培优课空间平行中开放性问题

培优课空间平行中的开放性问题本资料分享自高中数学同步资源大全QQ群483122854专注收集同步资源期待你的加入与分享联系QQ309000116加入百度网盘群2500G一线老师必备资料一键转存，自动更新，一劳永逸类型一线线平行中结论探索性问题对于结论探究性问题，一般是假设其存在，再进行证明，或先选取中点或找到特殊直线进行验证，并给出证明.解连接BM并延长交DA于点E，连接PE.则P，E在平面PAD内，又直线MN与PB确定平面BMN，由E∈直线BM，P∈直线BN，∴E∈平面BMN，P∈平面BMN，∴直线PE是平面PAD与直线MN和PB确定平面的交线l，∵底面ABCD是平行四边形，∴AE∥BC.因为点M，N分别在AC，PB上，所以MN∥PE，即直线l∥MN.(1)证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系.(2)掌握推理的基本形式和规则，探索和表述论证过程，有逻辑地表达与交流是逻辑推理的数学核心素养.类型二线面平行中的条件探索性问题【例2】在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.解存在点M，且点M是AB的中点时，直线DE∥平面A1MC，证明如下：如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C和AC1.设O为A1C，AC1的交点.由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE.则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，因此MD∥OE且MD＝OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.平面与平面平行中的探索性问题是高考命题的热点，主要有两种类型：(1)结论型，从承认结论入手，寻求命题成立条件；(2)存在性，先假设“存在”，经过逻辑推理，若推出矛盾，则结论不存在，否则结论存在.类型三平面与平面平行中的探索性问题【例3】如图所示，在四棱锥C－ABED中，四边形ABED是正方形，点G，F分别是线段EC，BD的中点. (1)求证：GF∥平面ABC；证明

由四边形ABED为正方形可知，连接AE必与BD相交于中点F，故GF∥AC.∵GF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC.∴GF∥平面ABC. (2)线段BC上是否存在一点H，使得平面GFH∥平面ACD？若存在，请找出点H并证明；若不存在，请说明理由.证明

线段BC上存在一点H满足题意，且点H是BC的中点.理由如下：取BC的中点H，连接GH，由点G，H分别为CE，CB的中点，得GH∥EB∥AD.∵GH⊄平面ACD，∴GH∥平面ACD.∵GF∥AC，AC⊂平面ACD，GF⊄平面ACD，∴GF∥平面ACD.又GF∩GH＝G，∴平面GFH∥平面ACD.1.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.尝试训练解平面ABC与平面β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l是相交直线.设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，又∵P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线l，即平面ABC∩平面β＝PC，而直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线与l相交.2.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.解若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF.因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN，所以BFNM是平行四边形，所以MN∥BF，MN＝BF＝1.而EC∥FB，EC＝2FB＝2，故MN是△ACE的中位线.所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF.3.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1中点.能否同时过D1，B两点作平面α，使平面α∥平面PAC？证明你的结论.解能作出满足条件的平面α，其作法如下：如图，连接BD1，取AA1中点M，连D1M，则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α.证明如下：连接BD交AC于O，连接PO，则O为BD的中点，又P为DD1的中点，则PO∥D1B.∵BD1⊄平面PAC，OP⊂平面PAC，故D1B∥平面PAC.又因为M为