几种求数列前n项和的方法

几种求数列前n项和的常用方法1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前〃项和的公式来求.n(,a+a) n^n-1)①等差数列求和公式：S= ] -=na+ d"212②等比数列求和公式：s=n-a②等比数列求和公式：s=n-aV/-/fu1al1±常见的数列的前n项和：1+2+3+n(n+l) - ， 1+3+5+2+(2n-l)=12+22+32+ 2 1,13+23+33+ 3 — -等6 [22、倒序相加法：类似于等差数列的前〃项和的公式的推导方法。如果一个数列{〃},与首末两项等距的n两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.例、求sin2sin22。+sin23。+ Hsin288。+sin289。的值.解：=sin2lo+sin22o+sin23oh bsin288。+sin289。 ①将①式右边反序得：S=sin289o+sin288。+——卜sin23。+sin22。+sin21。......②又因为sinx=cos(90-x),sin2x+cos2x=1,①+②得：25=(sin21+cos21)+(sin22+cos22)H b(sin289+cos289)=89S=小结：倒序相加法，适用于倒序相加后产生相同的结果，方便求和.3、错位相减法：类似于等比数列的前n项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差•比”数列，则采用错位相减法.

例、求和：S=1+2x+3x2++nXnT(x中0,n解：设Sn=1+2x+3x2+…+(n-1)xn-2+nxn-1,贝U：xSn=x+2x2+…+(n-1)xn-1+nXn①一②得：(1-x)Sn=1+x+x2+…+xn-2+xn-1~nxn.,.当x=1时，S=1+2+3+...+(n-1)+n=X丰1）（课本61页习题组X丰1）（课本61页习题组4）n(1+n)2""・,.当xW1时，S1x(1—Xn)1+X+X2+...+Xn—1一nXn_ 1Xnxn 1一Xn nXn1一X1一X(1一X)2 1一X小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列｛c｝的公比q；②将两个等n式相减；③利用等比数列的前n项和的公式求和.4、分组求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列.若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例、求和：S=（2一3x5-1）+。一3x5-2）+（6-3义5-3）++（2n-3义5-n）n解：S=（2一3x5-1）+（4—3x5-2）+（6—3x5-3）++（2n-3x5-）n=（2+4+6++2n）—3Qt+5-2+5-3++5—n）1=n1=n(n+1)—3x—3=n2+n——4（课本61页习题组4）例、求和：S=（a-1）+（a2-2）+Q3—3）++0n-n）（课本61页习题组4）n解：当a=1时,(a1)+(a2-2)+...+(an-n)=-1-2-...-(n-1)=-^ ^2当a丰1时,(a1)+(a2-2)+...+(an-n)=(a+a2+...+a)一(1+2+...+n)a(1一an) n(n+1)小结：这是求和的常用方法，按照一定规律将数列分成等差（比）数列或常见的数列，使问题得到顺利求解.5、裂项相消法：适用于类似|，一Iaann+1（其中｛a｝是各项不为零的等差数列，C为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法:，特别地当k—1时,适用于类似|，一Iaann+1（其中｛a｝是各项不为零的等差数列，C为常数）的数列、部分无理数列等。用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法:，特别地当k—1时,11—/\———

n(n+1)nn+1(2)―, =——<n+k+nkn+k)1\，特别地当k—1时例、数列｛〃｝的通项公式为n(n+1)，求它的前n项和Sn解：L++-f \—+—/ \(n—1)nn\n+1)(1-1V23)+(1(1+—把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些这一求和方法称为裂项相消法。正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和这一求和方法称为裂项相消法。TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 1例、求数歹U =,-= 三,一= ,,—= : ,的前n项和S.1+2v2+%：3 3+2 4n+n++1 n解：设a——= =1：n+1—-Jn,解：n%n+n++111 1 -+-zz -+•,,+—- 1+%：2 %：2+-v3 nn+-*：