数学41-数学归纳法证明不等式()(人教A版选修4-5)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第四讲数学归纳法证明不等式珠海市试验中学数学组第1页

在数学研究中，人们会碰到这么情况，对于任意正整数n或大于某个数n0

任意正整数n，都有某种关系成立。对这类问题证实我们将使用又一个主要数学推理方法------数学归纳法与正整数相关命题比如：

1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(n∈N+)

n2<2n(n∈N+,N≥5),

(1+x)n>1+nx(x>-1,n∈N+).第2页n=5,a5=25问题情境一问题

1:大球中有5个小球，怎样验证它们都是绿色？

完全归纳法不完全归纳法

模拟演示问题3:已知：－1＋3=2

－1＋3－5=－3

－1＋3－5＋7=4

－1+3－5＋7－9=－5可猜测：－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝问题2：若an=(n2-5n+5)2，则an=1。对吗？1

1

1

1

当n=1,a1=;n=2,a2=;n=3,a3=;n=4,a4=;（－1）nn第3页问题情境二：数学家费马利用不完全归纳法得出费马猜测事例

猜测：都是质数法国数学家费马（PierredeFermat）(1601年～1665年)。

十七世纪最卓越数学家之一，他在数学许多领域中都有极大贡献，因为他本行是专业律师，为了表彰他数学造诣，世人冠以“业余王子”之美称，第4页归纳法：由一系列有限特殊事例得出普通结论推理方法。

（结论一定可靠，但需逐一查对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发觉问题，形成猜测）（1）完全归纳法：考查全体对象，得到普通结论推理方法。（2）不完全归纳法,考查部分对象,得到普通结论推理方法。归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。归纳法怎样处理不完全归纳法存在问题呢？必须寻找一个用有限个步骤，就能处理完无限多个对象方法。

第5页问题情境三

多米诺骨牌操作试验第6页数学归纳法我们常采取数学归纳法来证实：由不完全归纳法得到一些与正整数相关数学命题正确性.（1）证实当n取第一个值n0(比如n0=1)时命题成立（2）假设当n=k(k∈N＋

,k≥n0)时命题成立证实当n=k+1时命题也成立。这种证实方法叫做数学归纳法k=2,k+1=2+1=3k=3,k+1=3+1=4…k=10,k+1=10+1=11…第7页下面我们来证实前面问题3中猜测正确性证实:(1)当n=1时,左边=－1,右边=－1,∴左边=右边,∴当n=1时，式（*）成立(2)假设当n=k时，式（*）成立，即－1+3－5＋…＋（－1）k（2k－1）＝（－1）kk在这个假设下再考虑当n=k+1时，式（*）左右两边是否成立.例1、用数学归纳法证实：当n∈N+时，－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）nn（*）第8页当n=k+1时等式左边＝

－1+3－5＋…＋（－1）k（2k－1）＋（－1）k＋1[2(k+1)－1]＋（－1）k＋1[2(k+1)－1]＝

（－1）k＋1(k+1)＝右边所以当n=k+1时等式（*）成立。由（1）（2）可知，

－1+3－5＋…＋（－1）n（2n－1）＝（－1）nn利用假设凑结论从n=k到n=k+1有什么改变

＝（－1）kk

＝（－1）k＋1[－k＋2(k+1)－1]第9页下面框图表示了数学归纳法基本过程：（1）验证：n=n0（n0∈N+）时命题成立。（2）证实：假设n=k（k≥n0）时命题成立，则n=k+1时命题也成立。对全部n

（n0∈N+，n≥n0）命题成立奠基假设与递推第10页数学归纳法是一个证实与正整数相关数学命题主要方法。主要有两个步骤、一个结论:

第一步：验证当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确第二步：假设n=k(k∈N＋，

且k≥n0)时结论正确，证实n=k+1时结论也正确结论：由（1）、（2）得出结论正确找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整数学归纳法主要步骤:第11页例2用数学归纳法证实

1×4＝411）此时n0=__左＝_______右=

__________

2）假设n=k时命题成立，即

当n=k时，等式左边共有___项，第(k－1)项是__________________。

k(K－1)×[3(k－1)＋1]1(1＋1)2=41×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2

1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2

第12页3）当n=k+1时，命题形式是4）此时，左边增加项是5)从左到右怎样变形？

1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]2(k+1)[3(k+1)+1]第13页证实：（1）当n=1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，等式成立。（2）假设n=k时命题成立，即

1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2

这就是说，当n=k+1时等式也成立。依据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立

当n=k+1时左边=1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1)=k(k+1)2+(k+1)(3(k+1)+1)=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]=(k+1)[k2+4k+4]=(k+1)[(k+1)+1]2＝右边第14页练习巩固

1.用数学归纳法证实：在验证n=1成立时，左边计算所得结果是22.某个命题与正整数n相关，假如当时命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立.现已知当n=5时该命题不成立，那么可推得 （）A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立C．当n=4时该命题不成立 D．当n=4时该命题成立C第15页3.以下用数学归纳法证实对吗？证实：①当n=1时，左边＝

右边＝

等式成立。②假设n=k时等式成立，有那么，当n=k+1时，有即n=k+1时，命题成立。依据①②可知，对n∈N＋，等式成立。第16页注意:用上假设递推才真第二步证实中没有用到假设，这不是数学归纳法证实既然不对，怎样更正？三注意：1、有时n0不一定等于12、项数不一定只增加一项。3、一定要用上假设分析第17页4.用数学归纳法证实

1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝

练习巩固

从n=k到n=k+1有什么改变利用假设凑结论证实:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立∴n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。第18页明确初始值n0，验证真假。（必不可少）“假设n=k时命题正确”，写出命题形式。证实“n=k+1时”命题成立。分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式差异，搞清左端应增加项。注意用上假设，要作结论用数学归纳法证实恒等式注意事项：第19页数学归纳法是一个证实与正整数相关数学命题主要方法。主要有两个步骤、一个结论:

（1）证实当n取第一个值n0（如n0=1或2等）时结论正确（2）假设n=k(k∈N＋，

且k≥n0)时结论正确，证实n=k+1时结论也正确由（1）、（2）得出结论正确归纳小结第20页（1）数学归纳法是一个完全归纳法证实方法它适合用于与正整数相关问题。（2）两个步骤，一个结论缺一不可，不然结论不能成立。（3）在证实递推步骤时，必须使用归纳假设。递推基础不可少归纳假设要用到结论写明莫忘记归纳法完全归纳法不完全归纳法数学归纳法穷举法可能错误怎样防止？课堂小结第21页

数学归纳法是一个完全归纳法，它是在可靠基础上，利用命题本身含有传递性，利用“有限”伎俩，来处理“无限”问题。它克服了完全归纳法繁杂、不可行缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到普通、由有限到无穷。

数学归纳法关键思想课堂小结第22页（1）思索题：问题

1中大球中有很多个小球，怎样证实它们都是绿色？模拟演示作业（2）书本作业P50.习题4.11，2

（3）补充作业:

用数学归纳法证实：假如{an}是一个等差数列，那么an=a1+(n-1)d对于一切n∈N*都成立。（4）预习书本P49例1和例2第23页哥德巴赫猜测德国数学家哥德巴赫经过观察,发觉一个有趣现象：任何大于5整数