二 空间向量的数量积运算

PAGE5-二空间向量的数量积运算(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．(多选题)已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，则以下等式中一定成立的是()A．eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0C．eq\o(PD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0 D．eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0【解析】选ACD.由eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(DA⊥AB,DA⊥PA))⇒DA⊥平面PAB⇒DA⊥PB⇒eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0；同理知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝0；PA⊥平面ABCD⇒PA⊥CD⇒eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0；若eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则BD⊥PC，又BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，故BD⊥AC，但在矩形ABCD中不一定有BD⊥AC，故B错误．2．下列条件中，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))))【解析】选C.对于空间中的任意向量，都有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，选项A错误；若eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，而eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，据此可知eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，即B，C两点重合，选项B错误；eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线，选项C正确；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))))，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误．3．下列命题正确的是()A．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－))b))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋b))是向量a，b不共线的充要条件B．在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0C．在棱长为1的正四面体ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)D．设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面【解析】选B.由|a|－|b|＜|a＋b|，向量a，b可能共线，比如共线向量a，b的模分别是2，3，故A错误；在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＋eq\o(CB,\s\up6(→))·(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，故B正确；在棱长为1的正四面体ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1×1×cos120°＝－eq\f(1,2)，故C错误；设A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，由eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＋1＝2≠1，可得P，A，B，C四点不共面，故D错误．4．在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝()A．0B．－2C．2D．－3【解析】选B.如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，因为E，F分别是BC，AD的中点，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))·eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CA,\s\up6(→))＋\o(CD,\s\up6(→))))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(2×2×cos120°＋2×2×cos90°＋2×2×cos180°＋2×2×cos120°)＝－2.5．三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝3，AC＝1，CC1＝2，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°.则异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为()A．0B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,3)D．eq\f(2,5)【解析】选A．＝eq\o(AC,\s\up6(→))－，＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋，·＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－)·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋)＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－)·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋)＝eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·－·eq\o(AC,\s\up6(→))＋·eq\o(AB,\s\up6(→))－2＝12－0＋1×2×cos60°－1×2×cos60°＋3×2×cos60°－22＝1＋3－4＝0，所以⊥，即异面直线A1C与BC1所成角为90°，所以cos90°＝0.6．已知非零向量a，b，c，若p＝eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＋eq\f(c,|c|)，那么|p|的取值范围是()A．[0，1]B．[1，2]C．[0，3]D．[1，3]【解析】选C.p2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,|a|)＋\f(b,|b|)＋\f(c,|c|)))eq\s\up12(2)＝3＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|a||b|)＋\f(a·c,|a||c|)＋\f(c·b,|c||b|)))≤3＋2×3＝9，所以0≤|p|≤3.二、填空题(每小题5分，共10分)7．已知a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m＝2e1＋3e2，n＝ke1－4e2，m⊥n，则实数k的值为______．【解析】由m⊥n，得m·n＝0，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0.因为e1·e2＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6.答案：68．如图所示，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长为2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.若＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋z，则AC1的长为______．【解析】由题意，知在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，＝，则＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋，因为底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1的长为2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，所以||＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋|＝＝eq\r(1＋1＋4＋2cos90°＋4cos120°＋4cos120°)＝eq\r(2).答案：eq\r(2)三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图所示，已知P是△ABC所在平面外一点，PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB，求证：P在平面ABC上的射影H是△ABC的垂心．【证明】因为PA⊥PC，PB⊥PC，PA⊥PB，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，eq\o(PA,\s\up6(→))⊥平面PBC.所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.由题意可知，PH⊥平面ABC，所以eq\o(PH,\s\up6(→))·