…心线性相关，那么食碣,…心心+1，…,耳也线性相关.证明：向量组斶4,…心线性相关,即存在不全为零的数松…必使易碍+嘉屯+…+心碍二0于是易场+爲屯■! 耳爲+。碍+1—。验=o但是，血地，…凤Q…4仍不全为零，因此，向量组孤……,％线性相关.推论9.4线性无关向量组的任意一个非空部分组仍是线性无关向量组.定理9.5设有挖维向量组卫：碍=. ）=1,2,…，肌nij与"+1维向量组如果向量组川线性无关，那么，向量组月也线性无关.推论9.6f维向量组的每一个向量添加起-广个分量成为总维向量.如果f维向量组线性无关,那么，总维向量组也线性无关.反言之，如果起维向量组线性相关，那么，f维向量组也线性相关.定义9.2在燃◎型的矩阵卫中，任取疋行疋列这兰刚衣乞町，位于这些行列交叉处的，个元素,不改变它们在山中所处的位置次序而得的介矩阵行列式，称为矩阵山的介子式.燃◎型矩阵川的氏阶子式共有总丿总丿个.定理9.7设挖维向量组吐餐％…心（『◎）构成矩阵如知-■叮卫二©心，…心）=吟如■■/ ■Alan2 备丿则向量组山线性无关的充分必要条件是矩阵山中存在一个不等于零的『阶子式.推论9.8挖个挖维向量组线性无关的充分必要条件是它们所构成的挖阶矩阵的行列式不等于零.推论9.9当m>n时，聊个占维向量斶'禺'…心必线性相关.思考题：1、举例说明下列各命题是错误的⑴若向量组场4•…心线性无关，贝I」斶可由屯，…心线性表示；（2）若有不全为零的数兀兀…入使兔隔+…+入爲+朋i'+九氏=①则场心，…心线性相关，乩煜减也线性相关；(3)若只有当血怎…入全为零时，等式易斶+…+入毎+兔屛+…+无减=6才能成立吆备…心线性无关，傢煜'…,盘也线性无关；⑷若吆％…,％线性相关，傢煜，…,区也线性相关，则有不全为零的数血备…入,使■A碍+毘屯 心验=°， AA+-^2A■*入n氏=°同时成立.2、判断下列向量组是否线性相关：「1]1021%_ 2，屯-5，碍-0(1)Z<d；fl]T、1-30-2%=Q，屯=「逼=2_4⑵3宀<_b工丿;f3、(1]『7、%=-1,屯=5=-13，口4= &⑶UJ日丿•丿;(1](1]-234-1场-4，碍-9-16心_1⑷<_s><_1>.设向量组场心'…心线性无关，讨论向量组斶+屯，屯+笹…，碍+斶的线性相关性.4、设向量组叽…灼线性无关，匚斶，…，叫线性相关，则「必可由向量组两皿…代线性表示.5、 选择题⑴挖维向量组线性无关的充分必要条件是存在一组不全为零的数妬眉'…我、,使俎斶+為碣 禺碍*0；簸②…公中任意两个向量都线性无关；斶,碍,…，碍中存在一个向量,它不能由其他向量线性表示；斶,碍,…，碍中任意一个向量都不能被其他向量线性表示.（2） 已知向量组场，屯,碍‘函线性无关，则向量组斶+屯，屯+够屯+省，省+斶也线性无关；站-屯，屯-隅，隅-省，函-斶也线性无关；斶+屯，屯+陽屯+%心-斶也线性无关；斶+屯，屯+陽屯-％，省-磅也线性无关.（3） 设有任意两个挖维向量组场心，「萤与汎代…